無(wú)限長(zhǎng)板帶對(duì)位荷載下的有效分布寬度計(jì)算和應(yīng)力分析方法

施江濤

[上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院（集團(tuán)）有限公司，上海市200092]

0 引 言

1 概 述

對(duì)無(wú)限長(zhǎng)板帶對(duì)位荷載下的應(yīng)力分布的研究有助于進(jìn)一步理解和解決長(zhǎng)條形板式結(jié)構(gòu)（如橋梁結(jié)構(gòu)）等的橫向計(jì)算問(wèn)題。其等效加載模式（平面應(yīng)力問(wèn)題）（見(jiàn)圖1）也類似條形基礎(chǔ)下的下臥剛性層的軟土地基受力問(wèn)題（平面應(yīng)變問(wèn)題）[1]，只需將彈性模量和泊松系數(shù)進(jìn)行代換，即可將平面應(yīng)力問(wèn)題的解轉(zhuǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題的解。

圖1 對(duì)位荷載下的無(wú)限長(zhǎng)板帶及其等效形式

該問(wèn)題在工程上通常用應(yīng)力擴(kuò)散角法進(jìn)行近似計(jì)算。但應(yīng)力擴(kuò)散角（通常取值22°、30°、45°等）的取值沒(méi)有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。單一的應(yīng)力擴(kuò)散角取值會(huì)引起較大的應(yīng)力計(jì)算誤差，導(dǎo)致計(jì)算出來(lái)的應(yīng)力過(guò)大或過(guò)小，從而引起材料浪費(fèi)或者使工程處于嚴(yán)重不安全狀態(tài)。

本文首先用復(fù)變函數(shù)法導(dǎo)出無(wú)限長(zhǎng)板帶對(duì)位荷載下的應(yīng)力理論解，通過(guò)應(yīng)力有效分布寬度的概念導(dǎo)出無(wú)限長(zhǎng)板帶對(duì)位荷載下的簡(jiǎn)化應(yīng)力計(jì)算公式。

2 理論解的導(dǎo)出

對(duì)于圖1的平面應(yīng)力問(wèn)題，根據(jù)彈性力學(xué)的復(fù)變函數(shù)理論，應(yīng)力可由兩個(gè)復(fù)變函數(shù)的解析式導(dǎo)出[2]：

其中邊界條件為：

取應(yīng)力函數(shù)形式如下：

代入邊界條件后得到應(yīng)力函數(shù)：

具體措施為：由各個(gè)電力調(diào)度公司建立屬于本公司的運(yùn)行數(shù)據(jù)采集、交換和共享系統(tǒng)，然后將這些系統(tǒng)以鏈接的方式輸送到公共信息共享平臺(tái)。實(shí)現(xiàn)信息的分區(qū)域、分類型、分層次管理。如，建立專屬華北地區(qū)的電力調(diào)度信息共享平臺(tái)，根據(jù)電力調(diào)度設(shè)備類型的不同，實(shí)行一次設(shè)備的數(shù)據(jù)采集與監(jiān)控和二次設(shè)備的數(shù)據(jù)采集與監(jiān)控的分層管理。

最終解得：

3 理論解的驗(yàn)證

在圖1的模型中，取a=39.5 m，b=6 m，q=（300/b）MPa。Y向長(zhǎng)度取450 m，建立ANSYS計(jì)算模型，計(jì)算得到X向正應(yīng)力見(jiàn)圖2、圖3。

有限元結(jié)果選取了x=a/2和x=a/4，y∈[-24，24]范圍內(nèi)的計(jì)算結(jié)果，并與理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比，兩者基本上重合。理論公式得到驗(yàn)證。

4 簡(jiǎn)化計(jì)算方法的得出

工程應(yīng)用上對(duì)荷載方向的最大正應(yīng)力σx較為關(guān)心（也用來(lái)作為關(guān)鍵位置的變形計(jì)算），故以下對(duì)y=0處板帶范圍內(nèi)的正應(yīng)力σx提出簡(jiǎn)化計(jì)算方法。

簡(jiǎn)化計(jì)算方法以有效分布寬度的概念為基礎(chǔ)，若x=x0處的有效計(jì)算寬度為Beff，則x=x0，y=0處的應(yīng)力為：

對(duì)x=x0處的有效計(jì)算寬度根據(jù)下式得出：

4.1 關(guān)鍵點(diǎn)的有效分布寬度

首先尋求對(duì)x=a/2、x=a/4和x=0處的有效分布寬度通用計(jì)算公式。顯然，x=0處，

當(dāng)x=a/2時(shí)，分 別 取x=5、x=10、x=30、x=50、x=70、x=100，b取a/100～a,按第2節(jié)得出的理論公式代入第4節(jié)Beff的定義式中，并用二次函數(shù)對(duì)Beff進(jìn)行函數(shù)擬合得出Beff（b）。

從表1中，容易得出x=a/2時(shí)的擬合式。同理，可得出當(dāng)x=a/4時(shí)的擬合式。

?

