基于故障補償機制的冷軋厚控系統自適應反步控制

王建波，王 芳,*，華長春

(1.燕山大學 理學院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 電氣工程學院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

冷軋板帶是經過多臺單機架軋機軋制成形的，在軋制過程中涉及到多種控制，如軋輥間隙控制、彎輥控制、板厚控制等。其中，板厚控制是重要的一個環節，它直接影響帶鋼的質量[1-3]。因此，厚度控制是板帶控制中至關重要的一部分。

冷帶軋機液壓厚度控制(Hydraulic Automatic Gauge Control,HAGC)系統主要是由液壓缸、電液伺服閥、傳感器、軋機輥系等動態元件組成，HAGC系統的數學模型是根據冷帶軋機液壓厚度系統的各個部件運動機理建立的[4]。其中，HAGC系統中的狀態可以被傳感器測得。但是在實際工程中，傳感器容易發生故障，導致系統不穩定、跟蹤性能下降和信息失真等問題。硬件冗余是一種典型的傳感器故障控制方法[5]。許多學者針對線性和非線性系統設計了基于解析冗余的控制方法解決傳感器故障，如魯棒控制[6-7]、滑模控制[8]和自適應補償控制[9-12]。文獻[13]針對系統傳感器故障，設計自適應輸出反饋容錯跟蹤控制器。文獻[14]提出自適應信號補償機制補償傳感器故障。雖然，一些學者從理論上研究了線性系統和非線性系統的傳感器故障問題。但是目前，針對HAGC系統的傳感器故障的論文很少，并且對于HAGC系統的部分失效故障也鮮有研究。

冷軋系統的測厚儀遠離軋輥位置，這導致軋機系統存在測量時延。近年來，許多學者針對HAGC系統時延影響下的控制問題展開研究。文獻[15]根據Smith預估方法設計控制器預測控制克服HAGC系統輸入時延。文獻[16]針對具有測量延遲的冷軋HAGC系統，提出基于狀態反饋的預定性能控制器。文獻[17]提出了一種基于魯棒控制的厚度控制器。文獻[18]將切換的模糊自適應控制與常規PID控制相結合，利用積分項系數處理干擾和時延。文獻[19]建立了一個結合均勻過程的冷金屬軋制延遲系統顫振模型。以上研究主要考慮定常時延，而時變時延更符合冷軋系統的工程背景。文獻[20]針對非線性系統的未知時變時延，提出了補償方法。文獻[21]考慮了HAGC系統的時變時延和執行器故障的影響，設計了輸出反饋容錯控制器。

HAGC系統的輸出為板帶厚度誤差，考慮系統的輸出約束可以提高板厚精度，漏斗控制[22-24]、預定性能函數[25-26]和障礙函數[27-28]是常用的約束方法。文獻[25]使用誤差轉換將受輸出誤差約束的問題轉化為無約束的鎮定問題。文獻[26]基于性能函數設計預定性能控制器保證系統輸出性能。文獻[27]基于常數型障礙李雅普諾夫函數對輸出誤差進行約束，并設計自適應模糊控制器。文獻[28]基于正切型障礙函數設計自適應控制器。雖然對于非線性系統輸出約束的研究在理論上取得了豐碩的成果，但是考慮輸出約束的冷軋厚控系統的控制的研究較少。

與已有的HAGC系統的研究成果相比，本文的創新性如下：1)文獻[15-17]建立HAGC模型時，忽略了冷軋系統在運行過程中會受到外界干擾的影響，本文結合實際工況，考慮外界干擾的影響。2)文獻[15]和[16]考慮HAGC系統的定常測量時延，本文結合HAGC系統的實際情況考慮時變測量時延。3)文獻[21]考慮了HAGC系統的時變測量時延，但忽略了HAGC系統輸出誤差約束問題，本文則考慮了HAGC系統的輸出誤差約束問題。

