基于改進型離散滑模觀測器的表貼式永磁同步電機無位置傳感器控制

佟誠德，葛 晨，郭家旭，郎杰文，王明嶠，鄭 萍

（哈爾濱工業大學電氣工程及自動化學院，哈爾濱 150080）

0 引言

永磁同步電機的無位置傳感器技術按照工況與原理大致可以分為兩類：基于電機基頻模型檢測位置與基于轉子凸極性檢測位置[1-3]?；陔姍C基頻模型檢測位置的方法適用于中高速情況，一般為電機額定轉速10%以上[4]。電機在運行過程中，三相繞組會產生相位相差120°的反電勢，根據電機模型，通過判斷反電勢的相位，即可確定轉子位置。通常，基于模型法觀測轉子位置／速度可以分成三部分：反電勢／磁鏈觀測器、位置估計誤差解調以及位置／轉速跟蹤器[5]。其中，觀測反電勢或磁鏈通常采用的方法有：磁鏈估計法[6-7]、模型參考自適應法[8-9]、擴展Kalman濾波器法[10]以及滑模觀測器法[11-12]等。位置誤差解調可以通過估算反電勢或者磁鏈進行簡單的算術運得到，轉子位置／轉速跟蹤可以通過使用鎖相環或Luenberger觀測器實現。

滑模觀測器由于其結構簡單、設計方便、具有較強的魯棒性，國內外學者對其進行了大量研究。通常情況下，滑模觀測器是在連續域進行設計，再將其離散化，應用到實際的電機控制系統當中。通過該方法得到的離散滑模觀測器的穩定性與直接采用離散滑?？刂评碚摰玫降姆€定性會有所差異，最終會影響到觀測器的性能。同時，傳統的滑模觀測器通常采用低通濾波器來獲得反電勢的估計值，為了解決低通濾波器帶來的相移，需要對最終結果進行補償。為了解決以上問題，本文在離散滑?？刂评碚摰幕A上，提出了一種基于自適應反電勢濾波器的改進型離散滑模觀測器。該觀測器由三部分結構組成：基于趨近律設計的離散滑模觀測器、離散自適應反電勢濾波器以及帶穩態誤差補償的歸一化鎖相環。將基于趨近律設計的滑模觀測器輸出通過自適應反電勢濾波器濾波，得到反電勢的估計值，再將其輸入到歸一化鎖相環，并對電機加減速過程中的穩態誤差進行補償，即可得到最終的位置信息，從而完成無位置傳感器控制。通過仿真，對所提出的改進型離散滑模觀測器進行了驗證。

1 傳統滑模觀測器抖振分析

1.1 電機模型

對于表貼式永磁同步電機，其α-β軸系下的數學模型為

式（1）中，vα、 vβ為定子相電壓 α 軸、 β軸對應分量，iα、iβ為定子電流α軸、β軸對應分量，Rs為定子電阻，Ls為定子電感，ψf為永磁磁鏈，ωe為電機的電角速度，θe為d軸與定子A相軸線的夾角。

采用零階保持器得到電機在α-β軸系下的離散化模型

采用后向Euler法將式（3）進行離散化，根據假設可以得到 ωe（k+1）≈ ωe（k）， 結果如下

1.2 傳統滑模觀測器抖振分析

選擇定子電流誤差為滑模面，有

傳統離散滑模觀測器的結果為

根據電流誤差方程，通過穩定性分析可以得到滑模增益的取值范圍，滑模增益應始終大于當前轉速下電機的反電勢

為減小抖振，采用與轉速相關的自適應滑模增益

由于 A 的值接近于 1， 因此（A-1）s（k）項相對于反電勢項 eαβ（k）可以忽略不計。 因此， 當 s（k）＞0 時， 相鄰兩次跟蹤誤差差值 Δs（k）≈ eαβ（k）-k1a。當 s（k）＜0時， 相鄰兩次跟蹤誤差差值Δs（k）≈eαβ（k）+k1a。 在對觀測器進行設計時， 為了減小抖振，通常使滑模增益k1a略大于反電勢的最大值。由式（9）可知，當跟蹤誤差位于滑模面兩側時， Δs（k）不同。 當反電勢 eαβ（k）接近于 0 時，。 此時，在相鄰的控制周期中，跟蹤誤差可以反復穿越滑模面。當eαβ（k）接近峰值時，Δs（k）最大可以接近反電勢幅值的兩倍，最小則接近于0，此時往往需要數個控制周期，跟蹤誤差才可以穿越滑模面，這使得抖振現象更加嚴重，其現象示意圖如圖1所示。

圖1 跟蹤誤差位于滑模面兩側時的示意圖Fig.1 Schematic diagram of tracking errors on both sides of the sliding mode surface

2 改進型離散滑模觀測器設計

2.1 基于趨近律設計的離散滑模觀測器

為了減小傳統離散滑模觀測器的抖振，采用基于趨近律設計的離散滑模觀測器。該觀測器不僅可以很好地改善趨近運動的動態品質，同時由于引入了反電勢項，從根本上解決了傳統離散化觀測器由于在滑模面兩側趨近速度不同所帶來的抖振，從而使系統抖振大大減小。

