淺析圓的標準方程的分層教學設計

鄭昱

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?基于中職數學新課標的提出以及課程思政的大背景，五年專學生的數學課程不僅要授業，更要傳道。聚焦職教特色的數學核心素養，融入彰顯職教特色的課程思政元素，將立德樹人的根本任務落實到每堂數學課中，發展具有職教特色的素質教育功能。以五年專教材第三冊第七章第四課“圓的標準方程”為載體，合理利用教學資源，引導學生初步學會“用數學眼光觀察世界、用數學思維分析世界、用數學語言表達世界”。通過創設合理的問題情境，以知識為主線，設置不同難度的題型，層層推進教學，培養學生數形結合的數學能力，以達到教學目標。

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?圓的標準方程;分層教學設計;數學核心素養

[中圖分類號] ?G712 ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號] ?2096-0603（2022）02-0073-03

一、追憶解析幾何的浪漫歷史

17世紀，“我思故我在”的笛卡爾的幾何學推動了用坐標法研究平面幾何的熱潮，其中關于圓錐曲線的定義方式和方程的推導真是精彩紛呈。大家耳熟能詳的莫過于“笛卡爾坐標系”的平面直角坐標系以及在此基礎上建立的平面解析幾何。笛卡爾將幾何坐標體系公式化，因而被稱作是解析幾何之父。

傳說，笛卡爾被瑞典王室聘請到皇宮做公主的家庭教師，講授數學和哲學。笛卡爾向公主介紹了他研究的新領域——直角坐標系，通過它，代數與幾何可以結合起來，也就是日后笛卡爾創立的解析幾何的雛形。

在笛卡爾的帶領下，公主進入了奇妙的坐標世界，對曲線著了迷，他們每天朝夕相處，深度交流，一段美好的愛情在瑞典這個浪漫的國度悄然萌發。國王知道后，勃然大怒，笛卡爾被流放到了法國。笛卡爾在給公主寄出第13封信后，黯然離世。最后一封信上只有一個方程P=a（1-sinθ），聰慧的公主看了一眼就明白了笛卡爾的紙短情長，著手把方程的圖形畫出來，一個心形圖案出現在眼前，這條曲線就是著名的“心形線”。

以上這種探究的方法激發了后人更多的思考和研究，在笛卡爾之前，幾何學在數學中一直占據最優地位。解析幾何使代數和幾何在更高層次上進行一次新的融合，獲得了比代數更廣的意義和更高的地位。

正如恩格斯對笛卡爾的評價：“數學中的轉折點是笛卡爾的變數，有了變數，運動進入了數學;有了變數，辯證法進入了數學。”

圓的標準方程是在學習了直線方程的基礎上，對曲線和方程的進一步探究，用笛卡爾數形結合的數學思想，在了解圓的幾何意義即到定點的距離等于定長的動點的軌跡基礎上，用平面直角坐標系把圓與圓的標準方程對應起來。利用代數給幾何帶來最自然的分類原則和最自然的方法層次，從幾何研究轉移到代數研究。

二、提出問題與解答問題

我們的生活中有很多物體需要應用到圓，圓有其特性，需要我們去觀察和發現，加強對圓形的感性認知。例如，汽車的輪轂就不能是方形的，也不能是輪軸不對稱的圓形，只有輪軸是中心對稱的圓形輪轂才能讓汽車平穩地跑起來。

邏輯推理作為核心素養中很重要的一個要素，可以有效訓練學生的數學推理、解題能力。為了循序漸進地訓練學生的數學思維能力，教師要根據學生的實際認知能力通過有條理的引導，讓學生學會簡單的邏輯推理。教師在教學“圓的標準方程”知識時，創設具有專業特色的問題情境，引發學生積極思考，對圓的認知從感性過渡到理性，教師通過演示推導圓的標準方程，提高學生的邏輯推理能力、數形結合的思維能力。設計教學過程，抽絲剝繭，層層遞進，使學生在教師的有效引導下，在自己動腦思考、動手演練的過程中逐漸形成一定的邏輯推理能力和數形結合的數學技能，讓邏輯推理這一重要的核心素養在課堂教學中落到實處，并得以達成。

