正弦加速度激勵下石英加速度計的標定方法

孫英博，任順清，王常虹

（哈爾濱工業大學空間控制與慣性技術研究中心，哈爾濱 150001）

石英加速度計作為慣性元器件的核心成員之一，廣泛應用于火箭運載與航空航天裝備中。石英加速度計精度與其制造精度和標定精度有關。受制造工藝限制，其制造精度已趨于極限[1,2]。因此，通過對石英加速度計誤差模型和標定方法深入研究來提高其使用精度十分必要。目前，石英加速度計誤差模型的標定試驗包括重力場實驗[3]和高G試驗[4]。重力場試驗激勵程度小，只能對誤差模型的一次項充分激勵，而高次項和交叉耦合項需要在高G環境中獲得充分激勵。目前，高G試驗主要在線振動臺[5-7]、角振動臺、火箭橇[8]和離心機[9-12]等設備上開展。其中，離心機在石英加速度計的標定試驗中有著較為廣泛的應用。

文獻[13]提出了一種在帶有反轉平臺的精密離心機上標定陀螺加速度計的方法，但未考慮離心機誤差對運動參數輸入的影響。文獻[14]建立了石英加速度計的靜態誤差模型并分析了部分誤差系數的產生機理，同時研究了精密離心機各項誤差對石英加速度計誤差模型系數標定精度的相關性，但對標定精度的影響并未具體分析。針對這個問題，文獻[15]進行了具體的分析和研究，設計了十姿態標定方法，但能標定的參數有限，對于誤差模型三次系數項不能完成標定。文獻[16]通過基于精密離心機的十二姿態標定法實現了對石英加速度計全部高次項系數的標定。然而，在現有的基于精密離心機進行的高G試驗中，輸入激勵均為勻速，未涉及變角速率激勵領域的研究。針對這個問題，本文提出了在盤式離心機上采用正弦角速度作為激勵信號，通過三種姿態下的試驗，并采用最小二乘辨識法完成誤差模型的參數辨識。首先對盤式離心機誤差、加速度計安裝誤差等誤差源進行分析；其次，分析各項位姿誤差、離心機自身位姿誤差的傳遞方法，建立盤式離心機誤差傳遞模型；再次，結合誤差傳遞模型，通過齊次變換準確確定輸出激勵的運動參數，并根據各項運動參數建立完整的加速度計誤差模型。最后，設計三姿態變轉速試驗法實現對加速度計誤差模型系數和盤式離心機誤差的辨識并進行誤差分析，采用對比實驗法分析離心機工具誤差對參數辨識結果的影響。

1 盤式離心機誤差分析

1.1 盤式離心機結構

盤式離心機結構如圖1所示。

圖1 盤式離心機結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of precision centrifuge

其中1表示盤式離心機主軸軸套；2表示盤式離心機主軸軸線；3表示盤式離心機臺面；4表示石英加速度計的工裝夾具；5表示加速度計的安裝位置?？刂票P式離心機主軸以正弦角速率旋轉，在旋轉中既能產生余弦周期性的向心加速度，又能產生余弦周期性的切向加速度，且向心加速度的頻率是切向加速度頻率的2倍。石英加速度計固定在離心機工作平臺工裝內，其敏感軸與盤式離心機臺面軸系對應軸重合。

1.2 盤式離心機位姿誤差

對盤式離心機結構分析確定盤式離心機誤差源，分析各項誤差源產生機理及所在坐標系，建立相應坐標系如圖2所示。依據各坐標系位姿關系進行誤差傳遞，得到盤式離心機位姿誤差對運動參數的影響。坐標系建立如下：

圖2 盤式離心機坐標系示意圖Fig.2 Coordinate systems of precision centrifuge

（1）地理坐標系ox1y1z1

地理坐標系為東北天坐標系，其中o1z與當地重力加速方向平行，o1x指向水平東向，o1y指向水平北向，當地緯度為φ。

（2）主軸軸套坐標系ox2y2z2

設主軸軸線產生二維鉛垂度誤差 Δθx1和Δθy1，因此ox2y2z2相對于ox1y1z1的位姿矩陣為：

（3）主軸坐標系ox3y3z3

主軸坐標系為變速離心機主軸以角速度ω(t)=4πsin(2πft)rad/s旋轉產生的坐標系，在旋轉過程中會引入動態誤差，包括主軸徑向回轉誤差Δx2(α)、Δy2(α)，主軸軸向竄動誤差Δz2(α)，主軸傾角回轉誤差 Δθx2(α)、Δθy2(α)以及正弦角速度信號的輸入誤差Δω。因此ox3y3z3相對于ox2y2z2的位姿矩陣為：

