捷聯慣組減振系統角振動固有頻率預示及不確定性分析

王 樂，蔡毅鵬，常漢江

（中國運載火箭技術研究院，北京 100076）

捷聯慣組廣泛應用于各種航空航天裝備中，它利用加速度計和陀螺等慣性器件測量載體相對于慣性空間的線運動和角運動。由于慣性導航設備與載體直接連接，飛行過程中的振動環境會對捷聯慣組的性能產生不利影響，需要設計減振系統，以改善慣性器件的工作環境。

Zhang等[1]提出了基于磁流變技術的捷聯慣組自適應阻尼隔振方法，對減振效果進行了試驗驗證；Tao等[2,3]設計了擠壓/伸長-剪切模式下磁流變彈性體隔振器，對隔振器剛度進行了估算及驗證，并開發了基于相位控制的磁流變彈性體捷聯慣組隔振系統。以上工作均采用主動減振的方式，然而，主動減振技術復雜，在實際型號中應用較少。Tu等[4]采用解耦的方法，分析了橡膠減振器變形引起的雙軸旋轉慣性導航系統高精度機械抖動激光陀螺偏角。Fang等[5]也以解耦為目標，對激光陀螺慣組減振系統進行了優化，通過改變減振器的位置并調整慣組質量分布，有效抑制了耦合振動。段宇星等[6]提出了實現準解耦的隔振系統設計方法，對某無人機捷聯慣組隔振系統進行了動力學分析與優化設計。

為了克服飛行中的角振動環境對導彈制導系統精度和穩定性的影響，需要準確獲取慣組減振系統角振動傳遞特性，通常應進行角振動傳遞特性試驗，其試驗結果是控制系統設計的依據。然而，與線振動試驗相比，角振動試驗的技術難度大、成本高[7]，如果在角振動試驗后再發現慣組減振系統的角振動傳遞率嚴重超出控制系統的指標要求，將給慣組濾波器的設計帶來困難[8]，甚至會造成減振設計方案反復，因此準確預示慣組減振系統的角振動特性，對于優化減振設計方案、降低設計風險是十分必要的。

在工程實踐中，由于減振器非金屬材料彈性模量的波動和實際加工偏差等因素的存在，減振器剛度存在不確定性，從而改變了慣組減振系統角振動傳遞特性。另一方面，控制系統所能容許的慣組減振系統角振動固有頻率變化的帶寬是有限的，為了確保慣組濾波器設計的適用性，需要對減振系統角振動固有頻率的不確定性進行分析，以準確獲取其統計特征，作為慣組濾波器設計的輸入條件，同時可根據設計結果對減振器剛度的離散程度提出控制要求，目前在這方面的工作還比較欠缺。隨機不確定性理論已經在其他動力學問題分析中得到應用，Souf等[9]將波動有限元法與非參數概率方法結合，分析了模型不確定性下的結構隨機響應；Wu等[10]將柔性多體系統的材料屬性以空間隨機場表征，采用多項式混沌展開法近似求解了系統的隨機響應，計算精度與蒙特卡羅法相當，但效率更高；Jia等[11]通過在隨機動力學系統響應計算中嵌入Kullback-Leibler（K-L）相對靈敏度，提高了概率密度演化方法的效率，適用于具有高維不確定性參數系統的概率響應分析；以上工作為本文研究提供了基礎。

本文建立了某捷聯慣組減振系統簡化動力學模型，提出了角振動固有頻率預示方法并進行了試驗驗證。為獲取角振動固有頻率的概率分布，本文考慮減振器剛度的隨機分布，將蒙特卡羅方法與核密度估計法結合，開展了角振動固有頻率的參數不確定性量化分析。

1 慣組減振系統角振動固有頻率預示方法

某捷聯慣組外形為長方體，采用八點外減振，減振器對稱布置，如圖1所示，在慣組質心處O點建立坐標系，x軸和y軸見圖1，z軸由右手定則確定。

圖1 八點外減振的捷聯慣組示意圖Fig.1 Schematic diagram of strapdown IMU with eight point external damping

設慣組本體為剛體，減振器x方向的間距為l，y方向的間距為h，為預示繞z軸的RZ向角振動固有頻率，從z軸反方向看去，將慣組減振系統簡化為平面模型，將慣組與減振器的連接點投影到Oxy平面，共4個點，編號分別為1#、2#、3#、4#，慣組質心距離相應側邊的距離分別為al和bh，如圖2所示。

