基于徑向基組合近似模型技術(shù)的立柱結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)*

魏鋒濤 史云鵬 張洋洋 黎俊宇 高新勤

(西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，陜西 西安710048)

面對(duì)復(fù)雜工程優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，由于不能求出各變量之間的具體顯式關(guān)系，難以利用常規(guī)方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，組合近似模型技術(shù)是將多個(gè)單一近似模型組合起來(lái)的技術(shù)，因其具有較高的精度和穩(wěn)定的魯棒性引來(lái)了國(guó)內(nèi)眾多學(xué)者的研究。Bi Shop CM等[1]在利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立近似模型技術(shù)時(shí)首次提出組合近似模型技術(shù)的概念，通過(guò)將單一近似模型技術(shù)的優(yōu)勢(shì)結(jié)合起來(lái)，有效避免了實(shí)際復(fù)雜工程問(wèn)題中因單一模型精度不夠造成的誤差較大等問(wèn)題。在國(guó)內(nèi)，李志華等[2]為了提高近似模型技術(shù)的預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)定性，采用留一交叉驗(yàn)證策略和預(yù)測(cè)平方和P來(lái)計(jì)算初始權(quán)因子，并且通過(guò)迭代更新權(quán)因子，直到滿足精度需求為止。黃煥軍等[3]發(fā)現(xiàn)組合近似模型技術(shù)無(wú)論是精度還是魯棒性都要優(yōu)于單一模型，最后利用組合近似模型技術(shù)建立了車身結(jié)構(gòu)多學(xué)科的設(shè)計(jì)優(yōu)化模型，改善了汽車的安全性能。童水光等[4]利用3個(gè)單一近似模型技術(shù)構(gòu)建組合近似模型技術(shù)，用交叉驗(yàn)證均方差為目標(biāo)函數(shù)計(jì)算權(quán)因子，構(gòu)建內(nèi)燃叉車外門架的近似模型技術(shù)，降低了外門架的質(zhì)量和最大應(yīng)力。在國(guó)外，F(xiàn)ang J等[5]為了獲得最大化卡車駕駛室的疲勞壽命，用組合近似模型技術(shù)構(gòu)建卡車駕駛室的優(yōu)化模型，并與單一近似模型技術(shù)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)組合近似模型技術(shù)能獲得更好的結(jié)果并且節(jié)約了成本。Qi Ouyang等[6]采用將最優(yōu)設(shè)計(jì)推入可行區(qū)域的保守策略來(lái)解決近似模型技術(shù)的不確定性，使用多基因遺傳規(guī)劃、Kriging和支持向量回歸構(gòu)建耗時(shí)的多相流模型的替代模型，結(jié)果表明該方法解決了近似模型技術(shù)的不確定性。

通過(guò)上述分析，鑒于徑向基近似模型技術(shù)計(jì)算精度和效率較低，本文研究一種基于徑向基組合近似模型技術(shù)，以改進(jìn)徑向基近似模型為基礎(chǔ)構(gòu)建組合近似模型技術(shù)，并以SZJY-14型加工中心的立柱作為研究對(duì)象進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，以驗(yàn)證本文所提方法的有效性。

1 基于徑向基的組合近似模型技術(shù)

1.1 基于多策略的徑向基近似模型技術(shù)

1.1.1 動(dòng)態(tài)加點(diǎn)策略

為了提高樣本點(diǎn)的質(zhì)量，設(shè)計(jì)了一種基于全局最優(yōu)解、移動(dòng)變區(qū)域的局部采樣和基于置信度的全局采樣策略多種集成策略。首先，利用具有組合變異策略的回溯搜索優(yōu)化算法(backtracking search optimization algorithm with combined mutation strategy, CMBSA)[7]對(duì)預(yù)測(cè)模型全局尋優(yōu)，找出全局最優(yōu)點(diǎn)并將其作為添加點(diǎn)；隨后以最優(yōu)解為中心在其附近范圍內(nèi)抽樣；最后利用U函數(shù)找出置信度最大點(diǎn)，并在其附近進(jìn)行抽樣，通過(guò)以上策略來(lái)提高徑向基近似模型技術(shù)的精度。

(1)全局最優(yōu)解的加點(diǎn)策略

該策略通過(guò)CMBSA算法對(duì)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行全局尋優(yōu)，找出近似模型技術(shù)的全局最優(yōu)點(diǎn)，并將最優(yōu)點(diǎn)添加到初始樣本點(diǎn)中構(gòu)建新的樣本點(diǎn)，通過(guò)最優(yōu)點(diǎn)的引導(dǎo)，提高了近似模型技術(shù)的構(gòu)建效率和精度，其求解模型如式(1)所示：

minf(x)

s.t.xL,i

(1)

