一類(lèi)二階微分系統(tǒng)解的存在唯一性

康 慧 君

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

0 引 言

微分系統(tǒng)在物理學(xué)、 工程實(shí)踐和生物學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 目前, 對(duì)于非線性微分系統(tǒng)邊值問(wèn)題的研究已取得了許多結(jié)果[1-9]. 文獻(xiàn)[1]用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論研究了二階常微分系統(tǒng)

正解的存在性, 其中f1,f2∈C(I×+×+,+),I=[0,1],+=[0,+∞), 在非線性項(xiàng)f1,f2滿足超線性、 次線性的條件下, 證明了該系統(tǒng)至少存在一個(gè)正解.

狀態(tài)依賴時(shí)滯微分方程應(yīng)用廣泛, 如感染疾病傳播模型[10]和人口模型[11]等.迭代微分方程是狀態(tài)依賴時(shí)滯微分方程的一種特殊類(lèi)型, 近年來(lái)得到廣泛關(guān)注[12-20].例如: Eder[12]用收縮原理證明了一階迭代微分方程

x′(t)=x(x(t)),x(t0)=t0,t0∈[-1,1]

x′(t)=f(x(x(t))),x(0)=0

局部解的存在性.

本文考慮非線性項(xiàng)中帶有迭代項(xiàng)的二階微分系統(tǒng)邊值問(wèn)題是否也具有解的存在性、 唯一性、 單調(diào)性, 用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理研究一類(lèi)二階迭代微分系統(tǒng)邊值問(wèn)題

(1)

滿足如下邊界條件之一時(shí)解的存在性與唯一性：

x(a)=y(a)=a,x(b)=y(b)=b,

(2)

x(a)=y(a)=b,x(b)=y(b)=a,

(3)

其中x[2](t)=x(x(t)).

本文總假設(shè):

(H1)f,g∈C([a,b]×4,);

(H2) 存在常數(shù)Ki,Li(i=1,2,3,4)滿足

其中u1,u2,u3,u4∈;

(H3) 存在常數(shù)Mi,Ni>0(i=1,2,3,4)滿足

其中ui1,ui2∈, 并且

1 預(yù)備知識(shí)

首先, 考慮二階迭代微分方程

u″(t)=h(t,u(t),u[2](t)),

(4)

其滿足如下邊界條件之一:

u(a)=a,u(b)=b,

(5)

u(a)=b,u(b)=a,

(6)

其中h: [a,b]××→是連續(xù)函數(shù), 由于迭代項(xiàng)u[2](t)=u(u(t)), 因此對(duì)于t∈[a,b], 滿足a≤u(t)≤b.

設(shè)u∈C2[a,b]是問(wèn)題(4)-(5)的解, 則可將邊值問(wèn)題(4)-(5)轉(zhuǎn)化為不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題證明其解的存在唯一性.將方程u″(t)=h(t,u(t),u[2](t))兩邊從a到t積分, 得

(7)

將u(b)=b代入式(7)得

(8)

則有

(9)

將式(9)代入式(7)得

(10)

將式(10)寫(xiě)成如下形式：

結(jié)合式(10)和式(11)可得

因此u∈C2[a,b]是問(wèn)題(4)-(5)的解.u∈C[a,b]滿足積分方程

其中格林函數(shù)

同理, 將u(b)=a代入式(7)可得

因此u∈C2[a,b]是問(wèn)題(4)-(6)的解.

其次, 考慮二階迭代微分系統(tǒng)邊值問(wèn)題(1)-(2)或邊值問(wèn)題(1)-(3)解的存在性與唯一性.

定義Banach空間Φ=(C[a,b]×C[a,b],‖·‖C), 其上的范數(shù)為

定義積分算子T1,T2:C[a,b]×C[a,b]→C[a,b]如下:

F(x,y)(t)=(T1(x,y)(t),T2(x,y)(t)).

討論問(wèn)題(1)-(2)的解即轉(zhuǎn)化成討論方程F(x,y)(t)=(x,y)在Banach空間Φ上的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.注意到T1(x,y)(a)=a,T1(x,y)(b)=b,T2(x,y)(a)=a,T2(x,y)(b)=b, 此外,

并且

T1(x,y)″(t)=f(s,x(s),x[2](s),y(s),y[2](s)),

T2(x,y)″(t)=g(s,x(s),x[2](s),y(s),y[2](s)).

