滑板上表面由不同材料組合的板塊模型分類剖析

廣東 吳炳光

滑塊和滑板疊加的模型簡稱為“板塊模型”，這兩個簡單的“道具”為考查學生的物質觀念、運動與相互作用觀念、能量觀念展現了豐富多彩的情境，是高中物理講、學、練、測的重要模型之一。

在常見的習題、試題等案例中，“板塊模型”的滑板上表面通常是由同一種材料構成的，要么是光滑的平面，要么就是動摩擦因數為一個恒定數值的粗糙平面，情境比較單一，缺少復雜性和新穎性。如果在“板塊模型”的滑板上表面做文章，將其設置為由幾種不同材料分階段組合，通過學生對多過程問題的解答，可以比較準確地反映學生分析問題、解決問題的能力和學科核心素養。下面通過創設類型多樣的、具有一定復雜程度的試題，對滑板上表面由不同材料組合的“板塊模型”進行分類剖析，供大家參考。

一、滑板上表面是“粗糙+光滑”兩段組合

【例1】如圖1所示，質量M=3 kg的滑板A置于粗糙的水平地面上，A與地面的動摩擦因數μ1=0.3，其上表面右側光滑段長度L1=2 m，左側粗糙段長度為L2，質量m=2 kg且可視為質點的滑塊B靜止在滑板上的右端，滑塊與滑板上表面粗糙段的動摩擦因數μ2=0.15，取g=10 m/s2，現用F=18 N 的水平恒力拉動A向右運動，當A、B分離時，B相對地面的速度vB=1 m/s，求滑板粗糙段長度L2的大小。

圖1

【解析】在F的作用下，滑板A做勻加速直線運動，滑塊B靜止不動。

當A運動位移為L1時B進入粗糙段，設此時A的速度為vA。

當滑塊B由光滑段進入粗糙段后，設滑板A的加速度為aA，滑塊B的加速度為aB。

對滑板A，由牛頓第二定律得F-μ1(M+m)g-μ2mg=MaA；解得aA=0

對滑塊B，由牛頓第二定律得μ2mg=maB；解得aB=1.5 m/s2

這就說明，滑板A以vA=2 m/s的速度做勻速直線運動直至A、B分離。

設滑塊B在粗糙段滑行的時間為t。

對滑板A有sA=vAt

所以，滑板粗糙段長度L2=sA-sB=1 m

【點評】這道試題，滑板上表面由“粗糙+光滑”兩段組合，滑塊B開始處于光滑段，滑板A先做勻加速運動，當滑塊B由光滑段進入粗糙段后，滑板A將做什么性質的運動呢？這就需要將整體法、隔離法、牛頓運動定律、相對運動等重要內容緊密結合，通過定量計算，才能知道滑板A第二階段做勻速直線運動直至A、B分離。這種多過程的情境設計，可以幫助學生更好地形成“運動與相互作用觀念”，對學生綜合解題能力的培養有顯著的作用。

二、滑板上表面是“粗糙+光滑+粗糙”三段組合

【例2】如圖2所示，長度L=7 m、質量M=1 kg的滑板C靜止在粗糙的水平地面上，滑板上表面左右兩端各有長度d=1 m的粗糙區域，中間部分光滑。可視為質點的小物塊A和B初始時如圖放置，質量分別是mA=0.25 kg和mB=0.75 kg，A、B與滑板粗糙區域之間的動摩擦因數均為μ1=0.2，滑板與水平地面之間的動摩擦因數為μ2=0.3。某時刻對滑板施加F=8 N的水平恒力，滑板開始向右加速，A與B碰撞瞬間粘在一起不再分開并撤去F，取g=10 m/s2，求：

(1)物塊A與B碰后瞬間的速度大小；

(2)最終物塊A與滑板C左端的距離。

圖2

【解析】(1)假設物塊A與滑板C共同加速，加速度為a。對物塊A與滑板C，由牛頓第二定律得F-μ2(M+mA+mB)g=(M+mA)a；而當C對A的摩擦力達到最大靜摩擦力時，設A的加速度為aA。對物塊A，由牛頓第二定律得μ1mAg=mAaA；聯立各式解得a=1.6 m/s2，aA=2 m/s2；由于a

(2)撤去力F后，物塊AB整體繼續做勻加速直線運動，設加速度為a1；對物塊AB整體，由牛頓第二定律得μ1(mA+mB)g=(mA+mB)a1；滑板C做勻減速直線運動，設加速度大小為a2；對滑板C，由牛頓第二定律得μ2(M+mA+mB)g+μ1(mA+mB)g=Ma2。