輸入正弦角速度信號誤差ωΔ 包括常值誤差、其它諧波成分干擾誤差以及隨機干擾誤差等對加速度誤差產生影響。可以表示為：

式中，ωp表示角速度周期性變化的幅值，fw為角速度率周期性變化的頻率，φ為采樣起時刻的相位角；ωiCt表示常值漂移誤差；ωξΣ表示隨機誤差，主要包括轉速重復性、轉速的對稱性、速率波動等。

本文所采用的盤式離心機經試驗測得角速度誤差幅值為 Δω= 5× 1 0-5rad/s ，當輸入正弦角速度信號為ω(t) = 4πsin2πtrad/s時，其角速率最大值為ω= 4πrad/s，此時由正弦角速度信號輸入誤差產生的作用在加速度計向心加速度輸入方向的誤差為Δan= 6.4×1 0-5g，類似的，正弦角速度信號輸入誤差產生的作用在切向加速度方向的誤差為Δaτ= 1.5× 1 0-6g。向心加速度和切向加速度會根據加速度計的姿態不同而作用于不同的軸。本文在仿真校驗中，對于向心加速度和切向加速度分別引入與Δan和Δaτ幅值相同的白噪聲作為系統誤差，增強仿真校驗的完整性。

（4）工裝坐標系

通過工裝夾具4的設計，形成加速度計檢測質量中心與主軸軸線的距離R。在離心機旋轉工作中，由于形變和溫度會產生動態半徑誤差Rd，試驗中常進行實時監測。工作臺面坐標系相對于主軸坐標系具有垂直度誤差Δθx3、Δθy3。因此ox4y4z4相對于ox3y3z3的位姿矩陣為：

（5）加速度計測試坐標系

試驗中，加速度計固定在工裝夾具上，對于加速度計，安裝質心相對工作臺面坐標系原點在o4z4方向距離為h1，偏心誤差為Δx4和Δy4。安裝過程中會引入安裝姿態誤差Δθx4、Δθy4及Δθz4。因此ox5y5z5相對于ox4y4z4的位姿矩陣為：

式中，Ai表示各坐標系間的相對姿態矩陣；Di表示各坐標系間的相對位移矢量。

2 盤式離心機輸出運動參數

假設加速度計的輸入軸指向主軸軸線，相當于繞

（4）科氏加速度在加速度計三軸上的分量計的輸入基準軸上的比力為當變速z5軸旋轉180°，坐標系旋轉矩陣為A6，此時加速度離心機主軸以變角速率ω(t)=4πsin(2πft)rad/s旋轉標定加速度計時，加速度計的比力輸入有4個來源，分別是重力加速度比力、切向加速度、向心加速度和科氏加速度。加速度計所受比力如式(6)所示。

式中：Ag、An、Aτ、Ak分別表示重力加速度比力、向心加速度、切向加速度和科氏加速度在被測加速度計的輸入。

（1）重力加速度產生比力在加速度計三軸上的分量

重力加速度產生比力在地理坐標系ox1y1z1中表示為[ 0 0g]T,根據位姿矩陣傳遞關系可得重力加速度在加速度計坐標系表示：

（2）向心加速度在加速度計三軸上的分量

根據位姿誤差傳遞關系，從主軸坐標系到加速度計坐標系的位姿傳遞矩陣為：

其中，Dn=A3D3+D2為主軸坐標系到加速度計坐標系的位置傳遞矩陣。向心加速度在三軸上的分量如式(9)可求。

（3）切向加速度在加速度計三軸上的分量

被測加速度計在變角速度激勵下會產生與向心加速度方向垂直的切向加速度，更真實地模擬工作環境。Dn表示慣性儀表坐標系到主軸的位置關系，切向加速度位姿矩陣傳遞關系與向心加速度類似，忽略二階小量可得，切向加速度在慣性儀表測試坐標系表示為：

科氏加速度只與旋轉軸系姿態矩陣有關，因此計算可得切向加速度在慣性儀表測試坐標系表示為：

將式(7)-(11)代入式(6)中可得變速離心機對被測加速度計的精確三軸輸入激勵分別為：

3 石英加速度計誤差模型建立

石英加速度計的誤差模型為：

式中：KF為零位偏置，KI為標度因數，KO、KP為交叉軸敏感度，在重力場中可用精密分度頭標定；KIO、KPO、KPI為交叉耦合系數；KII、KPP、KOO為輸入軸、擺軸、輸出軸的二階非線性系數；Koq為奇異二次項系數；KIII、KPPP、KOOO為三階非線性系數；ε為隨機誤差。