基于上述分析，目前針對HAGC系統時變時延、外界干擾、傳感器故障和輸出約束的控制問題成果很少，本文考慮以上因素的綜合影響，設計基于故障補償機制的自適應反步控制器。首先，將系統模型中的測量時變時延轉化為輸入時延，并構造輔助系統補償輸入時延對系統的影響。其次，利用一類正切型障礙函數解決輸出誤差約束問題，與傳統的障礙函數相比，正切型障礙函數通過調節時變參數ρ1(t)=(ρ0-ρ∞)e-ct+ρ∞保證輸出誤差的暫態性能與穩態性能。再次，設計自適應補償機制處理傳感器故障，解決非線性系統在傳感器故障發生時不能利用反步法設計控制器的弊端。最后，基于Lyapunov穩定性理論，證明閉環系統的有界穩定性以及輸出誤差保持在約束范圍內；通過對比仿真驗證本文所提出的控制策略的有效性。

1 冷帶軋機液壓厚度系統模型

冷帶軋機液壓厚度系統結構圖如圖1所示。

圖 1 HAGC系統結構圖Fig.1 The structure diagram of HAGC system

根據圖1，由冷帶軋機液壓厚控系統動態各部件機理，可得如下動力學模型[15]：

(1)

(2)

本文考慮HAGC系統在狀態x2和x3兩處發生傳感器失效故障，故障的形式如下：

其中，ρ1和ρ2表示失效率，Tf表示故障發生的時間。

設計控制器前，給出如下假設與引理。

引理1fi(X)是定義在緊集Ω上的連續函數，則它可被徑向基神經網絡逼近：

引理 2[29]對于?η>0以及?γ∈R，下列不等式成立：

其中，η*=0.278 5η。

控制目標：針對具有輸入時延和傳感器故障的冷軋厚控系統(2)，設計基于自適應補償機制的反步控制策略,使系統達到半全局有界穩定，且系統輸出誤差滿足|z1|≤ρ1。

2 控制器設計

基于系統(2)，考慮具有時變時延、外界干擾、傳感器故障和軋件厚度誤差約束的HAGC系統，設計自適應反步控制器。

引入時延輔助系統補償輸入時延；構造正切型障礙函數對系統輸出進行約束；設計神經網絡逼近非線性函數和綜合不確定；在反步控制的框架下設計控制器，具體過程如下。

為了解決HAGC系統的時延問題，受文獻[30]的啟發，設計如下輔助系統

(3)

基于輔助系統(3)，作如下的狀態變換：

(4)

Step1：設計虛擬控制輸入α1

對z1求導

(5)

選取如下障礙Lyapunov函數

(6)

對V1求導

(7)

結合引理2得以下不等式

(8)

結合式(7)和(8)得

(9)

基于式(9)，設計虛擬控制輸入α1

(10)

其中，k1為正常數。

(11)

其中，σ1為正常數。

將式(10)～(11)代入式(9)得

(12)

利用Young不等式得

(13)

將式(13)代入式(12)得

(14)

Step2：設計虛擬控制輸入α2

對z2求導

(15)

選取Lyapunov函數

(16)

結合式(15)和(16)得

(17)

設計虛擬控制輸入α2

(18)

其中，k2為正常數。

(19)

(20)

其中，ζ1，σ21，r1為正常數。

將式(18)～(20)代入式(17)得

(21)

利用Young不等式得

(22)

(23)

(24)

(25)

其中，r為正常數。

將式(22)～(25)代入式(21)得

(26)

Step3：設計虛擬控制輸入α3

對z3求導

a5α3+b2λ2+δ2(X)+d2，

(27)

選取以下Lyapunov函數

(28)

對V3求導

(29)

設計如下虛擬控制輸入α3

(30)

(31)

(32)

其中，ζ2，σ31和r2為正常數。

由式(29)～(32)得

(33)

利用Young不等式得

(34)

(35)

(36)

(37)

結合式(34)～(37)和式(33)得

(38)

Step4：設計控制輸入u

(39)

選擇Lyapunov函數

(40)

上式關于時間的導數為

z4(bu(t)+f4+b4λ4+a6x3+a7x4)+

(41)

設計控制輸入u

(42)

(43)

σ4為正常數。

結合式(42)～(43)，得式(41)滿足

3 穩定性分析

本節中，基于Lyapunov穩定性理論分析閉環系統的穩定性，可總結為2個定理，其中定理1證明系統部分變量的有界性，定理2證明整體閉環系統的穩定性。

證明選取Lyapunov函數

V=V1+V2+V3+V4，

(45)

對時間求導數得

(46)

根據式(12)、(26)、(38)和(44)得

C3+C4≤-?1V+C，

(47)

對式(47)兩端同乘e?1t并積分得

(48)

(49)