其中：f(x)是目標(biāo)函數(shù);xL,i和xu,i分別是x的下界和上界。

(2)移動(dòng)變區(qū)域的局部采樣策略

該策略先通過(guò)CMBSA算法找出預(yù)測(cè)模型的最優(yōu)解x*，隨后找出當(dāng)前樣本點(diǎn)的最優(yōu)值xbest，并計(jì)算出模型的最優(yōu)解x*和當(dāng)前樣本點(diǎn)的最優(yōu)值xbest的距離d，如式(2)所示：

(2)

其中：n為樣本點(diǎn)的維數(shù)。

同時(shí)計(jì)算x*和xbest的響應(yīng)值，并比較它們的大小，將響應(yīng)值小的點(diǎn)作為抽樣中心，以d為半徑進(jìn)行抽樣，具體如式(3)所示：

(3)

(3)基于置信度的全局采樣策略

(4)

其中：μk(x)是徑向基近似模型技術(shù)的預(yù)測(cè)值，σk(x)是預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。通過(guò)上式雖然可以找出置信度最大的點(diǎn)，但是上式只考慮了樣本點(diǎn)預(yù)測(cè)值的信息并沒(méi)有考慮樣本點(diǎn)的真實(shí)響應(yīng)值，如果近似模型技術(shù)預(yù)測(cè)精度較低則會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)值與真實(shí)響應(yīng)值誤差較大，那么只考慮預(yù)測(cè)值信息的U函數(shù)是不完整的。針對(duì)此問(wèn)題，對(duì)現(xiàn)有的U函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，具體如式(5)所示：

(5)

改進(jìn)后的U函數(shù)同時(shí)考慮了預(yù)測(cè)值和真實(shí)響應(yīng)值的信息，能準(zhǔn)確地找出置信度最大的點(diǎn)xz，然后以xz為中心，以D1為半徑進(jìn)行多次抽樣，并且將每次的抽樣點(diǎn)記錄下來(lái)。

1.1.2 融合基函數(shù)策略

在影響徑向基近似模型技術(shù)的因素中，基函數(shù)對(duì)模型的預(yù)測(cè)精度影響是非常重要的，考慮到各個(gè)基函數(shù)的特點(diǎn)，選擇高斯函數(shù)和逆多二次型函數(shù)作為基礎(chǔ)函數(shù)構(gòu)建組合基函數(shù)，具體如式(6)所示。

(6)

其中：w1、w2是權(quán)系數(shù),ε為形狀參數(shù)。

為了完全發(fā)揮各個(gè)基函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，本節(jié)調(diào)用CMBSA算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)在定義域內(nèi)進(jìn)行尋優(yōu)，選用留一交叉驗(yàn)證法作為算法的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，找出使得誤差最小的參數(shù)組合。詳細(xì)求解模型如式(7)所示：

minf(w1、w2、ε)

(7)

1.2 構(gòu)建基于徑向基的組合近似模型技術(shù)

組合近似模型技術(shù)又稱為加權(quán)平均近似模型技術(shù)，其一般表如式(8)所示：

(8)

為了進(jìn)一步提高近似模型技術(shù)的預(yù)測(cè)精度與計(jì)算效率，以改進(jìn)徑向基近似模型和Kriging近似模型為基礎(chǔ)，構(gòu)建組合近似模型技術(shù)，利用交叉驗(yàn)證均方差最小化方法(EA法)[8]計(jì)算權(quán)系數(shù)wi，具體如式(9)所示：

(9)

其中：GMSEEN為組合近似模型技術(shù)交叉驗(yàn)證均方差值;yEN是除過(guò)點(diǎn)xk之外，其他點(diǎn)構(gòu)建的近似模型在xk處的預(yù)測(cè)響應(yīng)值;yactual為點(diǎn)xk處的真實(shí)響應(yīng)值。

2 建立立柱優(yōu)化模型

2.1 立柱載荷計(jì)算

SZJY-14型加工中心可以很多類型零件，并可以加工銑削、鏜削和鉆削等工藝。在優(yōu)化問(wèn)題中，選擇銑削工況為研究對(duì)象[10]。在加工過(guò)程中，刀具采用立銑刀，不對(duì)稱逆銑，故其受到的圓周銑削力FZ=2 662.776 N，分別是銑削力Fa，背向力FV和進(jìn)給力FH，按照銑削時(shí)各分力與圓周力的比值，計(jì)算各分力的具體數(shù)值，如式(10)所示：