圖2 慣組減振系統簡化動力學模型Fig.2 Simplified dynamic model of IMU damping system

設慣組質心處的線位移為x0和y0，繞z軸的RZ向角位移為ξ，1#、2#、3#、4#點的x向位移分別為x1、x2、x3、x4，y向位移分別為y1、y2、y3、y4，慣組質心與1#、2#、3#、4#點連線的長度分別為l1、l2、l3、l4，4個夾角α1、α2、α3、α4的定義見圖2。

設單個減振器x向和y向剛度分別為kx和ky，1#、2#、3#、4#點x向剛度分別為k1x、k2x、k3x、k4x，y向剛度分別為k1y、k2y、k3y、k4y，同一套慣組的減振器在挑選時通常根據剛度進行匹配，使減振器的剛度盡量接近，因此忽略同一套慣組減振器剛度之間的差異，則有：

根據圖2中的幾何關系，可得：

由力和力矩的平衡方程可得：

將式(2)-(5)代入式(6)，可寫成以下形式：

上式中，X=[x0y0ξ]T，M和K的形式如下：

令 Δx1=l1sinα1， Δy1=-l1cosα1， Δx2=l2sinα2，Δy2=l2cosα2， Δx3=-l3sinα3， Δy3=-l3cosα3，Δx4=-l4sinα4， Δy4=l4cosα4，式(9)中矩陣各元素為：

設同一方向的減振器剛度一致，則單個減振器x向和y向剛度為：

式中，fx和fy為慣組減振系統線振動固有頻率，可由慣組減振系統線振動試驗測得。

求解式(7)，可得到慣組減振系統的線振動固有頻率和角振動固有頻率。當慣組質心與形心重合時，有a= 0.5，b=0.5，由式(12)可得：

由式(7)可得慣組減振系統繞慣組質心處坐標系z軸的RZ向角振動固有頻率frz為：

慣組減振系統繞慣組質心處坐標系x軸和y軸的角振動固有頻率frx和fry的預示方法可根據式(1)-(15)類推。

2 慣組減振系統角振動固有頻率不確定性分析方法

將慣組減振系統減振器x向和y向剛度視為隨機變量，設二者均滿足高斯分布，設標稱狀態下減振器x向和y向剛度分別為kx0和ky0，kx和ky可表示為：

式中，CVx是減振器x向剛度的變異系數，CVy是減振器y向剛度的變異系數，ξx和ξy是服從高斯分布的隨機變量，設ξx和ξy均服從N(0,1)的高斯分布。

采用蒙特卡羅方法的思想，在剛度隨機輸入下，通過式(15)可以獲取大量的慣組減振系統角振動固有頻率樣本。在此基礎上，進行非參數密度估計，本文采用核密度估計方法，概率密度估計為：

式中，f(x)為估計的概率密度，xi為樣本數據，n為樣本個數，Kh為核函數，本文選取高斯核函數，Δh為帶寬，選取的原則是使得均方誤差最小，本文假設輸入的剛度滿足高斯分布，Δh的選擇見式(18)。

式中，σ是樣本的標準偏差。

3 捷聯慣組減振系統線角振動試驗及算例

3.1 線振動試驗

首先對捷聯慣組減振系統進行了線振動傳遞特性試驗，隨機振動試驗條件如圖3所示，試驗測得的減振前后x向和y向線振動傳遞率的幅頻特性見圖4。

圖3 捷聯慣組減振系統線振動試驗條件Fig.3 Test condition of linear vibration of strapdown IMU damping system

圖4 捷聯慣組減振系統線振動傳遞率的幅頻特性Fig.4 Amplitude-frequency characteristics of linear vibration transmissibility of strapdown IMU damping system

由圖4可知，慣組減振系統兩向線振動固有頻率分別為：x向71 Hz，y向71 Hz。由慣組的總質量m及式(13)可得每個減振器x向和y向剛度分別為：

獲取kx和ky后，由式(15)可計算RZ向角振動固有頻率。

3.2 角振動試驗

為檢驗RZ向角振動固有頻率計算結果的準確性，對捷聯慣組減振系統進行了RZ向角振動傳遞特性試驗，角振動試驗條件由圖3中的線振動條件根據慣組質心所在的艙段截面直徑分解而來，見圖5。將試驗件安裝在角振動轉臺上，轉臺繞轉軸進行角振動加載，如圖6所示，在轉臺繞轉軸的兩端布置線振動加速度傳感器，通過控制轉臺上控制點（圖6中A點或B點）的振動加速度傳感器的響應以滿足角振動條件，控制設備使用單維控制儀。在慣組減振后繞轉軸的兩側邊布置線振動加速度傳感器，按照文獻[12]的方法可由線振動加速度傳感器信號獲取減振后的角振動響應。

