硅微諧振式加速度計的諧振器非線性振動調節與抑制方法

張 晶，朱欣華，蘇 巖

（南京理工大學 機械工程學院，南京 210094）

本文研究的硅微諧振式加速度計（Silicon Resonant Accelerometer, SRA）是通過硅微機械加工工藝制作的一類典型慣性器件，其具有較大的線性量程與較高的標度因數，同時，其敏感信號能夠在進入電路前被調制在諧振器的工作頻率上，保證信號在傳輸和處理中不易受到后續電路各環節增益變化的影響。另外，由于導致其漂移的因素相對較少，更容易實現高的零偏穩定性和標度因數穩定性[1,2]，因此被認為是更具前景的高性能小型化MEMS加速度計方案，并逐漸成為研究熱點[3]。但研究發現，由于現有的SRA主要采用幅度控制的測控方案，諧振器在振動過程中的大變形產生的非線性效應使得振動頻率中耦合了振動幅度[4-6]，繼而將電路中幅度噪聲轉換為頻率噪聲[7]，嚴重影響SRA的零偏不穩定性。為保證輸出信號的信噪比，降低空氣阻尼的影響，SRA的封裝真空度在0.1 Pa～1 Pa之間，對應的諧振器Q值在10000以上；SRA使用的硅材料是一種普遍被認為線性度很好的材料，但Q值（品質因數）越高，硅微諧振器的最大振幅越容易被放大，非線性變形越明顯，故產生的非線性幅頻耦合效應越不可忽視[8]。

為了降低幅頻效應的耦合，天津大學韓建鑫等建立了時滯速度反饋系統，可實現系統阻尼系數的調節[9]，進而通過人為降低Q值的方式提高諧振器振動的線性范圍。但本文研究的SRA采用圓片級真空封裝工藝[10]，空氣阻尼是影響Q值的主要因素，而諧振器振動時無法改變其空氣阻尼，即難以調節系統阻尼系數。意大利米蘭理工大學的Comi等研究學者，為了解決類似的問題，提出T型質量塊設計，通過改進面外扭轉振動的諧振器與敏感質量塊的約束方式，降低諧振器振動時耦合的檢測質量，從而提高諧振器線性振動的范圍[11]。基于現有研究，本文首先從驅動力控制和諧振器音叉結構的設計兩個方面對諧振器非線性振動進行理論分析，指出抑制非線性振動的驅動力控制范圍；進一步地，基于特定Q值與SRA結構，通過改變諧振器的邊界條件，降低諧振器的非線性剛度，提升線性振動的最大振幅，有效增大驅動力的控制范圍；最后，設計實驗完成驗證。

1 驅動力控制對諧振 器非線性效應的影響

1.1 諧振器非線性振動的等效模型

本文研究的SRA簡化結構如圖1，整體敏感結構在x方向和y方向對稱設計，包含兩個諧振器、兩對微杠桿、質量塊、支撐結構和固定錨點。整體結構在y、z方向的剛度很大，不易產生運動；在x方向上剛度低，容易敏感該方向的加速度輸入。當外界加速度作用在x方向上時，質量塊沿x軸發生平動，同時產生慣性力作用在微杠桿上；慣性力通過微杠桿得到放大并傳遞給諧振器，分別在兩個對稱的諧振器末端產生推力和拉力，使得一個諧振器因受壓振動頻率降低，另一個諧振器因受拉振動頻率增大，最終通過兩個諧振器的差分諧振頻率測算輸入加速度的大小。

圖1 SRA簡化結構示意圖Fig.1 SRA simplified structure diagram

基于SRA結構對稱的特點，研究諧振器的非線性振動可取四分之一結構作為研究對象，則對于單個諧振梁而言，其梁中部受到作用于梳齒結構的靜電驅動力P，約束可近似為一端固支，另一端在x方向連接剛度為ka的等效彈簧（微杠桿及質量塊支撐梁組合的等效剛度），等效力學模型如圖2，所謂諧振梁的非線性振動過程如圖2中虛線所示，在驅動力P的作用下產生非線性變形。

圖2 SRA諧振器等效力學模型Fig.2 Equivalent mechanical model of SRA resonator

在恒定溫度環境下，諧振梁振動的幅頻關系[12]（達芬方程）為：

其中，ωF為驅動力變化的頻率，ωn為諧振梁橫向振動的固有頻率，Xm為諧振器振動的振幅，K1為梁振動的等效1階剛度，K3為梁振動的等效3階剛度（即非線性剛度），Q為諧振器的品質因數，Pm為驅動力的最大幅度。諧振器的振幅最大時，設Xm=Am，此時Am與驅動力頻率ωF的關系：

