耐久性分析相對小裂紋擴展速率公式的參數確定方法

左冉東，賀小帆，李玉海

（北京航空航天大學航空科學與工程學院，北京 100083）

飛機結構在使用過程中長期承受交變載荷作用，由此造成的疲勞斷裂是飛機結構最主要的失效模式，為了保證飛機結構的使用安全和經濟性，應進行耐久性分析確定結構的經濟壽命［1］。概率斷裂力學方法是一種有效的耐久性分析方法，該方法基于描述結構原始疲勞質量的當量初始缺陷尺寸（EIFS）分布給出損傷度隨時間變化的函數關系，進而依據指定的損傷度要求預測結構的經濟壽命。在該方法中，原始疲勞質量和使用期裂紋擴展控制曲線（SCGMC）的確定都需要建立結構細節相對小裂紋擴展速率公式［2］，因此相對小裂紋擴展速率公式的研究非常重要。

按幾何尺寸不同，疲勞裂紋可分為小裂紋和長裂紋。一般而言，小裂紋是指裂紋長度小于幾百微米的裂紋，而長裂紋則是指長于2 mm的裂紋［3］。受裂尖應力場的影響，小裂紋和長裂紋的擴展規律不同，需要分別描述［4-5］。而結構耐久性分析針對的多是長度小于或等于工程可檢裂紋尺寸的裂紋，其長度一般在0.1～1.2 mm 范圍內，通常稱為相對小裂紋［6］。目前，已經對相對小裂紋范圍內的裂紋擴展規律進行了大量研究。Frost和Dugdale［7］指出等幅載荷下，裂紋長度隨載荷循環數的變化可用對數線性關系來表征。Barter等［8-9］基于大量的試驗數據指出Frost和Dugale［7］的結論符合F／A-18和Macchi飛機中的7050鋁合金的裂紋擴展行為。Molent等［10-11］對隨機譜下多個飛機型號結構疲勞斷口數據的分析也驗證了該結論的正確性。

Yang等［12］在進行飛機結構耐久性分析時，認為相對小裂紋擴展速率與裂紋長度的常數冪線性相關，其中這個常數與材料有關，并用以確定EIFS分布。Gallagher和Stalnaker［13-14］基于孔邊角裂紋擴展數據分析，驗證了Yang等［12］結論的有效性。Hoeppner和Krupp［15］通過對大量裂紋擴展模型的對比分析，驗證了該結論的正確性。

盡管大量的試驗數據已經證明了Yang等［12］所提相對小裂紋擴展速率公式的有效性，且該公式在概率斷裂力學方法中具有非常重要的作用，但仍存在如下問題：

1）該公式的適用范圍不明確，相對小裂紋尺寸范圍與細節幾何尺寸有關，目前只能從試驗數據的規律予以確定，缺乏統一的確定方法。

2）該公式中參數的確定基于耐久性試驗，需要取結構細節模擬試件進行至少3個應力水平下的成組耐久性試驗，試驗工作量大。

為了建立相對小裂紋擴展速率公式中參數的確定方法，本文以受遠場均勻拉伸載荷作用的中心圓孔板為分析對象，通過對材料裂紋擴展速率公式的分析、裂紋擴展分析的數值模擬、典型結構細節耐久性試驗，以及該式適用范圍的統一標準，得到參數Q和b的確定方法。

1 相對小裂紋擴展速率公式分析

按飛機結構設計思想，耐久性分析的對象是除飛行安全關鍵件外的結構關鍵件，這些關鍵件通常承受較高應力水平且存在應力集中，其疲勞失效對飛機結構的經濟性造成嚴重影響，在全壽命周期內需要進行修理才能滿足壽命指標要求［16-17］。因此，在相對小裂紋擴展范圍內，其裂紋擴展過程主要集中在材料的穩定裂紋擴展段。材料疲勞裂紋擴展的d a／d N-ΔK曲線在雙對數坐標下成“S”型，可分為3個階段，其中第2個階段，即穩定擴展區，一般可用Paris公式來表征：

