隨機角振動激勵下的陀螺儀動態特性校準方法

趙劍波，彭 軍，仝哲旭

（航空工業北京長城計量測試技術研究所，北京 100095）

陀螺儀是慣導系統中必不可少的慣性器件，在導航和制導過程中發揮著十分重要的作用[1,2]。由于陀螺儀通常工作在復雜的動態環境中，因此能否準確獲得陀螺儀的動態特性，是導航制導控制過程中的關鍵，直接決定了導航的精度以及制導的準確度[3,4]，所以需要在使用前對陀螺儀動態特性進行校準。利用標準角振動作為激勵，可以實現對陀螺儀動態特性的校準[5]。國內外對陀螺儀動態特性的校準做了大量研究，德國物理技術研究院（PTB）以及韓國標準與科學研究院都建立了正弦角振動標準，中國航空工業計量所先后建立了正弦角振動和半正弦沖擊角振動標準裝置[6]。中國計量院也建立了正弦角振動基準裝置[7]。全國慣性技術計量技術委員會根據正弦角振動激勵法制定出陀螺儀動態特性校準規范[8]。但這些標準裝置和校準方法都是以正弦角振動作為激勵，實現對陀螺儀動態特性的校準，信號處理也大多采用正弦擬合法對激勵和響應的信號進行擬合，從而實現對陀螺儀幅頻特性和相頻特性的校準。

國內外以隨機信號作為激勵信號的傳感器動態特性校準研究多見于線振動[9,10]，對于隨機角振動作為激勵的陀螺儀動態特性校準方法研究目前也只是停留在隨機角振動控制方面，還沒有形成校準方法和標準裝置。隨機角振動作為激勵的陀螺儀動態特性校準方法相對正弦激勵法校準不僅更接近陀螺儀的應用場合，并且能夠一次性校準陀螺儀寬頻段的動態特性，相對正弦法逐一頻率校準效率更高。

本文對隨機角振動激勵下的陀螺儀動態特性校準方法進行了研究，從隨機法校準原理出發，研究確定了校準過程中的隨機信號處理方法，實現了陀螺儀動態特性的隨機法校準。

1 陀螺儀動態特性隨機法校準原理

隨機角振動作為激勵的陀螺儀動態特性校準方法如圖1所示，采用標準角振動臺作為激勵源產生標準隨機角振動，被校陀螺儀固定在角振動臺的臺面上，隨臺面發生隨機角振動。陀螺儀動態特性隨機法校準是精確測量出陀螺儀輸出的隨機角振動信號和角振動臺的標準隨機角振動信號之間的頻響函數來實現對陀螺儀的動態特性校準。

圖1 隨機法校準原理圖Fig.1 Calibration principle of random method

標準隨機角振動信號由角振動臺內部的圓光柵通過解算得出。校準過程中，需要對標準和被校兩種隨機信號進行同步采集并濾波，對濾波后的信號進行功率譜密度（Power Spectral Density, PSD）估計，利用PSD估計結果計算陀螺儀的頻響函數，得到陀螺儀幅頻特性和相頻特性，從而實現對陀螺儀的隨機法校準。

2 隨機角振動信號處理方法

由陀螺儀動態特性隨機法校準的原理可知，隨機法校準中涉及的角振動信號處理主要包括標準隨機角振動信號的解算、信號的抗混疊濾波、信號的功率譜密度估計以及頻響函數辨識方法。

2.1 標準隨機角振動信號的解算方法

角振動臺的標準隨機角振動信號由高精度的標準圓光柵測量解算得出，標準圓光柵測得的標準角位移信號可以直接溯源到角度和時間，是實現絕對法校準的基礎。標準圓光柵輸出信號由兩個相位差近似π/2的正弦信號組成。圓光柵每轉過一個柵格，每一路正弦信號會經歷一個周期，轉動越快，正弦頻率越高。通過調整光路和信號處理，并進行非線性補償，可以保證兩路正弦信號Ua和Ub幅值相等，相位相差π/2，并且兩路信號的直流分量為0。圓光柵輸出信號的相位φ(nΔt)可以表示為：

