帶電粒子在電磁組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)規(guī)律探討
——對(duì)2021年全國(guó)高考物理甲卷第25題的深入剖析

安徽 王偉民 楊培軍

帶電粒子在磁場(chǎng)、電場(chǎng)特別是二者組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律問題，是近幾年物理高考的熱點(diǎn)問題，幾乎每年的高考試卷都有此類問題出現(xiàn)，而且大多是綜合性較強(qiáng)的計(jì)算題，在整個(gè)試卷中所占分值比例往往較高。這類綜合性問題，可以考查學(xué)生對(duì)洛倫茲力、電場(chǎng)力、拋體運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)等知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，還可以考查學(xué)生綜合運(yùn)用物理知識(shí)解決復(fù)雜問題的能力。剛剛過去的2021年全國(guó)高考物理甲卷也是如此，下面的例題1就是該試卷的壓軸題，單題分值高達(dá)20分。

一、原題呈現(xiàn)

【例1】(2021·全國(guó)甲卷第25題)如圖1，長(zhǎng)度均為l的兩塊擋板豎直相對(duì)放置，間距也為l，兩擋板上邊緣P和M處于同一水平線上，在該水平線的上方區(qū)域有方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E；兩擋板間有垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可調(diào)節(jié)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)的粒子自電場(chǎng)中某處以大小為v0的速度水平向右發(fā)射，恰好從P點(diǎn)處射入磁場(chǎng)，從兩擋板下緣Q和N之間射出磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)過程中粒子未與擋板碰撞。已知粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與PQ的夾角為60°，不計(jì)重力。

圖1

(1)求粒子發(fā)射位置到P點(diǎn)的距離；

(2)求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的取值范圍；

(3)若粒子正好從QN的中點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求粒子在磁場(chǎng)中的軌跡與擋板MN的最近距離。

二、試題評(píng)析

該題目共設(shè)置三個(gè)問題，三個(gè)問題彼此獨(dú)立，考查的知識(shí)點(diǎn)全面而不重復(fù)，各問題的解決互不影響，這樣可以避免考生因?yàn)榍懊娴膯栴}無(wú)法求解而影響后續(xù)問題解答的現(xiàn)象發(fā)生，使得試題的區(qū)分度更加的精細(xì)準(zhǔn)確。否則，如果題目設(shè)置的多個(gè)問題互相牽連，前面問題的答案是解決后續(xù)問題的條件，那么，具有解答后續(xù)問題能力而前面問題沒能正確解答的考生，做這樣的題目將無(wú)法得分，這樣對(duì)知識(shí)點(diǎn)掌握不全面和完全沒掌握的考生就無(wú)法形成區(qū)分。

從考生反饋的消息來(lái)看，三個(gè)問題的難度也不相同，相比而言，第一個(gè)問題難度最大，考生只有熟練且靈活掌握平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和相關(guān)公式(包括運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)、電磁學(xué)的相關(guān)公式)，才有可能解決這個(gè)問題；第三個(gè)問題相對(duì)難度最低，但也需要考生具有正確判斷帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡能力的同時(shí)，還要具有綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決復(fù)雜物理問題的能力。

由此可見，本題目考查的知識(shí)點(diǎn)全面而有梯度，具有拉開不同水平和能力的考生分?jǐn)?shù)差距的作用，這也是作為選拔性考試的試卷所必須具備的一個(gè)條件。

三、題目變式

帶電粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)的組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，涉及電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度、粒子質(zhì)量、粒子電荷量、粒子的運(yùn)動(dòng)速度、軌跡圓的半徑等諸多物理量以及有界電場(chǎng)或磁場(chǎng)的邊界形狀等條件，將這些物理量和相關(guān)條件作為常量或變量進(jìn)行不同組合，可以歸納出種類繁多的問題，適合于編擬難度較大，技巧性較高的綜合性推理計(jì)算或證明題目，此類問題大多需要結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)方能解決，可以全面考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力。如果我們以上面例題1給出的材料背景為藍(lán)本，更改相關(guān)條件之后，可以將其改編為與原高考題目物理背景相似的變式題目。

由原高考題目條件可知，帶電粒子在上方電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)為類平拋運(yùn)動(dòng)，而它以一定速度由上方的電場(chǎng)進(jìn)入下方磁場(chǎng)后的運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受電場(chǎng)和磁場(chǎng)邊界形狀的影響，粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一段拋物線與一段圓弧組合成的曲線。如果我們將題目對(duì)磁場(chǎng)的限制條件——磁場(chǎng)是“磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可調(diào)節(jié)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)”更改為“磁場(chǎng)方向可作周期性變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)”，并限定其變化周期，那么帶電粒子由上方的電場(chǎng)進(jìn)入下方的磁場(chǎng)之后，它的運(yùn)動(dòng)軌跡將變得復(fù)雜起來(lái)，不再是原來(lái)的一段圓弧，而是多個(gè)相切的圓弧，這個(gè)問題的解決也將變得相對(duì)復(fù)雜。