定義驅動力頻率與固有頻率的比值ωF/ωn為頻率比，定義Xm/(Pm/K1)為振動過程中的振幅放大因子，理想情況下ωF=ωn時，諧振梁在驅動力作用下實現共振，達到最大振幅比，但由于非線性剛度K3的存在，導致了式(1)所代表的非線性效應成為SRA普遍存在的問題。

1.2 通過驅動力調節諧振器非線性振動

實際工作過程中，SRA樣機選擇通用的±12 V電源，為保證偏置電壓穩定，選擇10 V的電壓基準芯片，所以樣機使用Vp=10 V的直流偏置電壓，改變驅動力幅值Pm主要依靠控制交流驅動電壓的幅值|Vac|，以|Vac|=10 mV為例，

其中，Ke為梳齒結構的電容變化量。式(3)代入式(1)可得頻率比與振幅放大因子之間的關系，如圖3，在品質因數為Q= 20832的高真空封裝環境[12]中，振動過程的最大振幅放大了18000倍，但由于該振動系統中的非線性剛度K3＞ 0（諧振器剛度硬化），當ωF=ωn時，諧振器并沒有達到最大振幅比，頻率曲線向高頻的方向偏移，且虛線區域對應的頻率范圍出現振動幅值的滯回，從而產生不穩定區域（即當頻率比由小增大到圖3中“Jump-down”對應的位置時，諧振器最大振幅會直接躍降為更大頻率比對應的實線位置；反之，當頻率比由大減小至“Jump-up”對應的位置時，振幅也會躍升到更小頻率比對應的實線位置），從而導致諧振頻率的不穩定。

圖3 SRA諧振器在10 mV交流驅動電壓下的頻率比與振幅放大因子之間的關系Fig.3 The relationship between frequency ratio and amplitude amplification factor of SRA resonator under 10 mV AC driving voltage

對于SRA諧振器的非線性幅頻關系，Q值取決于器件的真空度，認為保持恒定；K1與K3取決于諧振器結構設計。式(3)可知，不同的交流電壓幅值|Vac|對應不同的驅動力幅值Pm，可調節諧振器的非線性振動響應，得到不同的諧振器的最大振幅Am。如圖4，列舉了不同交流驅動電壓幅值|Vac|對應的幅頻響應，在結構不變的前提下，|Vac|降低至1.5 mV時，振動響應可以擺脫不穩定滯回的現象；|Vac|降低至0.5 mV時，才能保證在ωF=ωn時產生近似于理想情況的最大振幅比，但此時諧振器最大振動幅度只有0.028 μm，極易混入驅動電路的幅度噪聲[13]。因此給設計者提出了要求：在不影響SRA指標的前提下，盡可能從設計角度尋求降低非線性剛度的方法[14]，降低幅度與頻率的耦合程度，才能有效提高線性振動對應的最大振幅，減少幅度噪聲的對輸出信號的影響。

圖4 SRA諧振器在不同驅動電壓下的幅頻響應Fig.4 Amplitude-frequency response of SRA resonator under different driving voltage

2 抑制諧振器非線性效應的結構改進方法

圖2所示的SRA諧振器約束條件對應的非線性剛度K3為[12]：

其中，E為單晶硅的楊氏模量，A為諧振梁橫截面積，L為諧振梁的梁長，ka為諧振梁一端約束的等效剛度（取決于杠桿結構的輸出剛度），具體參數如表1。

由式(4)可知調整諧振梁長、寬等參數可以調節K3，優化杠桿結構的輸出剛度，減小ka也可以調節K3；但SRA加速度計結構參數往往需要協調設計，為了降低非線性剛度而降低杠桿的輸出剛度，則會影響杠桿的放大倍數及其他力學特性。為了避免二者的矛盾，本節通過改進諧振梁的邊界條件：用C形梁式的諧振器代替原有加速度計結構的I形梁，如圖5(a)，諧振梁“BC”由長度為a的短梁“AB”以折疊的形式與框架和杠桿系統相連，使得諧振梁終點B、C不再完全約束在框架和杠桿系統上，在驅動力P的作用下，B、C端的轉動相對自由。在恒溫狀態且沒有加速度輸入的前提下，對該C形梁的受力分析如圖5(b)，可得C形梁BC段的彎矩M（x,t）與軸向力F（x,t）分別為：

