二維自相似變換理論和線怪波激發*

張解放 俞定國 金美貞

1)(浙江傳媒學院智能媒體技術研究院,杭州 310018)

2)(浙江省影視媒體技術研究重點實驗室,杭州 310018)

3)(浙江傳媒學院媒體工程學院,杭州 310018)

4)(浙江傳媒學院網絡數據中心,杭州 310018)

我們提出了二維自相似變換理論,以聚焦的(2+1)維NLS 方程(數學稱為拋物型的非線性微分方程)為模型,構建了它被轉變為聚焦的(1+1)維NLS 方程的二維自相似變換,深入研究了它的空間怪波激發,發現除了(1+1)維NLS 方程的Peregrine 孤子、高階怪波和多怪波誘導的線怪波所具有的短壽命特征外,由Akhmediev 呼吸子(AB)和Kuznetsov-Ma 孤子(KMS)誘導的線怪波也具有這種短壽命特征.這與由亮孤子(包括多孤子)誘導的空間相干結構保持形狀和幅值不變的演化特征完全不同.通過圖示展現了本文例舉的各類線怪波的演化規律.本文揭示的線怪波激發新機制,有助于提升對高維非線性波動模型的相干結構的新認識.

1 引言

怪波是一種典型的自然現象,可以出現在多種不同的環境中,研究領域包括流體力學[1-3]、非線性光學系統[4,5]、等離子體[6,7]、玻色-愛因斯坦凝聚[8,9]、湍流[10]、微波[11]、超流體[12]、大氣[13]、通訊[14]、毛細管系統[15]、金融系統[16]、顆粒物質[17]和磁性材料[18].怪波,源于海洋的粗糙背景下的局部大海浪而得名,具有大波幅、高陡峭、無預兆、短壽命等顯著特征,是一種能量高度集中的災難性波浪,已有大量的實測報道[19,20],嚴重威脅船舶的航行安全和海洋結構物的運作穩定.

Peregrine 在(1+1)維(one spatial dimensions and one temporal dimension)非線性薛定諤方程(1DNLSE)中首先發現一種時空雙重局域的新型Peregrine 孤子(PS)[21],驗證了“來無影去無蹤”特征,因此將PS 作為怪波的原型成為共識,自然將1DNLSE 作為產生怪波的一個理想模型.Akhmediev教授等指出1DNLSE 的怪波是一種非奇異的有理形式解,是Akhmediev 呼吸子(AB)[22]和Kuznetsov-Ma 孤子(KMS)[23,24]的極限情形,并相繼發現了NLS 方程的高階怪波和多怪波解[25-31].

怪波的奇異特征、獨特物理機制和有價值應用背景,一直是學術界的研究熱點.盡管在開放的海洋中怪波是危險和不受歡迎的,但在光學中卻是有用的,為產生峰值能量集中的強大超短脈沖開辟了途徑.近20年來,關于怪波的研究既有豐富的理論成果[32-41],又有不斷豐富的實驗驗證[42-48].值得指出,對二維空間怪波的認識和表征相比較一維空間怪波似乎少的多,因此尋求二維空間的非線性演化模型的怪波激發仍然引起學者的強力興趣.最近我們建立一種自相似變換方法,得到了非自治KP 方程有理函數表示的二維單、雙、三怪波解[49]和Fokas 系統的二維怪波激發[50].本文進一步發展自相似變換理論,以(2+1)維NLS方程[51]為模型,構建了它的二維自相似變換,深入研究了它的線怪波激發,發現由AB 和KMS 誘導的空間相干結構與PS 誘導的空間一樣相干結構是線怪波,具有短壽命特征.而由孤子(包括多孤子)誘導的空間相干結構是線孤子,保持形狀和幅值不變.

2 二維自相似變換理論

(2+1)維(two spatial dimensions and one temporal dimension)NLS 方程(2DNLSE)具有如下無量綱形式[52]

其中α,β和γ是實常數,ψ=ψ(x,y,t)是復函數.如果α＞0,2DNLSE(1)在x方向被說為聚焦的或吸引的;如果α＜0時,2DNLSE(1)在x方向被被說為散焦的或排斥的.類似地,β的符號導致在y方向是聚焦或散聚焦的.如果αβ ＜0,2DNLSE(1)稱為雙曲型方程;如果αβ ＞0,2DNLSE(1)稱為橢圓型方程.橢圓型2DNLSE(1)可以作為描述模擬光脈沖在光纖中[53]的傳播、等離子體[54]中的Langmuir 波以及玻色-愛因斯坦凝聚[55,56]等模型;雙曲型2DNLSE 可以作為描述深水中的重力波[57]、等離子體中的回旋波[58]和平面波導中的光波等模型[59,60].