圖2

圖3

對(duì)原高考題目而言，為了使問題簡(jiǎn)化，題目限定了帶電粒子的運(yùn)動(dòng)范圍——“運(yùn)動(dòng)過程中粒子未與擋板碰撞”，而且粒子是“從兩擋板下緣Q和N之間射出磁場(chǎng)”，所以帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡只能是一段圓弧。實(shí)際上，在不考慮粒子重力影響的情況下(不論是跟電場(chǎng)力、磁場(chǎng)力相比，還是跟粒子與擋板的作用力相比，在場(chǎng)強(qiáng)較大時(shí)，粒子的重力都是相對(duì)非常小的，通常可以忽略不計(jì))，粒子與光滑擋板碰撞后的運(yùn)動(dòng)，其速度方向的改變也遵從光的反射定律，即反彈前后帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方向與擋板的夾角相等。因此，如果我們改變題目條件，人為的設(shè)定條件讓粒子在磁場(chǎng)中與光滑擋板碰撞，那么，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡也將不再是原來(lái)的一段圓弧，而是多段圓弧組合而成的曲線，這樣一來(lái)，跟原來(lái)高考題目問題的求解過程相比，就需“額外”應(yīng)用圓與圓之間的關(guān)系等幾何知識(shí)，相關(guān)物理問題的解決難度也會(huì)相應(yīng)增加。

圖4

【分析】不計(jì)粒子重力時(shí)，帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓或圓上的一部分(即圓弧)。由題目條件可知，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)分三個(gè)階段——先在上面的電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，之后進(jìn)入下面的磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中由于跟擋板撞擊后再反彈，粒子沿一系列圓弧軌跡運(yùn)動(dòng)，最后由下面的磁場(chǎng)進(jìn)入上面的電場(chǎng)做類斜拋運(yùn)動(dòng)。由于P、M關(guān)于HT對(duì)稱，S、S′也關(guān)于HT對(duì)稱，所以，粒子在M點(diǎn)離開磁場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度方向所在的直線，與它在P點(diǎn)由電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向所在的直線也關(guān)于HT對(duì)稱。用反證法可以證明，帶電粒子與擋板的4次碰撞的分布，只可能是與兩個(gè)豎直擋板各碰撞一次，與底部的水平擋板碰撞2次，所以，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行軌跡如圖5所示。圖5中只畫出了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，粒子在上面電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡沒有畫出。

圖5

【解析】帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)過各擋板反彈后運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于碰撞過程沒有能量損失，所以，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度大小保持不變，運(yùn)動(dòng)軌跡是半徑相等的一系列圓弧，設(shè)圓弧的半徑為r，圖5中A、B、C、D是粒子在磁場(chǎng)中四次碰撞的反射點(diǎn)，易知，圓弧PA所對(duì)的圓心角為120°，所以：

四、結(jié)語(yǔ)

帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)形成的組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，規(guī)律相對(duì)比較復(fù)雜。對(duì)帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)規(guī)律的探討，往往涉及多個(gè)物理知識(shí)點(diǎn)，問題的解決大多牽扯到很多物理公式，綜合性很強(qiáng)，解決此類問題需要學(xué)生具有較強(qiáng)的分析問題和解決問題的能力，歷年高考中，編者常將這類問題編擬為區(qū)分考生能力高下的壓軸題的做法也就不足為奇了。

對(duì)原創(chuàng)題目進(jìn)行改編是理科教師應(yīng)該具備的一項(xiàng)基本技能。對(duì)于帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，因?yàn)樯婕暗臈l件往往很多，可以改變條件與問題的組合進(jìn)行變式改編，也可以將某個(gè)已知條件進(jìn)行適當(dāng)變化，如更改磁場(chǎng)或電場(chǎng)的邊界形狀，更改磁場(chǎng)或電場(chǎng)強(qiáng)度及方向的變化規(guī)律等，正所謂牽一發(fā)而動(dòng)全身，當(dāng)題目條件改換時(shí)，題目背景可能會(huì)發(fā)生質(zhì)的改變。對(duì)一些高考原創(chuàng)題目進(jìn)行改編，能夠得到與原高考題目背景材料相似的變式題目，通過這樣的改編，可以使我們對(duì)題目的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，以及各并列條件之間的自洽關(guān)系有更為深入的理解。