（一）結合專業特點，創設預習情境

結合不同專業的學科特點，合理創設問題情境，可以在課前準備階段激發學生的學習熱情，在做中學，在做中回顧舊知，比如數字媒體高職專業可以讓學生在課前制作以圓為元素的手抄報，鼓勵學生博覽群書，自主查閱數學史的相關資料，運用教育機智，融入思政元素。讓學生利用自己擅長制作視頻的專業技能，拍攝生活中圓的照片，結合課本上掃描預習的圓的標準方程的形成過程，加入大家喜聞樂見的元素，制作生動有趣的教學預習視頻。通過結合專業特色的預習方式，發現自己在知識上的盲點，積極思考，拓展思路，提升思維品質的同時，體驗數學的生活美。

（二）推演方程，解決系列問題

1.問題引入 初識概念

圓的幾何意義：平面內到定點的距離等于定長的動點的軌跡叫作圓，定點叫作圓心，定長叫作半徑。

在講解這個概念時，教師可以提問學生手抄報中的圓大家是怎么畫的？大家可以自己動手畫圓嗎？引發學生思考的同時，教師可以用教具圓規，在黑板上畫圓，教師不能自己畫圓，應該以一邊發問一邊描述如何用尺規做圓的形式，在黑板上畫出圓。教師將圓規的其中一個腳放在固定點C，另一個腳張開一定的角度，緊貼黑板轉動圓規一周，這時候形成的圖形會是什么？由學生回答形成的圖形是圓。然后再由教師給出圓的幾何意義即平面內到定點的距離等于定長的動點的軌跡叫作圓，定點叫作圓心，定長叫作半徑。

這樣的提問引發思考的導入方式有利于引發學生自主思考，不僅復習鞏固了初中學過的圓的幾何意義，還為下一步建立直角坐標系推導圓的標準方程做準備。符合學生從感性認知到理性認知的思維過程，學生在教師尺規作圖的引導下，感受圓的形成過程，認識圓，一步步培養學生直觀想象的核心素養。

在推導圓的標準方程的過程中可以運用知識遷移，利用學過的兩點間的距離公式教師板書，師生共同推導圓的標準方程。設圓心坐標為C（a，b），半徑為r，點M（x，y）為圓上的任意一點，|MC|=r，學過的兩點間的距離公式是什么？由學生回答，運用學過的兩點間距離公式，得=r，將上式兩邊平方，得（x-a）2+（y-b）2=r2。方程叫作以點C（a，b）為圓心，r為半徑的圓的標準方程。強調圓的標準方程是用來確定圓的位置和大小的，其中圓心確定位置，半徑確定大小，培養學生從直觀想象到抽象出方程的核心素養。

當圓心坐標為原點O（0，0）時，半徑為r的圓的標準方程是什么？引發學生思考，教師板書，應用學過的代入法，把原點O（0，0）的坐標代入圓的標準方程（x-a）2+（y-b）2=r2，此時，圓的標準方程為x2+y2=r2。

通過引導學生觀察直角坐標系中的圓，鍛煉學生數形結合的技能，利用學過的數學公式推導圓的標準方程，層層推入，加深學生對所學數學公式的運用和聯想，一步步培養學生有條理地觀察問題，進行推理的邏輯思維能力。

在記法上，教師幫助學生分析圓的標準方程的結構特征，可以運用口訣識別和記憶圓的標準方程，“兩個減號，兩個平方的和等于平方”。強調兩個小括號里面是減號，圓心坐標a，b的值可以是正數、零或者負數。

圓的標準方程推導過程的講解與記憶方程不僅能鍛煉學生的數學思維，層層推入，同時還培養了學生細致觀察問題的能力，進一步培養學生用代數的思想解決幾何問題的思維習慣。

2.基礎問題 層層探索

問題1：已知圓的圓心和半徑，如何求圓的標準方程？

首先，教師給出一道例題：求以點C（-2，0）為圓心，r=3為半徑的圓的標準方程。教師通過提問的方式，學生口答，教師板書寫出圓的標準方程（x+2）2+y2=9。接著教師趁熱打鐵，提出讓學生到黑板上寫出圓的標準方程，根據下列條件，求出圓的標準方程。練習1.圓心C（-1，2），半徑r=2;練習2.圓心C（0，3），半徑r=1。根據以往的教學經驗，在解題的過程中，練習1，有一小部分學生可能會把圓的標準方程寫成（x-1）2+（y-2）2=4，教師可以針對這個問題，給出兩個方程（x-1）2+（y-2）2=4與（x+1）2+（y-2）2=4讓學生選出正確的方程，這種對比答案的方式有助于學生發現自己的易錯點，幫助學生養成細心、認真的學習習慣。