式中，n為采樣序列號，Δt為相鄰采樣點之間的時間間隔。k值從0起始，通過反正切計算結果的變化可以確定k值。

首先需要設置合理的采樣頻率f，使得反正切結果在一個周期內（ -π/ 2,π/ 2）至少有三個采樣點（n≥ 3）。

采樣頻率f根據校準中的最大角速度ωmax以及圓光柵總柵格數（總線數）M來得到。由于圓光柵每轉動一個柵距的角度時，輸出的正弦信號經歷一個周期，即反正切結果會經歷兩個周期，反正切在一個周期內至少有3個采樣點，則意味著在一個柵距內至少有6個采樣點，而一個柵格所經歷的最短時間為360° /（ωmax·M），那么：

如圖2所示，正切函數每周期（ -π/ 2，π/2）有三個采樣點時，若k值發生變化，則相鄰采樣點反正切結果的變化絕對值大于π/2（如B→A，或D→E），在確定發生變化后，反正切結果的變化正負可以判斷k值的加減，從而確定k值。

圖2 采樣點示意圖Fig.2 Sampling points

圓光柵的整圈總線數為M，對應角度為2π，則一個柵距的角度為2π/M。圓光柵發生的角位移為一個柵距的角度時，輸出的正弦信號經歷一個周期，即相位變化為2π，因此，圓光柵發生的角位移θ（nΔt）與輸出信號相位變化φ（nΔt）的關系為：

2.2 抗混疊濾波方法

隨機角振動信號在工作頻帶之外一般仍存在頻率成分，這些頻率成分會混疊到工作頻帶內，造成工作頻帶內的信號頻譜偏大。

對采集解算得到的標準角位移信號和被校陀螺儀輸出的信號同時進行抗混疊濾波，濾波器均采用三階巴特沃斯低通濾波器，此種濾波器可以通過級聯型IIR濾波器實現。濾波器衰減率為-18 dB/oct。將三階巴特沃斯低通濾波器的截止頻率（-3 dB）設置成工作頻帶最高頻率的2.5倍。三階巴特沃斯濾波器的傳遞函數如下所示：

其中，a0=1，1a=2，a2=2，ωc=2πfc。本文實驗截止頻率fc為250 Hz。波特圖如圖3所示。

圖3 濾波器波特圖Fig.3 Bode diagram of filter

濾波器可以使信號中可能導致混疊的高頻成分衰減90 dB以上，從而達到抗混疊的效果。

2.3 功率譜密度估計方法

功率譜密度估計用于標準角位移信號和陀螺儀角速度信號的互功率譜密度（互譜）估計以及各自的自功率譜密度（自譜）估計，進而可以利用譜估計結果計算陀螺儀的頻響函數。

自譜由信號頻譜X（f）與其共軛X*（f）的乘積得出：

互譜由信號頻譜X（f）與另一信號頻譜的共軛Y*（f）的乘積得出：

式中，N為信號采樣點數，fs為信號采樣頻率。

對采集的信號進行分段計算功率譜密度，再對各段信號的功率譜密度進行平均，能夠利用有限時域信號提高功率譜密度估計的精度。在對每段信號計算頻譜過程中，需要用到快速傅里葉變換（FFT）。由于時域信號有限，且為隨機信號，在進行FFT變換時，會導致信號的頻譜出現泄漏現象。為了減少泄漏，需要對各段信號進行加窗。加窗之后，各段信號兩端可能會出現信號丟失。因此，在對時域信號進行分段時，每相鄰兩段信號之間需要有重疊。

將采集到的信號分為L段，每段信號有N個采樣點，并要求相鄰段重疊50%，對各段加窗函數w（n）后進行FFT變換：

各段自譜的平均：

各段互譜的平均：

式(8)(9)中，

U為幅值修正系數，保證功率譜密度估計的結果是無偏估計。

由于互譜為復數形式，蘊涵著兩個信號之間在幅值和相位上的相互關系信息，互譜在任意頻率處的相位值表示兩個信號在該頻率的相位差。因此，互譜還可以用于計算陀螺儀的相頻特性。標準角振動信號為標準圓光柵測得的角位移信號，陀螺儀輸出為角速度信號。被校角速度信號 2ω和標準角速度信號 1ω的互譜Gω2ω1（f），與被校角速度信號ω2和標準角位移信號θ1的互譜Gω2θ1（f）之間的關系如下：

