漸開線圓柱外齒輪磨前滾刀加工齒形計算*

鄭守幫，楊順成，周立軒，喬永欽，李仕林，付蔚萍

(1.鄭州機械研究所,河南 鄭州 450001; 2.長安大學 工程機械學院，陜西 西安 710000)

0 引 言

齒輪是極重要的機械元件，在機床、汽車、航空、造船、兵工、儀表等眾多工業領域都大量使用。齒輪的精度和質量可以直接影響整臺機械的性能[1]。隨著新裝備、新工藝的出現，彎曲強度和接觸強度極佳的硬齒面齒輪得到日益廣泛應用的同時，滾齒加熱處理加磨齒的工藝也越來越多的被使用[2]。為保證齒輪齒面具有良好的接觸性能，同時不影響彎曲性能，磨齒時應避免齒根磨削，這就要求齒輪在滾齒時要有一定的沉切量，為此滾齒刀具應采用考慮留磨量和凸起量的磨前滾刀[3]。

根據以往生產經驗，有客戶要求成品齒輪滲碳層深度需有較高一致性，尤其對于某些軍品，其相應等級要求更高。但由于齒廓各處曲率差異，使得不同位置滲碳層深度具有不均勻性[4]。為滿足既定要求，應具體剖切分析不同位置處的滲碳層深度[5]，使磨前齒輪齒廓不同位置留有不同的磨削余量。而由于磨前滾刀法向齒廓含有兩段齒形角不等的刀刃部分[6]，其嚙合線與用標準滾刀切制時有較大差異，而且其刀刃連接尖點處的具體切制原理相關研究較少，故文中依托實際生產，綜合考慮留磨余量、凸起量以及變位系數的復合影響[7]，詳細探討了此給定各種生產參數的磨前滾刀切制漸開線圓柱外齒輪的切制原理，使用參數化方程推導其整個過程，力求為研究者提供更貼近實際的理論模型，以便解決實際生產。

1 磨前滾刀法向基準齒廓

齒輪滾刀是按展成法加工齒輪的刀具。它可以用來切制直齒輪，也可以切制斜齒輪，可以加工非變位齒輪，也可以加工變位齒輪。加工方式如圖1所示。

圖1 齒輪滾刀加工齒輪 圖2 滾刀基本蝸桿與齒輪嚙合

滾刀的法向齒形相當于一齒條，滾刀加工齒輪的過程其本質就是齒條齒輪的嚙合過程。后面為了方便理解與推導，這里將滾刀的回轉運動轉換成齒條的水平移動來進行詳細的探究，如圖2所示[7]。

在某些特殊要求下(例如航空工業中)某些磨齒的齒輪要求高抗彎強度，齒根過渡曲線應有最大曲率半徑，這種磨前齒輪可用齒頂為大曲率圓弧的滾刀加工[8]。這種磨前滾刀加工出的磨前齒輪表面處應有留磨余量，同時齒根處還需有少量根切以使得磨削齒形時砂輪的頂部不參與磨削工作[9]。這種帶圓頭的滾刀刀齒，可采用圖3所示的齒形作為滾刀法向基準齒形[10]。

圖3 帶圓頭滾刀的法向齒形

該齒形分三部分，一部分是齒形角為α的直線齒形部分，即圖中的K1K3段齒形，這一段與一般齒輪滾刀的齒形是一樣的；第二部分是半徑為r0的齒頂圓弧部分，即K4K6段齒形，該齒形用來切制齒輪的槽底曲線，由嚙合原理可知，切制出來的曲線為延伸漸開線的等距線[11]；中間K3K4段齒形為以上兩部分的連接線，這部分直線的傾斜角為αy，根據齒形角α的數值，一般來說αy=7°～12°，以便使這一段刀刃具有必要的后角。

2 刀具參數

現將刀具法向齒廓放大，如圖4所示。

圖4 滾刀的法向齒形放大圖

2.1 滾刀齒頂為全圓弧

變位齒輪的分度圓齒厚為：

(1)