為了研究方程(1)的怪波解,我們引入了下列相似變換[61]

其 中ρ(t),?(ξ,τ),φ(x,y,t)和ξ=ξ(x,y,t),τ=τ(t)分別是指定變量的待定函數.將(2)式代入方程(1)導出

若ρ(t),ξ(x,y,t),τ(t),φ(x,y,t)滿足下列關系

那么(3)式就可轉化為標準的(1+1)維非線性薛定諤方程

從(4)式和(5)式可假定相似變量ξ(x,y,t)和φ(x,y,t)具有如下形式:

其中κ(t),ι(t),ω(t),a1(t),a2(t),b1(t),b2(t),c(t),都是變量t的待定實函數.考慮到 (11)式和(12)式,從(5)式和(6)式可以求得

由(8)式和(9)式,我們分別得到

考慮到ρ0是一個常數,要求(18)式成立,存在以下兩類情況.

(i)當α=β=λ時,則可得到

值得說明,我們之所以把方程(1)通過自相似變換轉化到方程(10),在于方程(10)已有諸多的解析解研究成果,諸如行波解、亮孤子解、暗孤子解、呼吸子解和有理數解等.下面我們主要研究空間怪波激發,并限定討論α,β,γ符號相同的情形.

3 線怪波激發

這里我們直接基于已知(1+1)維NLS 方程(10)的相關相干局域結構,討論(2+1)維NLS方程(1)線怪波激發.考慮到(19)—(22)式比(23)—(26)式更有一般性.本節我們僅討論帶有(19)—(22)式的自相似變換(2)式下的情形,并取ξ0=τ0=φ0=0.

3.1 PS 誘導的線怪波

文獻[62]中,已知(1+1)維NLS 方程(10)的有理多項式解φ(ξ,τ)具有如下基本形式:

其中n∈N表示解的階數.不同階的怪波具有不同的Gn(ξ,τ),Hn(ξ,τ),Dn(ξ,τ),越高階的怪波,有理多項式的形式更復雜.

基于自相似變換(2)和(19)—(22)式和(1+1)維NLS 方程(10)的一階怪波[62],即PS,我們導出(2+1)維NLS 方程(1)的一階線怪波

其 中ξ(x,y,t),τ(t),φ(x,y,t),ρ(t)由(19)—(22)式給出.

圖1 展示了(2+1)維NLS 方程(1)的一階線怪波(2)隨傳播變量t的演化圖,圖中的自由參數選為λ=1,γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1.可見,一階線怪波在 (x,y)-平面上呈現出類似線孤子,可稱為線怪波,但與線孤子不同,它大振幅、短壽命顯著特征.

圖1 一階單線怪波(28)在 (x,y) -平面上隨t 的演化圖:(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5,自由參數選取為 α=β=λ=1,γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1Fig.1.Evolution plots of the first-order single line-rogue wave (28)with the t on the (x,y) -plane.(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5.The free parameters are chosen as α=β=1, γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1.

3.2 二階怪波誘導的線怪波

基于自相似變換(2)與(19)—(22)式和(1+1)維NLS 方程(10)的二階怪波[28],我們導出(2+1)維NLS 方程(1)的二階線怪波

表達式中G2,H2,D2分別為:

其中ξ,τ,φ,ρ由(19)—(22)式給出.

圖2 展示了(2+1)維NLS 方程(1)的二階線怪波解(29)隨傳播變量t的演化圖,自由參數選為自由參數選取為α=β=λ=1,γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,ξd=τd=0.從圖2 可見,二階線怪波和一階線怪波的特征也類似,但幅值更大、局域性更強.至于(2+1)維NLS 方程(10)的更高階怪波,可以同理討論,限于篇幅從略.

圖2 二階單線怪波(29)在 (x,y) -平面上隨 t 的演化圖:(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5,自由參數選取為α=β=λ=1,γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,ξd=τd=0Fig.2.Evolution plots of the second-order single line-rogue wave (29)with the t on the (x,y) -plane.(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5.The free parameters are chosen as α=β=1, γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,ξd=τd=0.

3.3 怪波簇誘導的多線怪波

我們知道怪波簇(rogue wave cluster)是(1+1)維NLS 方程(10)的一些特殊高階怪波.其本質是高階怪波可以分解為一系列低階PS.這些低階PS 在 (ξ,τ)-平面上相互聯系并相互作用,形成各種各樣的怪波簇結構,譬如著名的怪波三連體、環形怪波簇和三角怪波級聯等,已有很多關于怪波簇的文獻[29,62-64]研究.這里我們僅討論最簡單的怪波簇類,即三PS 怪波簇誘導二線怪波.它們可由選取二級線怪波(29)中的自由參數ξd,τd不同時為零得到.為了更清楚的呈現相關特征,我們分別將G2,H2,D2替換為A2,B2,C2[62]

(29)式變為

其中ξ,τ,φ,ρ由(19)—(22)式給出,δ,μ自由參數.