則問(wèn)題(1)-(2)有確定的解, 只需(x(t),y(t))∈C[a,b]×C[a,b],t∈[a,b].

易見(jiàn)有下列結(jié)果：

引理1(x,y)是問(wèn)題(1)-(2)的解當(dāng)且僅當(dāng)a≤T1(x,y)≤b,a≤T2(x,y)≤b, 并且(x,y)是T1,T2的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

引理2格林函數(shù)

滿足

|G(t,s)|≤|G(s,s)|,t,s∈[a,b]×[a,b],

引理3(Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理)[21]設(shè)A是Banach空間中的有界凸閉集,T:A→A全連續(xù), 則T在A中必有不動(dòng)點(diǎn).

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè)條件(H1),(H2)成立, 則邊值問(wèn)題(1)-(2)存在一個(gè)解.

證明： 由于假設(shè)條件(H1)，(H2)成立, 因此

同理, 有

從而可知T1(x,y),T2(x,y)是單調(diào)遞增算子, 由于T1(x,y)(a)=a,T1(x,y)(b)=b,T2(x,y)(a)=a,T2(x,y)(b)=b, 因此

a≤T1(x,y)≤b,a≤T2(x,y)≤b,t∈[a,b].

由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理可知(x,y)是T1,T2的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).由引理1可知, (x,y)是問(wèn)題(1)-(2)的一個(gè)解.證畢.

同理, 可得邊值問(wèn)題(1)-(3)等價(jià)于積分方程

其中T3,T4:C[a,b]×C[a,b]→C[a,b]是積分算子, 且有T3(x,y)(a)=b,T3(x,y)(b)=a,T4(x,y)(a)=b,T4(x,y)(b)=a.

定理2假設(shè)條件(H1),(H2)成立, 則邊值問(wèn)題(1)-(3)存在一個(gè)解.

證明: 仿定理1的證明, 首先證明算子T3(x,y),T4(x,y)是單調(diào)的, 根據(jù)假設(shè)條件(H1),(H2), 有

同理, 有

因此,T3(x,y),T4(x,y)是單調(diào)遞減的.因?yàn)門(mén)3(x,y)(a)=b,T3(x,y)(b)=a,T4(x,y)(a)=b,T4(x,y)(b)=a, 所以

a≤T3(x,y)≤b,a≤T4(x,y)≤b,t∈[a,b].

由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理可知(x,y)是T3,T4的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).由引理1可知, (x,y)是問(wèn)題(1)-(3)的一個(gè)解.證畢.

定理3假設(shè)條件(H1),(H3)成立, 則邊值問(wèn)題(1)-(2)或邊值問(wèn)題(1)-(3)存在唯一解.

證明: 假設(shè)(x1,y1),(x2,y2)是T1兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn), 則對(duì)于t∈[a,b], 由于假設(shè)條件(H3)成立, 因此有

假設(shè)(x1,y1),(x2,y2)是T2兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn), 則對(duì)于t∈[a,b], 有

因此

‖x1-x2‖+‖y1-y2‖<‖x1-x2‖+‖y1-y2‖,

矛盾.從而可知T1,T2有唯一的不動(dòng)點(diǎn)(x,y), 即(x,y)是問(wèn)題(1)-(2)的唯一解.同理, (x,y)也是問(wèn)題(1)-(3)的唯一解.證畢.

3 應(yīng)用實(shí)例

考慮如下系統(tǒng)的邊值問(wèn)題：

(12)

這里,

f(t,u1,u2,u3,u4)=k1cos(u4),g(t,u1,u2,u3,u4)=k2sin(u2).

因?yàn)?/p>

-|k1|≤k1cos(u4)≤|k1|, -|k2|≤k2sin(u2)≤|k2|,

所以

考慮邊值問(wèn)題(12)解的唯一性, 由中值定理可知, 存在ξ1,ξ2∈[0,π], 使得

|k1cos(u41)-k1cos(u42)|=|k1|sin(ξ1)|u41-u42|≤|k1||u41-u42|,

|k2sin(u21)-k2sin(u22)|=|k2|cos(ξ2)|u21-u22|≤|k2||u21-u22|,

因此