圖3

另外，還可以應用v-t圖像法解答此題，過程更直觀，臨界情況更明確，如圖3所示。需要強調的是，用v-t圖像法解答的過程中，必須判斷說明AB整體不會向右滑過C滑板左邊粗糙區域。主要思路如下：

AB碰后一直到A、B、C均停止運動過程，有：

最終AB整體與滑板左端的水平距離

Δs=d+sAB-sC=0.87 m

【點評】這道試題，滑板上表面由“粗糙+光滑+粗糙”三段組合，試題情境的復雜性和新穎性都較高，難度較大，區分度較好。解題過程中，學生需要靈活選擇研究對象及其對應的運動過程，需要具備力學規律的分析推理能力和應用數學知識處理物理問題的能力，通過對物理動態過程的分析和研究，形成物理建模研究的物理思維和數理結合科學探究等學科核心素養。因此不論在知識維度，還是思維能力維度對學生要求都較高。

三、滑板上表面是“不同粗糙程度”的三段組合

【例3】如圖4所示，長L=5 m、質量M=1 kg的滑板靜置在粗糙水平面上，滑板與水平面之間的動摩擦因數μ=0.1，滑板的上表面由不同材料構成。質量m=1 kg的小物塊靜止在滑板左端的O點，物塊與滑板OA段、AB段、BC段之間的動摩擦因數分別為μ1=0.3、μ2=0.1和μ3=0.5。從t=0開始對物塊施加一水平拉力F，F隨時間t變化關系如圖5所示，取水平向右為正方向。已知OA、AB段長度分別為L1=1.0 m、L2=3.0 m，重力加速度g=10 m/s2。求：

(1)物塊到達滑板上表面A點時的速度大小v1；

(2)第2 s內物塊與滑板之間的摩擦產生的熱量Q；

(3)最終物塊與滑板都靜止時，物塊距滑板右端C的距離d。

圖4

圖5

另外，此題也可以應用v-t圖像法進行解答，通過分析和計算，整個過程的物塊、滑板v-t圖像如圖6所示，這種方法可以讓學生領悟到每一個過程的臨界狀態，找出隱含條件，找出臨界值，體會用v-t圖像輔助解題的優越性。

圖6

【點評】這道試題，滑板上表面是“不同粗糙程度”的三段組合，學生需要在識圖、讀題、審題過后，通過定量計算，判斷得出，第1 s內，物塊相對滑板向右滑動；第2 s末，物塊剛好運動到達滑板上的B點處；然后物塊勻減速運動，滑板勻加速運動，第2.4 s末，物塊與滑板共速，然后共同減速，到第3 s末，物塊與滑板恰好停止。物塊和滑板經歷了四個運動過程，解題過程難在力學規律的選擇，難在隱含條件的挖掘，難在假設法的思維判斷。

這道試題，考查學生的審題、知識遷移和綜合分析推理能力，能夠促進學生更好地理解物理世界，給不同水平的學生留有發揮的空間，有很好的區分度。

四、滑板上表面“動摩擦因數均勻變化”的情境

圖7

圖8

(1)物塊滑離滑板時的速率v；

(2)若解除滑板的鎖定并撤去上表面的材料后，物塊與滑板上表面間的動摩擦因數μ=0.2，物塊仍從圓弧最高點A由靜止釋放，求物塊落地時距滑板右端的水平距離。

【點評】這道試題，創設了滑板上表面“動摩擦因數均勻變化”的新情境，但降低了運動的復雜性，降低了試題的難度。需要注意的是，在對不同年級、不同層次學生的命題中要控制好試題情境的水平層級。

例4中，由于滑板上表面的動摩擦因數均勻(線性)變化，摩擦力的大小線性變化，摩擦力做功是變力做功，采用平均值法進行計算，簡化了解題過程。另外，滑板并不是薄板，物塊滑離滑板后做平拋運動，受力情況發生突變，滑板不是做勻加速運動，而是做勻速直線運動，解題過程中需要注意這一點，避免錯解。

五、結束語

問題的復雜程度與情境的復雜性、內容的抽象性和應用的綜合性密切相關。對“板塊模型”的滑板上表面做文章，稍作變更、拓展，多角度進行設問，便可以編制出一些培養學生物理觀念、科學思維的優秀試題。通過靈活運用有關物理知識和方法解答一系列相似的“板塊模型”題，有利于開拓解題思路，提升物理學科核心素養。