在對各項系數標定過程中，由于加速度計主要敏感輸入軸方向的比力，因此對輸入軸方向的比力輸入保留至一階小量，對擺軸和輸出軸方向的比力輸入只取標稱值，對于各軸交叉耦合以及高階項系數比力輸入構成只取標稱值。將各軸輸入參數代入誤差模型并化簡可得：

4 加速度計誤差模型標定方法

本文通過設計三姿態試驗法實現加速度計誤差模型系數和盤式離心機工具誤差的辨識。盤式離心機的激勵信號設定為ω(t) = 4πsin2πftrad/s，故可得向心加速度為ω2(t)R= 8Rπ2(1- cos4πft)rad/s2，切向加速度為t)= 8Rπ2fcos2πftrad/s2。加速度計三種安裝姿態如圖3所示。

圖3 加速度計安裝方式Fig. 3 Installation attitudes of accelerometer

4.1 姿態一

加速度計第一種安裝姿態如圖3(a)所示，輸入軸方向始終指向主軸，擺軸指向離心機半徑切向，輸出軸平行于主軸軸線。由于每次改變安裝姿態后安裝姿態誤差和偏心誤差會發生改變，因此將三種安裝姿態下的姿態誤差記為 Δθx4(i)、 Δθy4(i)、 Δθz4(i)，將偏心誤差記為 Δx4(i)、Δy4(i)，根據正弦函數的整周積分為零，將式(12)化簡后可得加速度計各軸輸入激勵參數：

將式(15)代入式(13)中，其中，本文采用的盤式離心機的半徑為1 m，角速度激勵信號頻率為1 Hz。因此可得加速度計輸出表達式如式(16)所示。

式中A表示ω(t)2/g，B表示 -8π2cos4πt/g，C表 示ω(t) /g，D表 示 8π2cos2πt/g，E表 示64π4cos4πtcos2πt/g2。試驗中采樣頻率為50 Hz，采用等時間間隔采樣，取 1000個采樣點ti(i= 1,2… 1 000)；根據式(16)，將所有采樣點的輸出綜合表示成矩陣形式，如式(17)所示。

對于式(17)，可簡寫為：

其中，Φ1為滿秩陣，故利用最小二乘法可求解誤差模型系數矩陣：

4.2 姿態二

加速度計第二種安裝姿態如圖3(b)所示，擺軸平行于主軸軸線，輸出軸始終指向離心機主軸，輸入軸指向離心機半徑切向。加速度計各軸輸入化簡后可得：

將式(20)代入(13)中，加速度計輸出表達式為：

與式(17)類似的，式(21)可寫成：

利用最小二乘法可求解誤差模型系數矩陣：

4.3 姿態三

加速度計第三種安裝姿態如圖3(c)所示，擺軸方向始終指向主軸，輸出軸始終指向離心機半徑切向，輸入軸平行于主軸軸線。將式(12)化簡后可得加速度計各軸輸入：

將式(24)帶入式(13)中并整理可得加速度計輸出表達式為：

與式(17)類似的，式(25)可簡化表示為：

利用最小二乘法可求解誤差模型系數矩陣：

表1 加速度計誤差模型系數辨識表達式Tab.1 Identification expressions of accelerometer’s error model coefficients

其中，Z1表示 4π2（KII+Koq）/g，Z2表示8π2KPO/g+32π4KOOO/g2。從表1可以看出，三姿態標定方法可以實現對加速度計誤差模型二階、三階誤差項進行全部辨識，同時，盤式離心機部分工具誤差也可以實現辨識，為后續對比試驗的進行提供了基礎。

5 仿真校驗與誤差分析

5.1 補償工具誤差前的參數辨識結果

對于石英加速度計，根據現有加速度計條件，考慮誤差模型參數設置如表2所示。本文采用的盤式離心機的半徑為1 m，正弦信號頻率為1 Hz，采樣頻率為50 Hz。因此盤式離心機激勵信號角速度為ω(t) = 4πsin2πtrad/s ，向心加速度為ω2(t)R= 8π2(1 - cos4πt)rad/s2，切向加速度為(t) = 8π2cos2πtrad/s2?？紤]到輸入正弦角速度誤差Δω對加速度計輸入信號Δaτ、Δan的影響，將系統噪聲考慮在內，離心機角速度、向心加速度、切向加速度以及帶有系統噪聲的加速度計輸出如圖4所示。