角速度自譜Gωω（f）與角位移自譜Gθθ（f）的關系：

2.4 陀螺儀頻響函數辨識方法

陀螺儀的頻響函數辨識是通過計算標準角振動信號和陀螺儀輸出信號的互譜和自譜得出。由于兩個信號在采集過程中都會引入噪聲，影響頻響函數的辨識結果。頻響函數辨識方法中的H1法和H2法都是只考慮一個信號有噪聲的情況下對頻響函數進行的辨識，并且都是有偏估計。本文采用的陀螺儀頻響函數辨識方法為Hv法，既要考慮標準角振動信號中的噪聲，也要考慮陀螺儀輸出信號中的噪聲。假定兩類噪聲互不相關，且與信號也不相關。

令綜合誤差Gee（f）為陀螺儀輸出信號中的噪聲自譜Gdd與標準角振動信號中的噪聲自譜Gcc之差：

由式(13)可得：

兩類噪聲主要都是在采集過程中引入，噪聲自譜Gcc和Gdd幾乎相等，令Gee（f）為0，此時Hω（f）為：

將式(11)和式(12)代入式(15)可得：

由式(16)可知，頻響函數Hω（f）的相位信息只與被校信號和標準信號互功率的相位相關，噪聲只影響幅值信息，不影響相位信息。利用式(16)可以求解出陀螺儀的頻響函數，通過多次測量求平均值能夠得到較準確的幅頻特性和相頻特性。

3 陀螺儀動態特性隨機法校準實驗

3.1 陀螺儀動態特性隨機法校準重復性實驗

選取俄羅斯光纖陀螺儀VG949P為例，采用隨機法對其幅頻特性和相頻特性進行校準，為了驗證隨機法結果的重復性，進行了3次實驗。并且參考正弦法校準規范中的數據處理方法，將陀螺儀在實驗頻帶內（5 Hz ～ 100 Hz）的靈敏度值和相位延遲值分別進行曲線擬合，結果如圖4和圖5所示。根據校準曲線計算得到隨機法校準穩定性，如表1所示。

圖4 VG949P陀螺儀幅頻特性隨機法校準曲線Fig.4 Curve of amplitude-frequency characteristics in random calibration of Gyroscope VG949P

圖5 VG949P陀螺儀相頻特性隨機法校準曲線Fig.5 Curve of phase-frequency characteristics in random calibration of Gyroscope VG949P

表1 VG949P陀螺儀動態特性隨機法校準穩定性Tab.1 Stability in random calibration for the dynamic features of VG949P

根據頻帶內的校準結果，隨機法的幅值靈敏度穩定性（3σ）在0.5%以內，相位穩定性（3σ）在0.5 °以內。

3.2 陀螺儀動態特性隨機法與正弦法校準結果比對

將隨機法實驗1結果與正弦法結果進行對比，用于驗證隨機法校準結果的準確性。圖6是幅頻特性對比結果，圖7是相頻特性對比結果。隨機法和正弦法均在實驗頻帶內進行了曲線擬合。

圖6 VG949P陀螺儀正弦法和隨機法的幅頻特性對比Fig.6 Contrast between amplitude-frequency characteristics of sine method and random method of Gyroscope VG949P

圖7 VG949P陀螺儀正弦法和隨機法的相頻特性對比Fig.7 Contrast between phrase-frequency characteristics of sine method and random method of VG949P

陀螺儀分別用正弦法和隨機法進行校準，校準結果對比如表2所示。在整個實驗頻帶內，兩種方法的靈敏度差值在1%以內，相位差值在1 °以內。此靈敏度差值和相位差值的量級完全能夠滿足陀螺儀的動態特性校準要求。

表2 VG949P陀螺儀隨機法與正弦法校準結果對比Tab.2 Contrast between calibration results characteristics of sine method and random method of VG949P

4 結 論

針對陀螺儀動態特性的校準，本文提出了隨機角振動激勵下陀螺儀動態特性的校準方法，通過研究校準原理以及校準中的信號處理方法，包括標準角振動信號的解算方法、抗混疊濾波方法、功率譜密度估計方法以及頻響函數辨識方法，最終實現了陀螺儀動態特性的隨機法校準。相比于正弦法逐個頻點測量，隨機法可以一次性測量陀螺儀整個頻帶的幅頻特性和相頻特性，效率更高，并且隨機角運動更接近于陀螺儀的實際工況，此方法為陀螺儀擴展了一種更快速更有效的校準方法。隨著角振動臺隨機角振動控制精度的提高以及此校準方法的推廣，這種新的校準方法在未來將有望替代正弦法成為常用的陀螺儀動態特性校準方法。