(10)

其中：橫梁和主軸箱自重約為1 400 N。

2.2 立柱特性分析及優(yōu)化目標(biāo)確定

將立柱三維模型導(dǎo)入Abaqus中建立其有限元模型，將四面體作為網(wǎng)格劃分的基本單元。立柱基本尺寸為：長(zhǎng)度550 mm、寬度450 mm、高度1 753 mm、外殼壁厚30 mm、筋板厚度25 mm、筋板高度50 mm、工藝孔D1直徑70 mm和工藝孔D2直徑50 mm。立柱所用材料為HT250，密度為7 210 kg/m3、彈性模量為1.38×105MPa和泊松比為0.3。

為了提高計(jì)算精度同時(shí)兼顧計(jì)算效率，選擇四面體為基本體，網(wǎng)格大小為40 mm，產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)數(shù)為67 137個(gè)，單元數(shù)為36 836個(gè)，具體有限元模型如圖1所示。

(1)靜力學(xué)分析

通過(guò)Abaqus對(duì)立柱進(jìn)行靜力學(xué)分析，獲得立柱的應(yīng)力、應(yīng)變和位移云圖，具體結(jié)果如圖2～4和表1所示。

由圖2～4和表1可知，立柱的應(yīng)力最大值為2.735 MPa，應(yīng)變最大值為1.598×10-5mm，查表可知，HT250材料的許用應(yīng)力為220 MPa，其應(yīng)力最大值遠(yuǎn)小于許用應(yīng)力，從應(yīng)力云圖和應(yīng)變?cè)茍D上看，應(yīng)力應(yīng)變分布較為均勻，并無(wú)應(yīng)力集中現(xiàn)象。立柱最大變形量為1.441×10-2mm，此工況下能夠保證正常的穩(wěn)定性和加工精度，證明立柱結(jié)構(gòu)尺寸還有非常大的優(yōu)化空間。

表1 立柱靜態(tài)分析結(jié)果

(2)模態(tài)分析

模態(tài)分析可以了解立柱在工作狀態(tài)中是否會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象，本節(jié)繪制了立柱前四階固有頻率和振型，具體如圖5和表2所示。

由對(duì)圖5和表2可知，立柱的一階頻率為100.7 Hz，而該數(shù)控機(jī)床加工零件時(shí)主軸的震動(dòng)頻率為30～60 Hz，兩者相差較大，所以在工作過(guò)程中，不會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象。但是從圖5看，立柱在前四階頻率分析中均發(fā)生了不同程度的震動(dòng)及變形，這說(shuō)明立柱的動(dòng)剛性不足，需要對(duì)其進(jìn)一步優(yōu)化。

表2 立柱前四階模態(tài)數(shù)據(jù)

2.3 確定優(yōu)化設(shè)計(jì)變量

針對(duì)實(shí)際工程優(yōu)化問(wèn)題參數(shù)較多的現(xiàn)象，本節(jié)選擇單因素靈敏度分析法[11]對(duì)立柱優(yōu)化問(wèn)題中的參數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化，假設(shè)有m個(gè)因素x=(x1,x2,...,xm)T，其各因素的響應(yīng)值為y=(y1,y2,...,ym)T，只讓第i(i∈m)個(gè)因素變化Δ，則變化后的響應(yīng)值為y′=(y1,y2,...,yi+Δ,...,ym)T，則xi的靈敏度值如式(11)所示：

(11)

利用單因素靈敏度分析法，以一階頻率、最大變形量和質(zhì)量為目標(biāo)進(jìn)行靈敏度分析，具體如圖6所示。

由圖6可以看出，外殼壁厚、筋板厚度和筋板高度的尺寸變化對(duì)立柱的質(zhì)量、最大變形量和一階頻率影響較大，故以這3個(gè)變量作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，并依次記為x1、x2、x3。

2.4 建立優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

通過(guò)對(duì)立柱靜動(dòng)態(tài)特性分析和靈敏度分析，確立了優(yōu)化目標(biāo)與變量，其具體如下：

(1)優(yōu)化設(shè)計(jì)變量

通過(guò)對(duì)立柱各尺寸變量進(jìn)行靈敏度分析，得出外殼壁厚、筋板厚度和筋板高度對(duì)立柱的靜動(dòng)態(tài)特性影響較大，故以這3個(gè)變量作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，并依次記作x1、x2、x3且12≤x1≤48、10≤x2≤40和20≤x3≤80。