采用后向Euler法將由指數趨近律與等速趨近律組成的組合趨近律進行離散化，其形式為

設計的離散滑模觀測器滿足

由式（11）可以得到電流誤差方程

定義滑模面

由式（10）、 式（12）與式（13）可得

由式（14）可以得到反電勢的等效控制項

采用離散滑模觀測器時，在相鄰兩次控制中跟蹤誤差差值Δs（k）的表達式如式（10）所示。 基于趨近律設計的滑模觀測器規定了系統運動點趨近于滑模面的運動規律，因此不會出現趨近速度不同的問題。將其與傳統離散滑模觀測器進行對比，雖然傳統滑模觀測器選擇符號函數作為切換函數，但是真正作用到系統上的實際控制項如式（9）所示，從而使觀測結果產生嚴重的抖振。而基于趨近律設計的滑模觀測器雖然等效控制項較為復雜，如式（15）所示，但是其實際控制項為式（10），由于不存在 eαβ（k）項，因此不會出現趨近速度不同的情況。

根據離散滑模的可達性條件，可以得到基于趨近律設計的滑模觀測器參數取值范圍

2.2 離散自適應反電勢濾波器

通常情況下，將由滑模觀測器得到的等效控制項eαβ（k）通過一階低通濾波器，濾除信號中的高頻分量，即可得到反電勢的估計值，進而得到位置信息的估計值。但是，低通濾波器存在相位延遲與幅值衰減，為了對得到的位置信息進行補償，補償值通常由估計的位置信息進行計算，由于估計的位置信息存在誤差，將會導致補償值計算不準確，從而使最終結果產生一定誤差。為了避免低通濾波器所帶來的相位延遲與幅值衰減，提出一種離散自適應反電勢濾波器來代替低通濾波器，由反電勢濾波器的結果得到位置信息的估計值。

將由自適應反電勢濾波器得到的反電勢估計值反饋回前述設計的滑模觀測器中，即可得到完整的基于趨近律設計的離散滑模觀測器，其結構如圖2所示?？梢钥闯?，自適應反電勢濾波器代替了傳統滑模觀測器中低通濾波器的位置。

圖2 基于趨近律設計的離散滑模觀測器結構圖Fig.2 Block diagram of discrete sliding mode observer based on approach law

2.3 歸一化鎖相環及其穩態誤差補償

采用鎖相環來對位置信息進行解算，由于傳統鎖相環的頻響特性會隨著輸入反電勢幅值變化而改變，對于固定的鎖相環參數，其帶寬是一個變化的范圍，不利于鎖相環的參數設計。因此對鎖相環輸入進行標幺化處理，得到歸一化的正交鎖相環，其結構框圖如圖3所示。

圖3 歸一化鎖相環結構示意圖Fig.3 Schematic diagram of normalized phase-locked loop

鎖相環直接輸出的位置信息在電機加減速過程中存在穩態誤差，假設電機的電角速度與電角加速度滿足

式（24）中，a為電機的電角加速度，單位為rad ／s2。

可以看出，當電機處于加減速過程中時，由于a≠0，θe相當于單位加速度輸入，因此鎖相環對于角度估計值輸出存在穩態誤差，根據終值定理可得此時的穩態誤差

由于鎖相環直接輸出的轉速估計值通常含有較大的抖振，因此一般將其通過低通濾波器，可得到較為平穩的結果。低通濾波器對單位斜坡輸入存在穩態誤差，對于轉速估計值，其穩態誤差值為

將式（27）作為轉速補償值，即可以得到轉速估計值的最終結果

角度補償值與轉速補償值均需要電機的角加速度來進行計算，在無位置傳感器控制系統中，可以采用觀測器得到的估計轉速通過數學運算來計算加速度，該方式會不可避免地影響電機穩態時位置信息的估計精度。

將鎖相環進行離散化，可以得到離散鎖相環。如圖4所示，將前述基于趨近律設計的離散滑模觀測器、反電勢濾波器與鎖相環依次連接，即可得到改進型的離散滑模觀測器。

圖4 改進型滑模觀測器結構圖Fig.4 Block diagram of improved sliding mode observer

3 仿真驗證

在Matlab／Simulink中搭建相應的仿真模型進行仿真，電機參數如表1所示。首先對比分析采用補償策略與未采用補償策略時歸一化鎖相環的性能。電機先加速后減速，電機加減速過程中估算轉速與實際轉速的對比結果如圖5所示?？梢钥闯?，估算轉速可以較好地跟蹤實際轉速。

表1 電機參數Table 1 Parameters of motor

圖5 電機加減速過程中估計轉速與實際轉速對比結果Fig.5 Comparison between estimated speed and actual speed during motor acceleration and deceleration