圖5 C形梁與I形梁的對比分析Fig.5 Comparative analysis of C-shaped beam and I-shaped beam

其中，a為“AB”段長度，F為慣性力傳遞到諧振器端部的軸向力，RC為諧振梁“BC”端的虛擬力。由式(6)可得：

由于C形梁的彈性特性決定C、D點在x方向位移Cδ、δD不一致，所以軸向邊界條件為：

運用卡式定理[15]的思想, 若想求得C端沿x方向的位移Cδ，假設C點受到沿x方向的虛力為RC，計算可得Cδ：

為了與I形梁形成對比，可假設C形梁振動的末端同樣有等效彈性結構，設其等效剛度為ka*，則

根據非線性剛度計算公式[12]可得C形梁的BC段等效非線性剛度：

其中，w、b分別是諧振梁的梁寬和結構層的厚度。

對于結構參數確定的SRA加速度計，式(11)中諧振梁“AB”段長度a與非線性剛度K3*的關系如圖6所示，在10 μm ＜a＜ 100 μm范圍內，K3*遞減且在前40 μm內減小幅度明顯。考慮到諧振梁的壓桿穩定，最終設計C形梁的連接梁長a= 30 μm，其他相關參數見表1。如圖7比較了相同結構參數下I形梁和C形梁的非線性振動效應，C形梁的幅頻耦合效應明顯弱于I形梁。對比圖4和圖7可以看出，確保C形梁諧振器擺脫不穩定滯回現象的交流電壓幅值|Vac|，從1.5 mV增大到2.5 mV，相比I形梁提升了66%；與I形梁線性振動對應的0.5 mV相比，C形梁的|Vac|降低至1.3 mV時，在ωF=ωn時即可產生近似于理想情況的最大振幅比，線性振動區域提高為原來的2.6倍，即在同等結構參數條件下，C形梁的非線性效應可以得到較為有效的抑制。

圖6 C形梁的“AB”段連接梁長度與非線性剛度的關系Fig.6 The relationship between the length of the "AB" section connecting beam of C-shaped beam and the nonlinear stiffness

圖7 C形梁與I形梁諧振器在不同驅動電壓下的幅頻響應Fig.7 Comparison of amplitude-frequency response for C-beam and I-beam resonator under different driving voltages

表1 I形梁與C形梁的相關結構參數Tab.1 Related structural parameters of I-shaped beams and C-shaped beams

3 非線性實驗

分別將I形梁和C形梁諧振器對應的SRA樣機置于溫度恒定25℃（防止溫度變化造成諧振器固有頻率的漂移）溫箱內的水平面上，設定無加速度輸入，電源、萬用表、示波器和信號發生器等放置在溫箱外，并通過信號線伸入溫箱與讀出電路板的對應接口相連，如圖8所示。

圖8 非線性實驗設備搭建Fig.8 Non-linear experimental equipment construction

改變交流驅動電壓的幅度|Vac|分別為：20、15、12、10、8、6、4、2、1 mV，每次改變驅動電壓后進行開環掃頻，記錄該過程檢測電壓Vs出現的最大幅值，換算為諧振器的最大振幅Am，并記錄Am對應的驅動力頻率ωF，每次測試結果記錄如圖9所示，可見C形梁諧振器的幅頻耦合程度明顯低于I形梁諧振器。分別將I形梁和C形梁諧振器的每組結果代入式(2)進行多項式擬合，求得非線性剛度實驗值，與理論計算值對比，詳見表2。可見，兩者誤差均在15%內，驗證了理論建模的可靠性。同時，對比兩種諧振器設計的實驗結果，I形梁諧振器K3=1.467×1012N/m3，C形梁諧振器K3*=0.496×1012N/m3，非線性剛度降低為原來的41%，較明顯地抑制了振動幅度與頻率耦合的程度。

圖9 兩種結構形式的諧振梁非線性剛度的標定實驗Fig.9 Calibration experiment of nonlinear stiffness of resonant beams with two types of structures

表2 非線性剛度的實驗結果對比Tab.2 Comparison of experimental results of nonlinear stiffness

4 結 論

本文針對SRA高Q值諧振器易受非線性振動影響并惡化SRA的零偏不穩定性的問題，首先從源頭分析了諧振器非線性振動產生的原因，然后從驅動力控制的角度對非線性振動產生的幅頻耦合效應進行了理論分析，指出了線性振動的驅動力調節范圍；進一步地，詳細討論了在結構參數不變的前提下，如何對結構進行改進設計，繼而有效降低非線性剛度。本文提出的C形梁諧振器的結構改進設計方案，核心原理是通過改變諧振器與杠桿等部分的邊界約束條件，降低等效剛度ka，從而降低非線性剛度K3。借助C形梁的諧振器設計，非線性剛度降低為原來的41%，有效抑制了諧振器振動幅度與頻率的耦合，增大了諧振器線性振動的范圍。通過對比測試改進前后的諧振器輸出，驗證了理論分析與設計方案的可行性；同時，證明了諧振器的結構改進使其線性振動的動態范圍提升了66%，繼而有助于降低幅度噪聲對信號的影響。