表2 石英加速度計誤差模型系數設定值Tab.2 Values of accelerometer’s error model coefficients

圖4 加速度計各軸輸入激勵信號Fig.4 Input excitation signals for each axis of accelerometer

根據先驗條件，我們設定誤差模型的參數設定值如表2所示，將各軸輸入參數和誤差模型系數代入誤差模型中并混入系統噪聲可得加速度計的輸出，對加速度計的輸出采樣，根據前文所述辨識方法可得辨識結果如表3，從表2和表3可以看出誤差模型參數辨識結果與設定值的差距相對于設定值在6%之內。

表3 石英加速度計誤差模型系數辨識結果Tab.3 Identification results of accelerometer’s error model coefficients

5.2 誤差模型參數辨識的不確定度分析

假設實驗室緯度為φ= 45.75°，g= 9.8066m/s2，ωie= 7.292 ×1 0-5rad/s 。石英擺式加速度計的指示輸出值的不確定度獨立且相等，為σU=10-5，由表1可知各系數表達式，以KIII為例可求解誤差模型中各系數不確定度。KIII的不確定度表達式為：

類似的，其他系數的不確定度計算如式(29)所示。忽略復雜的計算過程，可得各系數不確定度如表4所示，對比表2和表4的數據可以看出，加速度計誤差模型三階項系數的辨識不確定度大小相對于系數本身均在0.1%以內，二階項系數辨識不確定度大小相對于系數本身在5.6%以內，部分二階項系數在1%以內，因此辨識結果滿足置信度需求。

表4 加速度計誤差模型系數的不確定度Tab.4 Uncertainties of accelerometer’s error model coefficients

5.3 補償工具誤差前后參數辨識結果對比

從表1可得，盤式離心機誤差可以通過最小二乘法進行辨識，因此設計對比試驗，將三個姿態下的石英加速度計輸出中含有盤式離心機的工具誤差的分量進行補償，并將補償前的輸出記為Ui(i=1,2,3)，將補償后的輸出記為類似的，采用相同的辨識方法，將補償儀表誤差后各參數辨識結果記為同時，將補償儀表誤差前后的參數辨識結果差值記為ΔKi，以KOOO為例，補償前后的辨識誤差如式(30)所示。

類似的，忽略復雜的計算過程，誤差模型中的其他參數在補償儀表誤差前后的辨識值之差如表5和圖5所示。

表5 工具誤差對加速度計誤差模型參數標定的影響Tab.5 The Influence of instrument errors on the calibration of accelerometer’s error model coefficients

圖5 補償工具誤差前后的參數辨識結果Fig.5 Identification results of error model coefficients before and after compensating instrument errors

通過對比試驗可以確定輸出信號中與離心機工具誤差相關的激勵分量對誤差模型系數標定精度的影響，如表6所示，標定結果的精度為辨識值與設定值的差值占設定值的百分比。可以看出，離心機工具誤差的補償對高階項系數的標定精度的提升有一定的影響，對于交叉耦合項的影響相對更大一些。因此，在加速度計標定試驗中對離心機工具誤差的補償很有必要。

表6 加速度計誤差模型系數標定精度Tab.6 Calibration accuracy of the accelerometer’s error model coefficients

根據上述誤差分析，相對于傳統的誤差模型辨識方法，本文采用的正弦角速度輸入信號為動態信號，可以同時產生動態的向心加速度和切向加速度，可以更趨近加速度計的高過載工作狀態，更充分地激勵交叉耦合項等高階項。本文在誤差模型方面首先引入了離心機的儀表誤差，提高了誤差模型的完整性和置信度；其次，在對比試驗中通過先辨識后補償的方法在一定程度上提高了誤差模型系數辨識的精度，與此同時，安裝姿態的減少大幅地提升了誤差模型的標定效率。

6 結 論

本文通過位姿矩陣傳遞分析了盤式離心機的儀表誤差對加速度計的輸入運動參數的影響，并根據所得的運動參數建立了相較傳統方法更為完善的加速度計的誤差參數標定模型。

本文采用了正弦形式角速度作為盤式離心機的輸入信號，在角速度動態變化的同時，引入了動態變化的向心加速度和切向加速度，相較于傳統標定方法，在激勵信號方面更趨近于加速度計在實際工作環境中的動態過載特性。在標定方法上，通過三種不同姿態的試驗可實現誤差模型中部分二階和高階項系數的獨立辨識，避免了離心機各項誤差對參數辨識精度的影響，相較于傳統方法滿足標定精度的同時大幅減少加速度計姿態的改變次數，明顯提升了標定效率。

本文通過仿真驗證了二階、三階系數辨識精度，分析了各項誤差系數辨識的不確定度，并通過設計對比實驗確定了在補償動態離心機工具誤差前后對各系數辨識結果的影響。

本文所提出的方法可應用于石英加速度計的快速標定，為加速度計的動態實驗設計提供參考。