(2)目標(biāo)函數(shù)

通過(guò)分析，以立柱質(zhì)量、一階頻率和最大變形量為優(yōu)化目標(biāo)，其對(duì)應(yīng)權(quán)系數(shù)分別為w1、w2和w3，具體優(yōu)化模型如式(12)所示：

minF=w1Fm(X)-w2Ff1(X)+w3Fd(X)

(12)

其中：w1=0.5、w2=0.25和w3=0.25[12]。

3 立柱結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 近似模型構(gòu)建

利用拉丁超立方設(shè)計(jì)方法抽取50個(gè)樣本點(diǎn)，并利用Abaqus軟件獲取樣本點(diǎn)的真實(shí)響應(yīng)值，另外再抽取1組樣本點(diǎn)用于驗(yàn)證構(gòu)建模型的誤差，如表3和表4所示。

表3 實(shí)驗(yàn)樣本點(diǎn)及真實(shí)響應(yīng)值

表4 檢驗(yàn)樣本點(diǎn)與真實(shí)響應(yīng)值

構(gòu)建模型過(guò)程中，共添加樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為7個(gè)，為了更生動(dòng)地體現(xiàn)出組合近似模型技術(shù)構(gòu)建的近似模型擬合性能，以表中樣本點(diǎn)作為檢驗(yàn)點(diǎn)，將實(shí)際響應(yīng)值與預(yù)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，如圖7所示。

由圖7可知，添加樣本點(diǎn)后的模型預(yù)測(cè)值比初始狀態(tài)更接近真實(shí)響應(yīng)值，證明了加點(diǎn)后的組合近似模型技術(shù)的預(yù)測(cè)精度更高。

由圖7可知，添加樣本點(diǎn)后的模型預(yù)測(cè)值比初始狀態(tài)更接近真實(shí)響應(yīng)值，證明了加點(diǎn)后的組合近似模型技術(shù)的預(yù)測(cè)精度更高。

3.2 立柱優(yōu)化設(shè)計(jì)

利用組合近似模型技術(shù)構(gòu)建立柱模型并調(diào)用CMBSA算法對(duì)模型進(jìn)行尋優(yōu)，首先對(duì)算法的參數(shù)進(jìn)行設(shè)定，具體如表5所示。

表5 CMBSA算法參數(shù)設(shè)置

利用CMBSA算法對(duì)構(gòu)建的模型迭代200次尋優(yōu)，得到一組最優(yōu)參數(shù)組合并重新構(gòu)建立柱模型，在Abaqus里對(duì)其進(jìn)行有限元分析，獲得立柱靜動(dòng)態(tài)性能，具體如表6所示。

表6 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

從表6可看出，優(yōu)化后的質(zhì)量較優(yōu)化前減少了3.77%；最大變形較優(yōu)化前減少了5.14%；一階固有頻率優(yōu)化前提高了5.9%，總體上看，組合近似模型技術(shù)的優(yōu)化效果顯著，在減小立柱質(zhì)量的情況下保證了立柱的靜動(dòng)態(tài)性能。

為了更直觀地體現(xiàn)優(yōu)化后立柱的結(jié)構(gòu)性能，對(duì)立柱進(jìn)行了靜動(dòng)態(tài)性能分析，具體如圖8和圖9所示。

經(jīng)過(guò)對(duì)優(yōu)化后立柱靜動(dòng)態(tài)特性分析，立柱的性能得到很好地改善，同時(shí)質(zhì)量明顯減小，達(dá)到了此次優(yōu)化的預(yù)期效果，同時(shí)也驗(yàn)證了組合近似模型技術(shù)的有效性。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)徑向基近似模型技術(shù)預(yù)測(cè)精度和效率較低等問(wèn)題，提出一種基于多策略的徑向基近似模型技術(shù)，并以改進(jìn)徑向基近似模型為基礎(chǔ)構(gòu)建基于徑向基的組合近似模型技術(shù)，將其應(yīng)用于立柱的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中。選取SZJY-14型加工中心的立柱作為研究對(duì)象，利用組合近似模型技術(shù)建立立柱的近似模型，并調(diào)用CMBSA算法對(duì)模型優(yōu)化求解，優(yōu)化后的立柱質(zhì)量減小了3.77%，一階頻率提高了5.9%，最大變形量減少了5.14%，實(shí)現(xiàn)了立柱結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，為類似實(shí)際工程優(yōu)化問(wèn)題提供了一種解決方案。