問題2：已知圓的標準方程，能否寫出圓心坐標和半徑？

首先，教師先給出一道例題：根據圓的標準方程（x-2）2+（y+1）2=5寫出圓心和半徑。學生基本都具備通過觀察圓的標準方程寫出圓心和半徑的能力，學生寫出的圓心坐標和半徑有以下幾種：圓心（2，1），圓心（2，-1），半徑，半徑5。我們會發現學生的易錯點在于沒有認真觀察識記圓的標準方程的結構，（x-a）2+（y-b）2=r2。小括號里面是兩個減號，等號右邊是半徑的平方不是半徑。

顯然學生對圓的標準方程的結構觀察還不夠細致，這時候教師如果換一種講解方式，直接給出以上幾種結論，提問引發學生通過對比進行思考，學生的印象會更深刻，也更容易記住正確結構。這時候可以要求學生認真觀察，勤于思考，在做題時訓練學生養成嚴謹、認真的習慣。

通過以上兩個問題，學生初步理解了圓心坐標和圓的半徑與圓的標準方程的對應關系。

問題3：通過兩道例題的講解，同學們是否可以小試牛刀，檢驗一下自己對這堂課重點內容的掌握程度？

根據上課學生反映的情況，基本上所有學生都能比較好地掌握教師之前講授的兩種類型的例題，即已知圓心和半徑可求圓的標準方程，已知圓的標準方程也可以準確寫出圓心和半徑。基于以上學情分析，教師可以將學生分成四組，進行搶答，對題目的設置可以充分考慮到圓心落在平面直角坐標系四個象限內以及落在坐標軸上的情況，適當增強題目的復雜性。教師提出根據下列圓的標準方程，找出圓心和半徑，（x+1）2+（x+3）2=4，（x-3）2+（y+4）2=16，（x-1）2+y2=3。

學生通過小組合作、組間競賽，培養了合作精神，收獲了學習成就感。

問題4：能否通過觀察幾何畫板中平面直角坐標系內的圓，寫出圓的標準方程？

數形結合的能力是解析幾何中很基礎的數學能力，學生畫圖少，從直觀想象中抽象出方程的能力相對薄弱，在學生已經對圓的標準方程的結構爛熟于心的基礎上，教師利用多媒體手段，讓學生觀察幾何畫板中平面直角坐標系內的圓，寫出圓的標準方程，初步培養學生的觀察能力以及數形結合能力，教師可以通過發問的方式引發學生思考，圓的標準方程用來確定圓的哪兩個條件？部分學生會回顧起問題1中提過的位置和大小，這時候教師繼續發問，圓心在第幾象限？通過觀察半徑是幾個單位長度？大部分學生都能說出圓心在第三象限，教師繼續問那圓的標準方程中小括號內這時候是加號還是減號？大部分學生回答負負得正，是加號，最后大家一起寫出圓的標準方程（x+4）2+（y+2）2=9，教師通過層層設問，引導學生共同探索，避開易錯點，通過數形結合的思維方式寫出正確的圓的標準方程，進一步理解了圓和圓心坐標和圓的標準方程之間的對應關系。

問題5：給出四個點，同學們能否通過正確的計算方法判斷出哪個點在圓上？

教師提出問題：下列哪個點是圓上（x-1）2+（y+2）2=5的點？A（0，4），B（-1，2），C（1，-2），D（0，0），在學生解題時，發現部分學生容易把這些點看成是圓心坐標，因此，針對這個問題教師可以引導學生回顧滿足直線方程的點的判斷，大部分學生可以想到用代入法，教師將點A的坐標代入圓的標準方程的左邊發現不等于5，于是學生判斷該點不在圓上，接著，教師引導學生自己動手練習在作業紙上，將另外三個點的坐標代入圓的標準方程的左邊，判斷哪個值等于5，大部分學生已經比較熟練掌握代入法，這個過程中教師可以通過巡視，個別輔導幫助學困生學會使用代入法，判斷點是否在圓上，不難發現點D滿足圓的標準方程。最后，教師要點出題目背后更深層次的知識含義，即圓上的點滿足圓的標準方程，反之，滿足圓的標準方程的點在圓上，通過強調對應關系，引發思維能力較強的學生進行更深層次的抽象思考，培養數學抽象的核心素養，分層教學。