基于MATLAB 的多連桿壓力機桿系設計系統研究

黃建民，仲 君，夏德琛

（揚力集團股份有限公司，江蘇 揚州 225104）

多連桿壓力機工作可靠，性能優良，滑塊工作速度低且平穩，能很好地滿足板料拉延成形工藝要求。因此在拉伸加工領域，多連桿壓力機應用廣泛，通過配置傳動桿系，可以靈活實現多種設計要求。通常這些設計要求可以歸納為以下三種問題：①滿足預定的運動規律要求；②滿足預定的連桿位置要求；③滿足預定的軌跡位置要求[1]。以往為滿足設計要求通常都是采用函數逼近法，但計算復雜，并當機構的設計參數較少時，逼近精度不高。若采用最優化方法對機構進行設計，解析目標函數趨勢，結果精度高，但需進行大量的數學運算，一般需借助電子計算機來完成[2]。隨著計算機輔助數值解法的發展,特別是MATLAB 軟件的引入,解析綜合法已經得到了廣泛的應用[3]。MATLAB 是Mathworks 公司于1982 年推出的一套功能強大的工程計算軟件。廣泛應用于自動控制、機械設計、流體力學和數理統計等工程領域，被譽為巨人肩上的工具。工程人員通過使用MATLAB 提供的工具箱，可以高效求解復雜的工程問題[4]。本文主要闡述多連桿機構設計的思路與方法，包括建立機構數學模型，使用MATLAB 優化工具箱，編寫設計系統，計算所求桿長度，使壓力機滑塊在多個約束條件下滿足預定運動軌跡。

1 建立機構原理模型

圖1 為該壓力機的桿系機構簡圖，其中，P1為曲軸中心點，P2為曲柄L2與連桿L3連接點，P3為連桿L3與搖桿連接點，P4為搖桿與機身連接點，P5為搖桿與短連桿L6連接點，P6為短連桿L6與滑塊連接點。搖桿前段為L5，搖桿后段為L4，搖桿與水平方向夾角為θ4，P1與P4為機身上的兩點連接線長度L1，其與水平方向夾角為θ1。曲柄L2與水平線夾角為θ2，連桿L3與水平線夾角為θ3。搖桿后段L4與連桿L3夾角為θ5，搖桿前段L5與短連桿L6夾角為θ6，短連桿與垂直方向夾角為θ7。

圖1 機構原理圖

該多連桿為增行程機構，相比普通曲柄壓力機，在體身尺寸不變的情況下，可以用較小的曲柄偏心獲得更大的行程。壓力機要求滑塊行程220mm，滑塊距下死點90mm 時需能承受300kN 的力，滑塊距下死點60mm 時搖桿處于平行狀態。根據機身結構配置的限制，有部分參數已給出，以曲軸頸中心點P1為原點，建立笛卡爾坐標系，設各點Pn 的橫縱坐標為（Xn,Yn），滑塊中心P6橫坐標X6=-550，機身點P4橫坐標X4=250。搖桿總長為800mm 即L5+L4=800mm，曲柄長為55mm。其中機架間距L1連桿L3，搖桿后段L4均為設計變量，需要通過合理設計L1，L3與L4的長度來達到設計要求。

本案例采用MATLAB 提供的優化工具箱中“函數模塊fmincon”來實現三個未知桿長的設計。該函數模塊fmincon 需建立目標函數方程及約束函數方程，兩種函數方程可以是線性與非線性的等式或不等式[5]。本案例中，目標函數為符合預定桿系軌跡德的最小化方程，約束函數為條件不等式組成的矩陣。

1.1 桿系位置方程組

分析圖1 可知，該機構由兩部分構成：曲柄L2，連桿L3和搖桿后段L4構成曲柄搖桿機構。搖桿（L4+L5），短連桿L6和滑塊P6構成擺動滑塊機構。為設計合理桿長滿足要求滑塊運動軌跡要求，需要建立所求桿與滑塊位置的關系方程。搖桿為曲柄搖桿機構的輸出桿，也是擺桿滑塊機構的輸入桿，這樣可先解析曲柄搖桿，得出搖桿位置狀態，再代入擺動滑塊機構求解滑塊位置。如圖一建立坐標系，以曲軸中心為原點，按桿組法建立方程。

曲柄搖桿機構位置方程為:

轉化為非線性超越方程：

擺動滑塊機構位置方程為：

其中（x6,y6）為P6點坐標，x6=-550，L4+L5=800，L6=250，當曲柄位置方程（2）被解出后θ4也為已知,代入（2）求得θ7和y6。

壓力機持續工作時，曲柄轉角作360°圓周運動，滑塊y 方向坐標（y6）隨曲柄角度變化而變化，為滿足行程220mm 的要求：

1.2 目標函數

本案例中，建立目標函數的最小化求解問題，計算最優解L1，L3取得理想P5點與實際P5點距離的平方差最小值。

其中（x5r，y5r）為滑塊中心P5距下死點90mm 時桿系的實際位置，（x5i，y5i）為滑塊中心距下死點90mm 時搖桿水平應有的位置。

1.3 約束條件方程組

該機構的約束條件分為邊界約束以及功能約束。其中邊界約束包含桿長限制約束，曲柄搖桿機構構成條件的約束，功能約束包括滑塊行程約束，搖桿擺動角范圍的約束和曲軸可承受扭矩的約束。本案例中程序利用L4作循環語句來求得符合行程的L4，因此不建立滑塊行程約束方程。

1.3.1 曲柄搖桿的構成條件

根據機械原理中四桿機構的分析，列出不等式：

L1≥L2，L3≥L2，L1+L2≤L3+L4，L3+L2≤L1+L4，L4+L2≤L1+L3,

以上為曲柄搖桿存在的基本條件，L4與L2為已知不需要列函數方程。對應約束函數為：

g1（X）=L2-X1

g2（X）=L2-X2

g3（X）=L2+X2-X1-L4

g4（X）=L2+X1-X2-L4

g5（X）=L4+L2-X1-X2

1.3.2 搖桿的擺動角約束

如圖1，在滑塊受力時，桿系受力有θ5和θ6兩個壓力角，為同時限定兩個壓力角大小，搖桿的擺動角度θ4需在155°～190°之間。當L2與L3共線時可取搖桿擺動角度的最大及最小值，現以該條件建立方程不等式：

對應約束函數為：

1.3.3 滿足曲軸強度要求扭矩

壓力機在滑塊距下死點90°時開始拉伸，拉伸力F 為300kN。如圖2 所示，此時滑塊所受的拉伸力經桿系傳到至曲軸上，分析曲軸受力可發現曲軸即受彎矩也受扭矩曲軸[1]。本案例壓力機用以深拉伸，受力工作行程大，工作時曲柄轉角距下死點角度很大，因此主要約束曲軸所受扭矩小于曲軸許用扭矩[τ]=40000Nm。壓力機工作時，曲軸扭矩Ttotal一般由理論扭矩Ti和摩擦扭矩Tf組成。理論扭矩即為滑塊受力傳遞至曲軸形成，摩擦扭矩由驅動壓力機各配合摩擦阻力形成[6]。

圖2 桿系受力傳遞

2 MATLAB 程序的實現

桿系長度未知的情況下，本案例滑塊行程表與曲柄轉角的對應關系并不確定，因此無論是目標函數還是約束函數都需要對整個機構位置進行解析計算后才能求解，桿系的兩組位置方程組為非線性超越方程，MATLAB 優化工具集中另一個“函數模塊fsolve”可以求解此類問題。

2.1 建立目標函數程序

首先名為targetfun.m 的目標函數文件,設定初始條件：

建立搖桿后段的循環語句，計算出合適的L4長度使得滑塊行程為220:

建立曲柄轉角θ2共360°的循環語句，步長0.5°，調用fsolve 工具解析每一步桿系機構位置狀態：

確定上死點，下死點，行程60 的曲柄轉角：

最后建立最小化的目標方程：

2.2 建立約束函數

建立名為confun 的約束方程模塊,根據式（6）～（9）,設定初始條件：

建立搖桿后段的循環語句，計算出合適的L4長度使得滑塊行程為220:

建立曲柄轉角θ2共360°的循環語句，步長0.5°，調用fsolve 模塊解析每一步桿系機構位置狀態：

確定上死點，下死點，行程90 的曲柄轉角:

列出曲軸存在邊界條件：

g（1）=-x（1）+L2;

g（2）=-x（2）+L2;

g（3）=x（1）+L2-x（2）-L4;

g（4）=-x（1）+L2+x（2）-L4;

g（5）=-x（1）+L2-x（2）+L4;

搖桿轉角約束：

g（6）=-（pi-acos（（L1^2-（L3+L2）^2+L4^2）/（2*L1*L4））+th1）+（155/360*2*pi）;

g（7）=pi-acos（（L1^2-（L3-L2）^2+L4^2）/（2*L1*L4））+th1-（190/360*2*pi）;

最大扭矩限制約束：

g（8）=fttotal-40000;

“哦……”兩個人見我如此誠懇，一時間不知說什么好。尷尬了一會兒，服務員趕緊從腰里摸出《收銀票據》遞給我。我摘下眼鏡一看，果然是我消費的內容，價格是43元，而且票據上還手工寫著兩個字：“未付”。

2.3 構建位置狀態模塊

調用“fsolve 模塊”結合使用桿系的狀態方程，根據式（2）建立名為“fourbarposition”的解析模塊：

function t=fourbarposition（th,th2,L2,L3,L4,L1,th1）

t=[L2*cos（th2）+L3*cos（th（1））-L4*cos（th（2））-L1*cos（th1）;

L2*sin（th2）+L3*sin（th（1））-L4*sin（th（2））-L1*sin（th1）];

3 本方案實例

3.1 設計系統實際使用

本案例中給定連桿和機架長度初始條件為連桿長度700mm，機架距離600mm，其他條件已知。

在計算程序中輸入指令。輸入初始連桿長度，初始機架長度：x0=[650,700]；連桿機架長度的下限約束：lb=[550,500]；連桿機架長度的上限約束：ub=[700,700]。

同時，設置函數選項，變量，目標函數，條件函數的調節參數：

options=optimset（“algorithm”,“active-set”,“display”,“off”,“TolFun”,0.001,“TolX”,0.001，“TolCon”,0.001）;

圖3 為初始桿系與設計后桿曲柄轉角與滑塊行程的對比圖，兩條曲線軌跡十分接近?？梢娫谛谐桃欢ǖ那闆r下，本案例所求兩桿的長度變化對曲柄轉角與滑塊行程關系影響不大。由于其偏置的特性，下死點時曲柄轉角都大于180°。圖4 為初始桿系與設計后桿系滑塊行程與搖桿擺角對比圖，其中0 位為下死點位置，可以發現計算后的桿系的搖桿擺角在距下死點60mm 行程時接近180°，符合設計要求，且相比初始桿系，搖桿在工作行程內更加接近水平線。

圖3 曲柄轉角與滑塊行程對比

圖4 滑塊行程與搖桿擺角對比

3.2 設計生產應用

將計算結果應用到設計環節中，并生產出對應的樣機，如圖5。并隨之測試各方面性能，對比初始計算目標。首先，完成任務目標，即建立桿系傳動系統，保證樣機的傳動系統很大的工作行程下承受足夠的扭矩；其次，為限制機床整體尺寸大小，桿系長度保證在滿足設計目標情況下縮小長度，在設計系統中限制相關參數，并將結構排至緊湊，如圖6 所示；最后，對于專用機床，性能參數根據整體而確定，因此生產量不大，合理利用設計系統，搭建成熟的平臺，同類型的機床小幅修改桿系長度以達成要求。

圖5 多連桿樣機

圖6 樣機傳動簡圖

4 結論

多連桿壓力機桿系設計往往比較復雜，除了要滿足桿系預定軌跡要求外還考慮壓力機實際功能的設計要求。本案例使用基于MATLAB 的設計系統實現桿系設計，其計算結果體現MATLAB 的一大優勢在于數據處理運算非常方便,在優化設計時建立數學模型，調用多樣的函數工具集進行分析計算，過程中產生的計算數據便于性能分析或圖表繪制，并產生結果應用到實際設計生產過程中去。本案例方法具有進一步發展的潛力，通過建立不同的目標函數方程，還可以實現桿系總體重量最小化設計等設計要求。有些多連桿壓力機要求擁有特殊的滑塊軌跡或運行曲線，通過對位置方程的求導，得到速度方程或者加速度方程，可以將滑塊速度或加速度加入數學模型中。這樣用類似的解析方法也能對此類型的多連桿壓力機進行桿系設計。