3-李-Rinehart Color代數的上同調與形變

騰 文, 游泰杰

(1. 貴州師范大學 數學科學學院, 貴陽 550025; 2. 貴州財經大學 數統學院, 貴陽 550025)

Huebschmann[1-4]首次引入了李-Rinehart代數的概念, 并對李-Rinehart代數在李代數胚上的作用進行了系統研究. 李color代數是李代數和李超代數的推廣, 目前已有很多研究成果, 例如: Scheunert等[5-6]通過研究李color代數, 得到了PBW定理和Ado定理, 并引入其上同調理論; Chen等[7]研究了李color代數的廣義導子結構; Yuan[8]和Abdaoui等[9]相繼研究了Hom-李color代數的上同調、 形變及其相關性質； Piontkovski等[10]引入了3維李color代數的上同調理論; 白瑞蒲等[11]引入了3-李-Rinehart代數的概念, 并討論了其基本結構、 作用和交叉模； Hassine等[12]引入了3-李-Rinehart超代數的概念, 并研究了其上同調和結構. 受上述研究啟發, 本文引入3-李-Rinehart color代數的概念, 通過系數模討論3-李-Rinehart color代數的上同調復形, 并刻畫3-李-Rinehart color代數的形變.

1 預備知識

設K是特征為0的代數閉域,R表示有單位元的交換環,+表示所有非負整數集.如無特殊聲明, 所有的模均在環R上, 所有的線性映射均指R-線性映射.

定義1[5]設Γ為Abel群, 對于映射ε:Γ×Γ→K*, 如果對任意的α,β,γ∈Γ, 均滿足下列等式:

則稱ε為Γ的斜對稱雙特征標.

[x,y,z]=-ε(x,y)[y,x,z], [x,y,z]=-ε(y,z)[x,z,y] (斜ε-對稱性),

(1)

定義3設(L,[·,·,·],ε)是3-李color代數,V是Γ-階化向量空間, 如果偶雙線性映射ρ:L∧L→gl(V), 滿足對任意的xi∈H(L)(1≤i≤4), 下列等式成立:

則稱(V,ρ)為L的一個表示,V為L-模.

定義ad:L∧L→gl(L), adx,y(z)=[x,y,z].由式(2)可見, (L,ad)是3-李color代數的一個表示, 稱為L的伴隨表示.

2 主要結果

下面討論3-李-Rinehart color代數的上鏈復形和上同調, 引入3-李-Rinehart color代數的概念. 進一步討論3-李-Rinehart color代數的上同調中1-余循環和2-余循環的關系, 并通過上同調理論刻畫3-李-Rinehart color代數的形變.

定義4設一個A上的3-李-Rinehart color代數是一個五元組(L,A,[·,·,·],ρ,ε), 其中ε為Γ上的斜對稱雙特征標,A是ε-交換結合階化代數,L是一個A-模, [·,·,·]:L×L×L→L是斜ε-對稱偶三線性映射,R-映射ρ:L×L→Der(A)滿足下列條件:

1) (L,[·,·,·],ε)是3-李color代數;

2) (A,ρ)是(L,[·,·,·],ε)的一個表示;

3) 對所有的x,y∈H(L),a∈H(A), 均有

ρ(ax,y)=ε(a,x)ρ(x,ay)=aρ(x,y)；

(5)

4) 相容性:

[x,y,az]=ε(a,x+y)a[x,y,z]+ρ(x,y)az, ?x,y,z∈H(L),a∈H(A).

(6)

定義5設(L,A,[·,·,·]L,ρ,ε)和(L′,A′,[·,·,·]L′,ρ′,ε)是兩個3-李-Rinehart color代數,g:A→A′和f:L→L′是兩個R-代數同態, 對?x,y∈H(L),a∈H(A), 滿足下列條件:

1)f(ax)=g(a)f(x);

2)g(ρ(x,y)(a))=ρ′(f(x),f(y))(g(a)).

則稱(g,f)是3-李-Rinehart color代數的同態.

定義6設M是一個A-模,ψ:L?L→End(M)是偶雙線性映射.如果下列條件成立:

1)ψ是(L,[·,·,·],ε)在M上的一個表示;

2) 對所有的a∈H(A),x,y∈H(L), 均有ψ(a·x,y)=ε(a,x)ψ(x,a·y)=a·ψ(x,y);

3) 對所有的a∈H(A),x,y∈H(L),m∈M, 均有

ψ(x,y)(a·m)=ε(a,x+y)a·ψ(x,y)(m)+ρ(x,y)(a)m.

則稱序對(M,ψ)為3-李-Rinehart color代數(L,A,[·,·,·],ρ,ε)的左模.