經(jīng)誤差分析，上述Beff的擬合式對(duì)理論解的誤差在2%以內(nèi)。

4.2 通用有效分布寬度

有了關(guān)鍵點(diǎn)的有效分布寬度后，對(duì)x=0～a/2范圍內(nèi)有效分布寬度簡(jiǎn)化式的分析。

由于對(duì)稱性，有效分布寬度Beff（x）應(yīng)當(dāng)對(duì)于x=a/2對(duì)稱，故

另外，由x=0、a/4和a/2關(guān)鍵點(diǎn)的有效分布寬度計(jì)算式，根據(jù)有效寬度分布線型，選擇4次多項(xiàng)式可對(duì)有效分布寬度進(jìn)行很好的擬合。設(shè)

將以上5式代入，解得上式中各參數(shù)值。

上式對(duì)當(dāng)b≥a/10時(shí)，x∈[0，a/2]范圍內(nèi)誤差精度能在5%以內(nèi)，依然采用第3節(jié)的模型進(jìn)行驗(yàn)證，見(jiàn)圖5。

圖5 式（1）簡(jiǎn)化式與理論解的對(duì)比圖

當(dāng)b＜a/10時(shí)，在x∈[0，a/4]范圍內(nèi)誤差就會(huì)超過(guò)5%，且b值越小，誤差越大。在x∈（a/4，a/2]范圍內(nèi)精度依然很好，可控制在2%范圍內(nèi)。故對(duì)b＜a/10時(shí)，在x∈[0，a/4]范圍內(nèi)的某些固定點(diǎn)（x=a/40、a/20、a/10、a/4）采用4.1節(jié)同樣的方法進(jìn)行分析，結(jié)果如表2所示。對(duì)其之間的x值可進(jìn)行分段線性插值。

表2 有效分布寬度分段插值表[式（2）]

依然采用第3節(jié)的模型對(duì)x∈[0，a/4]范圍內(nèi)的應(yīng)力進(jìn)行驗(yàn)證，見(jiàn)圖6[對(duì)x∈[a/4，a/2]范圍內(nèi)的計(jì)算結(jié)果采用的是式（1）]。計(jì)算結(jié)果顯示，該分段計(jì)算方法計(jì)算精度較高，誤差可控制在5%以內(nèi)。

圖6 式（2）簡(jiǎn)化式與理論解的對(duì)比圖

根據(jù)上述有效寬度計(jì)算式，得出不同板寬中心處的有效分布寬度和荷載擴(kuò)散角，見(jiàn)表3。

表3 不同板寬中心處的有效寬度和荷載擴(kuò)散角

從表3看出，當(dāng)荷載范圍一定、板寬變化時(shí)，其中心處的荷載擴(kuò)散角是不一樣的，且變化較大，不能用統(tǒng)一的荷載擴(kuò)散角進(jìn)行應(yīng)力的簡(jiǎn)化計(jì)算。

5 結(jié)論

用復(fù)變函數(shù)法得出無(wú)限長(zhǎng)板帶對(duì)位荷載下的應(yīng)力計(jì)算公式，然后通過(guò)應(yīng)力有效分布寬度的概念，導(dǎo)出無(wú)限長(zhǎng)板帶對(duì)位荷載下的簡(jiǎn)化應(yīng)力計(jì)算公式，分為兩種情況：

（1）當(dāng)b≥a/10，x∈[0，a/2]時(shí)；當(dāng)b＜a/10，x∈[a/2，a/4]時(shí)，采用式（1）。

（2）當(dāng)b＜a/10，x∈[0，a/2]時(shí)，采用式（2）。

將以上公式與有限元和理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，顯示其最大誤差可控制在5%以內(nèi)。從初步的應(yīng)用結(jié)果可看到，不同板寬的應(yīng)力擴(kuò)散角是不一樣的，不能用統(tǒng)一的荷載擴(kuò)散角進(jìn)行應(yīng)力的簡(jiǎn)化計(jì)算。