當裂紋長度相對較小時，與Y0相比，式（3）等號右側第2項為小量，即存在au，當a≤au時，可僅保留式（3）等號右側第1項，即有

需要指出的是，Q為d a／d N＝Qab中的系數；au取值與具體分析對象有關，可根據Y的變化情況，按工程許用誤差（如±5%）予以確定。

2 遠場均勻拉伸中心圓孔板相對小裂紋擴展速率公式參數確定

中心圓孔板在遠場均勻拉伸載荷作用下，孔邊會出現多種形態的裂紋，如孔邊角裂紋、孔壁裂紋等。在相對小裂紋范圍內，裂紋均為三維裂紋，應力強度因子求解復雜。本節針對典型裂紋形態，分有近似解和沒有近似解2種情況進行研究。

2.1 基于應力強度因子近似解的參數確定

Shah［18］、Raju和Newman［19］使用有限元法得到了中心圓孔有限寬板孔邊單邊／雙邊角裂紋的應力強度因子解。Raju和Newman［20］基于有限元解得到了單邊／雙邊角裂紋、單邊／雙邊孔壁裂紋的應力強度因子近似解。

取3種中心圓孔有限寬板，模型尺寸如表1所示。在單側孔邊設置長度為0.1 mm的1／4圓形初始角裂紋，基于單邊角裂紋的應力強度因子近似解［20］進行裂紋擴展分析。其中裂紋速率Paris公式參數為C＝1×10-10、n＝2，交變應力比R＝0.1，峰值應力為98 MPa。經裂紋擴展分析得到a-N、a-Y數據，使用式（10）所示割線法計算裂紋擴展速率d a／d N（單位為mm／cycle，其中cycle為載荷循環次數，L為裂紋擴展過程中，相對小裂紋尺寸范圍內的（a，N）數據對總數）。d a／d N-an／2曲線和a-Y曲線如圖1（a）和圖1（b）所示。

圖1 基于應力強度因子近似解的裂紋擴展分析結果Fig.1 Analysis result of crack propagation based on approximate solution of stress intensity factor

以Y與Y0的差值不超過±5%為依據確定au，各模型對應的au和Y0如表1所示。

表1 模型尺寸Table 1 Model dimension

對a＜au范圍內的d a／d N-an／2數據進行線性擬合，斜率即為Q，擬合結果如表2所示，其中r2為相關系數。將參數C、n、σ、R和Y0代入式（9）計算Q值，記為Q′，按式（11）計算Q值的相對誤差η，將Q′和η一并列入表2中。

表2 da／dN-an／2數據處理結果Table 2 da／dN-an／2 data processing result

顯然，在a＜au范圍內，d a／d N-an／2數據線性度良好，有式（8）成立；Q與Q′在誤差許可范圍內，有式（9）成立。

2.2 基于FRANC3D軟件裂紋擴展分析的參數確定

2.1節針對有應力強度因子近似解的情況，闡明了相對小裂紋范圍內式（7）的適用性和參數確定方法。由于中心圓孔平板試件在交變載荷作用下孔邊會出現復雜的裂紋形態，本節針對沒有應力強度因子解的情況，借助FRANC3D軟件，模擬不同情況下的裂紋擴展并討論參數的確定方法。

模型尺寸：寬度w＝40 mm，孔直徑d＝10 mm，厚度t＝5 mm。載荷譜和裂紋擴展速率參數同2.1節。以孔壁到裂紋前緣的徑向最遠距離為裂紋長度a，以模型一側表面為參考表面，用初始裂紋中心到參考表面的距離x來表示初始裂紋中心的位置，如圖2所示。

圖2 裂紋描述示意圖Fig.2 Schematic diagram of crack description

本節考慮如下4種裂紋擴展模式：①單邊裂紋。②雙邊對稱裂紋。這2種情況下，在孔側x＝0，1，2，2.5處分別設置初始長度為0.1 mm的半圓形或1／4圓形初始裂紋。③雙邊裂紋（位置不對稱但初始長度相同），在孔壁兩側分別取x＝0，1，2，3，4，5六個點為初始裂紋位置，兩兩搭配，考慮結構的對稱性（如x＝0與x＝5位置，x＝1與x＝4位置是等效的）并剔除兩邊對稱的搭配，還剩余9種搭配，如表3所示。④雙邊裂紋（初始裂紋尺寸不相同，位置對稱）。在孔兩側x＝0，1，2，2.5處分別設置半徑為0.1 mm 和0.05 mm，0.2 mm和0.02 mm的圓形裂紋。采用FRANC3D軟件模擬裂紋擴展并得到（a，N）數據，采用修正的割線法獲得裂紋擴展速率d a／d N，各情況的d a／d N-an／2曲線如圖3所示，其中對于雙邊裂紋（初始裂紋尺寸不相同，位置對稱），僅對裂紋較長一側的裂紋擴展結果進行分析。圖3（c）圖例含義為：一側初始裂紋位置x-另一側初始裂紋位置x-該曲線對應一側的初始裂紋位置。

