從一道幾何光學題的探究過程看科學思維的妙用

湖北 徐愛梅

對物理問題的探究過程，常常需要巧妙地運用科學思維，利用模型建構、科學推理、科學論證、質疑與創新，化復雜為簡單，化陌生為熟悉，探尋其本質規律。教師在教學過程中不能只滿足于物理問題的解答，應該在問題的解決過程中讓學生體會科學思維運用的巧妙，培養學生的科學思維。對于光學試題也是如此。

在筆者印象中，光是自然界最聰明的物質，它總是傾向于更高的效率，比如光總是走最快的路徑。我們可以運用類比思維，從光的反射、折射規律中找到求解宏觀物體最短運動時間的方法，相較于使用費時的數學方法推導運動規律，運用類比思維的好處是可以根據條件和規律的相似性快速找到解決問題的方法。比如在沙灘上看到一個人落水了，施救者走什么路線可最快到達落水者身邊？類比思維的解法是按照施救者在沙灘和水中速度，類比光的折射路徑。再如力學上的最速降線問題，也可用光的折射規律來理解，其路徑類似于海市蜃樓的光路。

光的折射引起色散時，比較介質中不同色光的傳播時間，就要用到比較思維。比較思維能力是物理試題中經常考查的科學思維，比較的時候要善于抓住相同點、聯系量、不變量，可以使比較的過程變得更簡單。

模型思維能力也是物理創新試題中經?？疾榈目茖W思維，常在典型模型的基礎上加以變通或組合，考查學生對基本原理或者基本模型的組合運用等。教材上常見的模型有平行玻璃磚、半圓形玻璃磚、三棱鏡、全反射棱鏡等?！镀胀ǜ咧形锢碚n程標準(2017年版2020年修訂)》中特別強調了物理學科核心素養中模型建構的科學思維。一些優秀的模擬題充分體現了這一特點。2021年武昌五月質量檢測試卷第9題就是一道考查科學思維的好題。

【試題呈現】某玻璃磚的橫截面是底角為45°的等腰梯形，如圖1，一束由紅綠兩色組成的復色光從AB邊中點E平行于BC邊射入后，兩種色光在BC邊均發生全反射后再從CD邊射出玻璃磚，其中紅光的射出點是CD邊中點F。除了全反射，不考慮光在玻璃磚內的多次反射，則下列說法正確的是

( )

圖1

A.綠光在CD邊的出射點在F點下方

B.綠光在CD邊出射的方向與BC平行

C.綠光在玻璃磚內傳播的時間一定比紅光要長

D.綠光在玻璃磚內傳播的時間可能和紅光相等

一、利用對稱性化折線為直線

圖2

對于一道選擇題，命題人應該不是要學生去做復雜的計算，那命題人是不是想普及什么特殊模型的特殊規律呢？筆者聯想到課本中曾有一個縫紉機纏線的滾輪從較光滑的桌面斜滾到布面上的情境，因為滾輪的速度大小發生變化導致滾動方向也隨之改變，可以幫助理解光的折射現象，其中用到了時間相等來證明折射定律。筆者相信這道模擬題中也一定會存在一個蘊含簡單規律的特殊模型。筆者把這個問題拋到一個物理教師QQ群中，并引起各地物理教師的熱烈討論。

二、利用熟悉模型推導結論

安徽省池州市的黎楊老師說：“當做平行玻璃磚問題？折射率大的時間一定大?！?/p>

平行玻璃磚是學生比較熟悉的光學元件。但大多數學生只是重點研究過出射光與入射光平行的證明和比較不同折射率的單色光側移量的大小這兩個問題，對比較時間的問題沒有深入的研究。如圖3所示(①為紅光，②為綠光)，與筆者作入射光的對稱線(作入射點的像點)不同的是，其他幾位老師做的是反射光的對稱線，相當于做的是出射點的像點，入射點本來就相同，而出射點的像點連線就構成了出射面CD的鏡面對稱像，很容易發現與平行玻璃磚的聯系。

圖3

作DC的垂線CE′，EE′⊥CE′，其中E′為垂足，則F、D關于BC面的像點F′、D′也在這條線上。根據對稱性，光的路程分別為EF′、ED′。

湖北省武漢市的張旭老師給了這個模型的推導過程與筆者下面的推導類似。

設入射角為i，折射角為θ，平行玻璃磚厚度為d，

結論：入射角i相同，折射角為θ=45°時，當分母有最大值，時間t最短。

討論：折射率n越大，折射角θ越小。

此題入射角等于45°，折射角θ<45°，折射率更大的綠光在等腰梯形玻璃中的傳播時間一定比紅光長。不過，筆者感覺這種方法的計算量還是有些大，如果學生事先不知道這個模型，考場上推導還是會花費大量時間。作為選擇題，還有沒有更簡潔的模型來解決呢？命題者心中想的是什么模型呢？

三、提出特殊模型速解問題

四川省的林斌老師提出：“做個圓直接秒(殺)”。如圖4所示(①為紅光，②為綠光)，紅光與綠光同時到達圖中圓弧，易得紅光的傳播時間小于綠光的傳播時間。

圖4

證明：如圖5所示，設圓的直徑為2R，入射角為θ，折射角為α，則

圖5

由于兩種單色光的入射角相等，所以它們經過相同的時間到達圓弧面。

湖北省武漢市的姜付錦老師告訴筆者，這個模型叫惠更斯等時圓：兩束不同折射率的單色光以相同的入射角從一半圓形的玻璃磚的左端點入射，則兩束單色光在玻璃磚中傳播的時間相等?；莞沟葧r圓為什么有如此簡潔奇妙的特點呢？是否包含什么本質規律？河南省的李亞坤老師說了一句：“同一波面，時間必定相等。介質中換算真空光程?！边@就是惠更斯原理的波陣面。

結合等時圓的證明，我們可看出，以相同的入射角射到某一界面的復色光進入介質色散后波到達的點構成的面應該在一個圓面上，圓面的直徑在入射面上，入射點為直徑的一個端點，隨著時間延長，這個直徑越來越大。

筆者再一次驚嘆于物理規律的相似性，電場、引力場、光學、力學，總能在不同的領域發現相似的規律。靜電透鏡、引力透鏡、磁聚焦與磁發散、光學透鏡、磁感線與電場線；運動時間最短問題與費馬定律；神奇的三分之二現象；力學和電磁學動態分析中的最終穩態問題；變壓器和穩恒電路中的動態分析問題；力學等時圓、光學等時圓……

四、拓展

在解決了之前筆者提出的問題后，湖北省的趙宗坤老師和姜付錦老師又分別給出了兩種不同情況的玻璃磚色散問題。

( )

圖6

A.t1>t2B.t1=t2C.t1

如圖7所示，運用之前得出的結論易得t1>t2，A選項正確。

圖7

【例2】頻率不同的兩束單色光1和2以相同的入射角從同一點射入某種介質后，其光路圖如圖8所示，下列關于兩束光的說法中正確的是

( )

圖8

A.單色光1比單色光2更容易發生衍射現象

B.單色光1比單色光2更容易發生光電效應現象

C.單色光1與單色光2在介質中的傳播時間可能相等

D.單色光1發生全反射的臨界角比單色光2的要大

如果熟悉惠更斯等時圓的模型，也可畫圖速解。如圖9所示，折射角為45°時，時間最短。若①②的折射角互余，則時間相等。

圖9

五、總結