圖3 展示了(2+1)維NLS 方程(1)的雙怪波(37)隨t的演化圖,自由參數選為自由參數選取為α=β=λ=1,γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,δ=25,μ=100.從圖3 可見,二階單線怪波轉化為雙線怪波.至于(2+1)維NLS 方程(10)的其他形態的怪波簇誘導的多線怪波,可以類似討論,限于篇幅從略.

圖3 雙線怪 波(37)在 (x,y) -平面上隨 t 的演化圖:(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5,自由參數選取為α=β=λ=1,γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,δ=25,μ=100Fig.3.Evolution plots of the double line-rogue wave (37)with t on the (x,y) -plane.(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5.The free parameters are chosen as α=β=1, γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,δ=25,μ=100.

3.4 AB 誘導的多線怪波

基于相似變換(2)與(19)—(22)式和(1+1)維NLS 方程(10)的Akhmediev 呼吸子解[65],可以導出(2+1)維NLS 方程(1)的多線怪波

其中ξ,τ,φ,ρ由(19)—(22)式給出,a＜0.5是一個正的參數,B=[8a(1-2a)]1/2,ω=2(1-2a)1/2.

圖4 展示了由(1+1)維NLS 方程(1)Akhmediev 呼吸子誘導(2+1)維NLS 方程(1)的多線怪波隨變量t的演化圖,圖中的自由參數選為自由參數選取為α=β=λ=1,γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,a=0.45.這種情況下,參數a決定多線怪波的數目,隨a取值趨近 1/2,就轉變成一階單線怪波.

圖4 多線怪波(38)在 (x,y) -平面上隨 t 的演化圖:(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5,自由參數選取為α=β=λ=1,γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,a=0.45Fig.4.Evolution plots of the multi-line rogue wave (38)with t on the (x,y) -plane.(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5.The free parameters are chosen as α=β=1, γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,a=0.45.

3.5 KMS 誘導的單線怪波

基于相似變換(2)與(19)—(22)式和(1+1)維NLS 方程(10)的Kuzenetov-Ma 孤子解[65],可以導出(2+1)維NLS 方程(1)的單線怪波其中ξ,τ,φ,ρ由(19)—(22)式給出,1 ≥a ＞0.5是一個正的參數,A=i[8a(2a-1)]1/2,Ω=2i(2a-1)1/2.

圖5 展示了由(1+1)維NLS 方程(10)的Kuzenetov-Ma 孤子誘導的(2+1)維NLS 方程(1)的單線怪波在x-y平面上的演化圖,自由參數選為α=β=1,γ=2,κ0=-a0=b0=1,a=0.8.這種情況下自由參數a的取值不影響單線怪波的形態,但對線怪波的幅值有影響.

圖5 線怪波(39)在 (x,y) -平面上隨 t 的演化圖 (a) t=-3,(b) t=0,(c) t=5,自由參數選取為α=β=λ=1, γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,a=0.45Fig.5.Evolution plots of the line rogue waves (39)with t on the (x,y) -plane.(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5.The free parameters are chosen as α=β=1, γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,a=0.45.

4 討論和結語

為了比較,基于(1+1)維NLS 方程(10)的單亮孤子和自相似變換(2)式及(19)—(22)式,我們給出(2+1)維NLS 方程(1)的單線孤子

其中ξ,τ,φ,ρ由(19)—(22)式給出,κ,ι是自由參數.可以發現(1+1)維NLS 方程的亮孤子(40)誘導的線孤子具有保持形狀和幅值不變的演化特征(圖形討論從略),這和我們討論的(1+1)維NLS方程的PS、AB、KM 和其他高階怪波誘導的單(包括雙、多)線怪波所具有的短壽命特征完全不同.在(1+1)NLS 模型中AB、KM 是一類時間或空間周期性演化的孤子,它們的極限形態就是PS.但在(2+1)維NLS 方程中可以作為誘導線怪波激發的原型,這為討論高維非線性模型的怪波問題提供了一個有啟迪的途徑.

值得指出,我們給出(2+1)維NLS 方程的自相似變換(2)式,其系數α,β,γ在滿足(22)式或(26)式下可以自由選取,因此可以討論包括聚焦(拋物)或散焦(雙曲)型的(2+1)維NLS 方程的怪波激發.鑒于在(1+1)維情形,只有聚焦的(1+1)維 NLS 方程才存在怪波激發,深入研究散焦的高維模型顯然有很好的理論價值和實際應用,相關的研究進行中.

總之,本文以(2+1)維NLS 方程為模型,發展自相似變換理論,構建了它的二維自相似變換,深入研究了它的多類線怪波激發,并通過圖示展現了本文例舉的各類線怪波的演化規律.本文揭示的高維怪波激發新機制,豐富了我們對怪波的了解,有助于提升對高維非線性波動模型相干結構的新認識.