(50)

其中，ζ1，ζ2，ζ3，ζ4i，ζ5i為一階可導函數(i=1,2,3)。

(51)

(52)

選取Lyapunov函數

(53)

(54)

其中，v和μ為正常數，結合式(52)，進一步化簡得

(55)

進一步，利用柯西史瓦茲不等式，可得

(56)

(57)

(58)

將式(56)～(58)代入式(55)得

(59)

對式(59)兩端同乘e?2t并積分得

(60)

即λi是有界的(i=1,2,3)。

定理2考慮冷軋厚控系統(2)滿足假設1和2，則在自適應律(11)，(19)，(20)，(31)，(32)和(43)以及控制器(42)作用下，閉環系統半全局一致有界穩定，且輸出誤差滿足約束條件。

證明選取Lyapunov函數為

Vo=V+Vλ，

(61)

結合式(48)和(60)，可得式(61)的導數滿足

(62)

式中，Co=C+Cρ，?=min{?1,?2}。

對式(62)兩端同乘e?t并積分得

(63)

(64)

由式(64)可知，輸出誤差z1在區間(-ρ1,ρ1)內，系統輸出誤差滿足預先設定的約束條件，證畢。

通過以上分析，HAGC系統在基于障礙函數的自適應控制器的作用下達到半全局一致有界穩定，且輸出誤差滿足約束條件。

注3:文獻[16]通過預定性能函數解決系統輸出約束問題，而設計控制器的過程中涉及較為復雜的計算和求導運算，本文采用的正切型障礙李亞普諾夫函數保證了系統的輸出誤差性能，且減少了計算量，使得控制器設計過程變得相對簡單。

4 仿真分析

基于冷軋厚控模型(2)進行仿真分析。選取1700單機架軋機進行仿真驗證。液壓系統參數：缸徑為φ720 mm，桿徑為φ600 mm，行程為40 mm。冷軋厚控系統的主要參數見表1。

表1 HAGC系統的主要參數Tab.1 Main parameters of HAGC system

為了更好地體現控制器的有效性，考察以下兩種工況特性，并進行了仿真對比：

工況1：考慮HAGC系統受伺服閥中的非線性特性、軋輥間的摩擦和軋制力變化導致的彈性變形量等引起的系統不確定性、測量時變時延、傳感器故障和外部擾動(由支撐輥工作輥的偏心、咬鋼和拋鋼等引起)的影響。

工況2：除了考慮工況1的因素外，還考慮輸出誤差約束的影響。

兩種工況下的仿真結果如圖2～圖6所示。圖2表示軋件厚度誤差x1的變化曲線，由圖2可知工況2中的軋件厚度誤差大約在0.2 s達到穩定，并且工況2中的軋件厚度誤差滿足預先設定的約束要求，而工況1中軋件厚度誤差超出了約束邊界。圖3～圖4分別表示缸位移誤差x2和缸速度誤差x3的變化曲線，由圖3可知兩種工況下的缸位移誤差在0.4 s時都產生了微小的抖振(因為傳感器發生了故障)，工況2的曲線比工況1的曲線抖動幅度小。由圖4可以看出缸速度誤差x3在0.4 s時產生了抖振，且工況2比工況1的抖動幅度小。圖5為負載壓力誤差x4的變化曲線，由圖可知負載壓力誤差大約在0.2 s達到穩定。圖6為控制輸入的變化曲線，由圖可知控制輸入光滑無抖振。

圖2 軋件厚度誤差x1Fig.2 The thickness error of strip x1

圖3 缸位移誤差x2Fig.3 Cylinder rod displacement error x2

圖4 缸速度誤差x3Fig.4 Derivative of cylinder displacement error x3

圖5 負載壓力誤差x4Fig.5 Load pressure error x4

圖6 控制輸入uFig.6 Control input u

5 結論

本文針對存在傳感器故障、時變時延和外部擾動的HAGC系統，提出了自適應反步控制策略。首先設計輔助系統補償時延對系統影響，并利用正切型障礙函數，保證了系統輸出誤差在約束區域內。然后，通過自適應補償機制處理傳感器故障，同時采用神經網絡逼近綜合不確定項。對比的仿真結果表明，所提出的控制策略實現了輸出的穩定跟蹤控制，且瞬態和穩態性能優于不考慮輸出誤差約束時的情形。