圖5 捷聯慣組減振系統角振動試驗條件Fig.5 Test condition of angular vibration of strapdown IMU damping system

圖6 捷聯慣組減振系統角振動試驗示意圖Fig.6 Schematic diagram of angular vibration test of strapdown IMU damping system

慣組減振系統的角振動傳遞率H(j)ω計算方法見式(20)。

式中，φout(jω)為慣組減振后的角振動響應，φin(jω)為角振動轉臺的角振動輸入。

由試驗測得的RZ向角振動傳遞率幅頻特性見圖7。

圖7 角振動試驗測得的RZ向角振動傳遞率幅頻特性Fig.7 Amplitude-frequency characteristics of angular vibration transmissibility in RZ direction measured by angular vibration test

由圖7可得RZ向角振動固有頻率，將由式(15)預示的RZ向角振動固有頻率與試驗結果對比，結果見表1。

表1 RZ向角振動固有頻率預示結果與試驗結果的對比Tab.1 Comparison of predicted result of angular vibration natural frequency of RZ direction with test result

由表1可見，慣組減振系統角振動固有頻率預示結果與試驗結果的相對偏差為-3.8%，預示結果與試驗結果接近，計算結果比試驗結果略低，可能是實際產品的質量特性與設計值差異導致的。

4 捷聯慣組減振系統角振動固有頻率不確性分析

以式(19)中的kx和ky為標稱值，設減振器x向和y向剛度是獨立分布的，其變異系數CVx和CVy均為2.5%，對服從高斯分布的隨機變量xξ和yξ取樣，各選取5000，10000，20000，50000組隨機變量進行蒙特卡羅模擬。將每組隨機變量代入式(14)，再將式(14)代入式(15)中計算RZ向角振動固有頻率，樣本組數N為5000時的角振動固有頻率與kx和ky的關系見圖8。

圖8 樣本組數為5000時的蒙特卡羅法慣組減振系統角振動固有頻率仿真結果Fig.8 The simulation results of the natural frequency of angular vibration of the IMU damping system when the number of samples is 5000 using Monte Carlo method

將不同組數的蒙特卡羅仿真結果用于核密度估計，可以得到角振動固有頻率的概率密度函數，樣本組數N為5000和50000時的概率密度函數對比見圖9。

圖9 樣本組數分別為5000和50000時概率密度函數對比Fig.9 Comparison of probability density functions when the number of sample groups is 5000 and 50000

不同組數樣本角振動固有頻率的平均值、標準偏差和變異系數見表2。

表2 不同組數樣本角振動固有頻率的平均值、標準偏差和變異系數Tab.2 The average value, standard deviation and coefficient of variation of the natural frequency of angular vibration of samples with different numbers of groups

由圖9可知，當選取的樣本組數N足夠大時，采用蒙特卡羅法得出的慣組減振系統角振動固有頻率概率密度曲線比較光滑，概率分布趨近于高斯分布。由表2可見，不同樣本組數角振動固有頻率的平均值與表1中標稱狀態下的慣組減振系統角振動固有頻率接近，相對誤差不超過0.01%，不同樣本組數的角振動固有頻率變異系數不超過1.051%，不超過減振器x向和y向剛度變異系數的42%（前文設定剛度變異系數為2.5%），可見，該結果可為慣組減振器剛度離散程度的量化控制及慣組減振系統角振動固有頻率的偏差設計提供依據。

5 結 論

本文提出了捷聯慣組減振系統角振動固有頻率預示方法，并開展了角振動固有頻率的參數不確定性分析。建立了某捷聯慣組減振系統的簡化動力學模型，給出了基于線振動傳遞特性試驗識別減振器剛度，并在此基礎上預示角振動固有頻率的方法，角振動試驗結果表明，角振動固有頻率預示結果與試驗結果的相對偏差為-3.8%，預示結果與試驗結果接近?？紤]減振器剛度的不確定性，結合蒙特卡羅法和核密度估計方法對角振動固有頻率的不確定性進行了量化分析，發現當選取的樣本組數N足夠大時，采用蒙特卡羅法得出的慣組減振系統角振動固有頻率概率密度曲線比較光滑，概率分布趨近于高斯分布。獲得了減振系統角振動固有頻率變異系數與減振器剛度變異系數的對應關系，為慣組減振器剛度離散程度的量化控制及慣組減振系統角振動固有頻率的偏差設計提供了依據。