圖3 基于FRANC3D模擬的d a／d N-an／2曲線Fig.3 d a／d N-an／2 curves based on FRANC3D simulation

表3 初始裂紋位置搭配Table 3 Initial crack position collocation

取相對小裂紋的尺寸范圍為a＜0.88 mm、Y0＝1.95（見表1）。對a＜0.88 mm 范圍內的d a／d N-an／2數據進行線性擬合，取截距為0，斜率即為Q，擬合結果如表4所示。將參數C、n、σ、R和Y0代入式（9）計算Q′，可得Q′＝9.29×10-6。由此計算η，一并列入表4。

表4 da／dN-an／2數據處理結果Table 4 da／dN-an／2 data processing results

由表4可知，在a＜0.88 mm 范圍內，d a／d N-an／2數據線性度良好，有式（8）成立；Q與Q′在誤差許可范圍內，有式（9）成立，且Q的取值與初始裂紋位置、裂紋擴展方式（單邊／雙邊擴展）無關。

3 耐久性試驗驗證

3.1 耐久性試驗

耐久性試驗采用中心圓孔平板試件，試件材料為7B04 T7451鋁合金，取樣方向L-S方向，根據試件孔徑和寬度的不同分為3種，如表5所示，試件示意圖如圖4所示。各試驗組應力比R＝0.1，峰值應力及有效試件數如表5所示。

圖4 試件尺寸示意圖Fig.4 Schematic diagram of specimen size

表5 試件尺寸及試驗結果Table 5 Specimen size andexperimental results

疲勞試驗在Instron 8801液壓伺服疲勞試驗機上進行，試件直接夾持在夾頭上。試驗在室溫大氣環境下進行，軸向加載，正弦波，加載頻率5 Hz。為能通過斷口判讀獲取裂紋前緣形狀和擴展數據，參考文獻［21］，在等幅譜中定期插入標識載荷。試驗后在工具顯微鏡下判讀斷口，獲得（a，N）數據。

3.2 參數確定

對各試件a＜au（au如表1所示）范圍內的d a／d N-a1.566數據分別進行線性擬合，取截距為0，斜率即為對應的Qi（i為試件編號），如表6所示，其中r2為相關系數，試驗組編號中括號內的數值為應力水平。由表6可知，在a＜au范圍內，各試件的d a／d N-a1.566數據線性度良好，有式（8）成立。

表6 各試件的da／dN-a1.566數據擬合結果Table 6 da／dN-a1.566 data fitting result of specimens

圖5 各試驗組的d a／d N-a1.566曲線Fig.5 d a／d N-a1.566 curves of experimental groups

由于材料力學特性的分散性，疲勞裂紋擴展速率參數C、n具有分散性，不能用某一試件的d a／d N-an／2數據來表征該種試件在某一應力水平下的裂紋擴展，須綜合該應力水平下的所有d a／d N-an／2數據進行表征。假設同一類試件在給定應力水平下的Q服從對數正態分布，記Z＝lg Q，則Z的概率密度函數為

式中：μ和σ1分別為Z的期望和標準差。

則相關參數估計值為

基于式（13）獲得各試驗組對應的Q50，如表7所示。基于7B04 T7451鋁合金穩定裂紋擴展段的疲勞裂紋擴展速率參數［22］，將參數C、n、σ、R和Y0代入式（9）計算Q′，并得到η，將Q′、η、au和Y0一并列入表7中。由表7可得，在a＜au范圍內，Q50與Q′在誤差許可范圍內，有式（9）成立。

表7 da／dN-a1.566數據處理結果Table 7 da／dN-a1.566 data processing result

4 結 論

本文以受遠場均勻拉伸載荷作用的含中心圓孔板為對象，基于裂紋擴展分析和耐久性試驗結果分析，驗證了耐久性相對小裂紋擴展速率公式，并給出了參數確定方法。結論如下：

1）裂紋擴展速率公式d a／d N＝Qab可用于描述相對小裂紋擴展速率，該公式使用范圍（裂紋長度上限）根據應力強度因子修正系數近似展開式中首項的誤差確定。

2）等幅應力下的裂紋擴展速率參數