(2)

(3)

在三角形AK6K5和BK6K5中分別使用余弦定理可得：

(4)

(5)

(6)

K3J=K4G-K4H

(7)

2.2 滾刀齒頂為非全圓弧

滾刀齒頂圓弧的半徑r0需給定。

(8)

(9)

(10)

K4G、K4H及K3J的求法同全圓弧，這里不再贅述。

3 動態切制過程

3.1 坐標系的建立

圖5顯示了磨前滾刀切制外齒輪的動態加工過程[13]。

設齒輪的中心為O2，分度圓半徑為r2，節點為P，以P為原點作空間固定坐標系(P(O)-x,y)，y軸與O2P方向一致，如圖5中的y軸，x軸則與它垂直，如圖5中的x軸，再作一個與滾刀固連并隨滾刀一起移動的坐標系(O1-x1,y1)，在初始位置，y1軸與y軸重合，由變位系數確定O1點沿y軸移動的距離。以O2點為原點，作與齒輪2固連并隨它一起轉動的坐標系(O2-x2,y2)，在起始位置，y2軸與y軸重合，x2軸與x軸平行[14]。

圖5 動態切制過程

設齒輪2由起始位置沿順時針方向轉過φ2角，與此同時，滾刀由起始位置移動的距離為r2·φ2。則：

由(O1-x1,y1)變換到(P(O)-x,y)的變換矩陣M10為：

(11)

由(P(O)-x,y)變換到(O2-x2,y2)的變換矩陣M02為：

(12)

由坐標變換性質經矩陣運算可得：

M01=M10-1，M20=M02-1

M12=M10·M02，M21=M12-1

具體推導過程不再贅述。

N1N2為齒形角為α的K1K3段直線齒廓與齒輪的嚙合線，由嚙合原理分析可得，由于傳動比不變，齒形角為αy的過渡刀刃直線在切制時與齒輪的嚙合線應通過節點P，且嚙合線的壓力角與過渡刀刃齒形角相等，圖5中線段N3N4即為過渡刀刃K3K4與齒輪嚙合的嚙合線。

3.2 滾刀齒廓的方程建立

在滾刀坐標系(O1-x1,y1)下；

令齒頂圓弧圓心在y1軸上，如圖5中的位置(0)，刀具齒頂圓弧中心A點的坐標為：

(13)

此時，滾刀齒頂圓弧與齒輪嚙合點M的坐標為：

(14)

式中：α0是齒頂圓弧中心A點與節點P的連線與x軸的夾角，如圖6所示，且-π/2≤α0≤-α，具體推導過程可參看齒輪嚙合原理。這也是滾刀齒頂圓弧的方程。

圖6 滾刀齒頂圓弧嚙合點位置

齒頂圓弧與過渡刀刃的切點K4的坐標為：

(15)

由點斜式方程可得K3K4段齒形方程為：

(16)

同理可得K1K3段齒形方程為：

(17)

其中：

O2J=r0·cosαy+K4H·tanαy

(18)

3.3 切制臨界點的確定

壓力角為α的嚙合線N1N2與齒輪齒頂圓交于N1點，滾刀上K1K3段齒形從N1點(圖5位置(1))位置開始切制齒輪上壓力角為α的漸開線部分，當K1K3齒形上K3點與嚙合線N1N2相交于N2時(圖5位置(2))，壓力角為α的漸開線部分切制結束。由齒輪嚙合原理知，傳動比不變的前提下，嚙合線的壓力角等于齒條齒形角，且嚙合線始終過同一節點P。由此可知過渡刀刃K3K4齒形上K3點與嚙合線N3N4相交于點N3時(圖5位置(3))開始切制齒輪上壓力角為αy的漸開線部分，當K3K4齒形上K4點與嚙合線N3N4相交于N4時(圖5位置(4))，壓力角為αy的漸開線部分切制結束。