采用與未采用補償時的鎖相環輸出對比結果如圖6所示。對鎖相環輸出進行補償之后，除了在電機加減速瞬間角度與速度估計誤差有一個小的跳變，在其余加減速過程中的估計誤差與穩態時差別不大，角度估計誤差為±0.4°，轉速估計誤差為±1.5r／min。對于未進行補償的情況，在穩態時，角度估計誤差為±0.2°，轉速估計誤差為±0.5r／min。當電機加速時，角度估計誤差擴大至約3.6°，轉速估計誤差擴大至約16r／min。由結果可以看出，由于補償值需要對估計轉速進行微分得到，因此補償過后穩態時的角度與速度估計誤差相對于未補償時具有更大的波動，不過不會出現過大的估計誤差。

圖6 電機加減速過程中角度與轉速估計誤差對比Fig.6 Comparison of angle and speed estimation errors during motor acceleration and deceleration

對自適應反電勢濾波器進行仿真分析。電機參考給定在0.3s時進行加速，在0.75s時加速至額定轉速3200r／min，之后保持額定轉速至1.0s。仿真時，位置解算模塊采用帶補償的鎖相環。分別采用自適應反電勢濾波器與低通濾波器，得到的α軸反電勢觀測結果如圖7所示?？梢钥闯觯捎玫屯V波器時，估計反電勢在相位上滯后于實際反電勢；采用反電勢觀測器時，其估計反電勢于實際反電勢十分接近，反電勢誤差在±2V之內。分別采用自適應反電勢濾波器與低通濾波器，得到的反電勢估計值進行位置解算后的位置估計誤差對比結果如圖8所示。對于采用低通濾波器的方式，電機轉速為1000r／min時，角度估算誤差約為3°。隨著電機轉速增加，反電勢頻率也在增加，導致相位延遲逐漸嚴重，角度估算誤差也隨之增加，在3200r／min時約為9.5°。對于采用自適應反電勢濾波器的方式，在整個過程中，角度估算誤差都在1°以內。雖然采用低通濾波器時角度估計值存在相位延遲，但是由于兩種策略得到的反電勢頻率均與實際反電勢相同，因此兩種策略得到的轉速估算誤差均在0附近波動。

圖7 α軸估算反電勢對比Fig.7 Comparison ofα-axis estimated back-EMF

圖8 兩種濾波器的估計誤差對比Fig.8 Comparison of estimation errors between two kinds of filters

最后，針對傳統滑模觀測器與基于趨近律設計的改進型滑模觀測器進行仿真對比分析，電機轉速從0r／min逐漸加速至額定轉速3200r／min，然后保持該轉速運行。分別采用基于趨近律設計的滑模觀測器與傳統滑模觀測器，得到的定子電流α軸分量如圖9所示。

由圖9（b）可知，采用傳統滑模觀測器時，在滑模面兩側趨近速度不同，當定子電流誤差位于圖中A點處時，相鄰兩次觀測誤差 Δs（k）接近于0，導致需要數個控制周期才可以使定子電流誤差穿越滑模面；而在圖中B點處，相鄰兩次觀測誤差 Δs（k）接近于兩倍的 eαβ（k）， 因此只需要一個控制周期就可以使定子電流誤差穿越滑模面。由于在滑模面兩側趨近速度不同，導致觀測電流與實際電流誤差較大，從而產生嚴重的抖振現象。而采用基于趨近律設計的滑模觀測器時，不存在在滑模面兩側趨近速度不同的現象，觀測電流與實際電流誤差在±5V之內，遠遠小于傳統滑模觀測器的觀測誤差。但是由于離散滑模不能產生理想的滑動模態，只能產生準滑動模態，因此電流跟蹤誤差無法減小到零。

圖9 定子電流α軸分量觀測結果Fig.9 Observation results of stator current α-axis component

采用兩種策略得到的位置信息對比如圖10所示。兩種策略均存在兩處誤差較大的位置，分別對應加速度變化的兩個時刻，即開始加速和結束加速時。采用傳統滑模觀測器得到的位置信息，無論是速度估計誤差還是角度估計誤差，均存在較大抖振。在額定轉速3200r／min時，角度估計誤差不僅有15°的滯后，其波動的峰峰值接近了20°，其轉速估計誤差波動的峰峰值接近了25r／min；而基于趨近律設計的滑模觀測器觀測誤差均在0附近，且其抖振遠遠小于傳統滑模觀測器的。

圖10 兩種滑模觀測器的估計誤差對比Fig.10 Comparison of estimation errors between two sliding mode observers

4 結論

本文提出了一種改進型離散滑模觀測器來獲取永磁同步電機的位置信息，采用基于趨近律設計的滑模觀測器解決了傳統滑模觀測器的抖振問題，采用自適應反電勢濾波器避免了低通濾波器所帶來的相位延遲，對歸一化鎖相環在電機加減速過程中的穩態誤差進行了分析并對其進行補償。仿真結果表明，基于趨近律設計的滑模觀測器抖振遠遠小于傳統滑模觀測器，自適應反電勢濾波器輸出的估計反電勢與實際反電勢誤差在±2V以內，且不存在相位延遲。在電機加減速運行的整個過程中，觀測器輸出的角度估計誤差在±0.4°以內，轉速估計誤差在±1.5r／min以內。