當齒條坐標系(O1-x1,y1)的y1軸與固定(P(O)-x,y)的y軸重合時(圖5位置(0))，滾刀齒頂圓弧最低點K6開始切制齒根過渡曲線，刀具繼續移動，直到齒頂圓弧與過渡曲線的切點K4與嚙合線N3N4相交于N4時(圖5位置(4))，齒頂圓弧K4K6切制過渡曲線完畢，滾刀與齒輪毛坯在此處脫離嚙合，完成全部切制過程。

3.4 齒輪齒廓方程的推導

齒輪齒廓完全由滾刀切制，即齒輪齒廓上任意一點在滾刀上均有與之對應的唯一嚙合點。齒輪轉動φ2角，滾刀齒廓水平移動r2·φ2的距離，每給定一個φ2角，求出滾刀齒廓與齒輪在固定坐標系里的嚙合點N，并將固定坐標系中的N點由坐標轉換方程轉換到齒輪坐標系中即為該φ2角下的齒輪齒廓點。

由此，先分別求出固定坐標系下兩段嚙合線N1N2和N3N4的方程如下：

(19)

其中：

(20)

由上述3.3中的論述，切制齒輪上壓力角為α的漸開線部分對應的轉角φ2的范圍為：

(21)

此時滾刀坐標系下的K1K3段齒形在固定坐標系中的方程為：

(22)

聯立方程與方程可解出固定坐標系下K1K3段齒形與嚙合線N1N2交點方程如下：

(23)

同理，切制齒輪上壓力角為αy的漸開線部分對應的轉角φ2的范圍為：

(24)

由此解出固定坐標系下K3K4段齒形與嚙合線N3N4交點方程如下：

(25)

當φ2≥0時，齒頂圓弧開始切制齒根過渡曲線，圖6中嚙合點M對應的α0與轉角φ2的關系為：

將方程轉換到固定坐標系中得：

(26)

將上述方程借由軟件繪制，如圖7所示。

圖7 固定坐標系下各嚙合點

將固定坐標系下K1K3段齒形與嚙合線N1N2的交點方程轉換至齒輪坐標系中為：

(27)

同理可將方程也轉換至齒輪坐標系中，此時將轉換后方程借由軟件繪制，如圖8所示。

圖8 齒輪坐標系下各嚙合點

這里，對于齒根過渡曲線各點處的曲率可由曲線參數方程求導法求得如下：

(28)

進而可求得曲率K的極值和極值點。

4 完整齒廓的繪制

以上推導的齒輪齒廓都是以圓弧圓心A處在坐標系y軸上完成的，為了更加方便實際應用，應將齒廓方程旋轉一個角度從而使得齒槽中線與y軸重合。

使齒槽中線與固定坐標系y軸重合的旋轉矩陣M為：

(29)

最終的齒廓方程為：

(30)

將最終的齒廓方程沿y軸的對稱，并將對稱后的兩個完整齒槽方程依次旋轉2·π/Z2角，即得到完整齒廓。如圖9、10。

圖9 滾刀齒頂為指定圓弧半徑的完整齒廓 圖10 滾刀齒頂為全圓弧的完整齒廓

5 結 語

在研究磨前滾刀齒形對齒輪齒廓的影響時，應該注意到齒形角不同的齒廓部分對應的嚙合線壓力角與齒形角相等，并且嚙合線都是經過同一節點的，滾刀齒頂圓弧嚙合點與圓心的連線也經過節點。對于滲碳層深度一致性要求較高的齒輪，可通過實物分析和基于文中原理的參數調整，最終實現滲碳層深度的一致性要求。

文中綜合考慮實際生產因素，推導過程全程使用參變量，可直接精確求解實際齒廓各點曲率。此對于研究齒廓曲率對于滲碳層深的具體影響亦有一定幫助。最后結合加工數據，校驗了計算機繪圖參數，證明原理的正確性，在結合實際生產設計磨前滾刀齒形方面有一定的參考價值。