例1序對(L,ad)是L上的一個左模, 稱為(L,A,[·,·,·],ρ,ε)的伴隨表示.

命題1設(L,A,[·,·,·],ρ,ε)是3-李-Rinehart color代數, 則(M,ψ)是(L,A,[·,·,·],ρ,ε)左模的充要條件是(L⊕M,A,[·,·,·]L⊕M,ρL⊕M,ε)是3-李-Rinehart color代數, 其中[·,·,·]L⊕M,ρL⊕M的定義如下: 對任意的x1,x2,x3∈H(L),m1,m2,m3∈M, 均有

ρL⊕M: (L⊕M)?(L⊕M)→Der(A),ρL⊕M(x1+m1,x2+m2)∶=ρ(x1,x2).

證明: 必要性.因為L和M是A-模, 則?a∈A,x∈L,m∈M, 有a(x+m)=ax+am, 于是L⊕M也是一個A-模.如果(M,ψ)是(L,A,[·,·,·],ρ,ε)上的一個左模, 則(L⊕M,[·,·,·]L⊕M,ε)是3-李color代數.顯然ρL⊕M是3-李color代數(L⊕M,[·,·,·]L⊕M,ε)在A上的一個表示.

對任意的x1,x2,x3∈H(L),m1,m2,m3∈H(M),a∈ H(A), 有

進一步, 有

類似可得

ρL⊕M(a(x1+m1),x2+m2)=aρL⊕M(x1+m1,x2+m2).

因此(L⊕M,A,[·,·,·]L⊕M,ρL⊕M,ε)是3-李-Rinehart color代數.

充分性類似可證.證畢.

設(M,ψ)是3-李-Rinehart color代數(L⊕M,A,[·,·,·]L⊕M,ρL⊕M,ε)的一個左模, 用Cn(L,M)表示所有線性映射f: ∧2L?…?∧2L∧L→M生成的空間, 其中f滿足下列條件:

1)f(x1,…,xi,xi+1,…,x2n,x2n+1)=-ε(xi,xi+1)f(x1,…,xi+1,xi,…,x2n,x2n+1);

2)f(x1,…,axi,…,x2n+1)=-ε(a,x1+…xi-1+f)af(x1,…,xi,…,x2n+1).

下面考慮R-模的+-階化空間:線性映射δ3LR:Cn-1(L,M)→Cn(L,M)定義為

證明: 設齊次元f∈Cn-1(L,M), 顯然δ3LRf是斜ε-對稱.對所有的x1,x2,…,x2n+1∈H(L),a∈H(A),i<2n-1, 均有

利用定義4和式(6), 有

δ3LRf(x1,…,axi,…,x2n+1)=ε(a,x1+…+xi-1+f)aδ3LRf(x1,…,xi,…,x2n+1).

由上述性質可知, (C*(L,M),δ3LR)是上鏈復形.因此, 上鏈復形的上同調可定義為3-李-Rinehart color代數(L,A,[·,·,·],ρ,ε)的上同調空間, 其系數為(M,ψ), 記為H*(L,M).

則稱v為與ψ相關聯的1-余循環.

則稱ω為與ψ相關聯的2-余循環.

設(L,[·,·],ε)為李-color代數,τ:L→K是偶線性型.如果τ([·,·])=0, 則稱τ是L的階化跡.對于x1,x2,x3∈H(L), 定義3-元括積為

[x1,x2,x3]τ=τ(x1)[x2,x3]-ε(x1,x2)τ(x2)[x1,x3]+ε(x3,x1+x2)τ(x3)[x1,x2].

定理2設(L,[·,·],ε)為李-color代數,τ是L的階化跡, 則(L,[·,·,·]τ,ε)是3-李-color代數.

τ(x)τ(φ(y,z))-ε(x,y)τ(y)τ(φ(x,z))+ε(z,x+y)τ(z)τ(φ(x,y))=0.

線性映射φ: ?3L→L定義為

φ(x,y,z)=τ(x)φ(y,z)-ε(x,y)τ(y)φ(x,z)+ε(z,x+y)τ(z)φ(x,y).

則φ是由3-李-Rinehart color代數(L,A,[·,·,·]τ,ρτ,ε)誘導的一個2-余循環.

類似地, 有

另一方面, 設x1,x2,y1,y2,z∈H(L), 則

因為對所有的x,y,z∈H(L), 均有

τ(x)τ(φ(y,z))-ε(x,y)τ(y)τ(φ(x,z))+ε(z,x+y)τ(z)τ(φ(x,y))=0,

因此δ3LRφ=0.證畢.

由定理3可得以下推論.

ψ(x,y,z)=τ(x)φ(y,z)-ε(x,y)τ(y)φ(x,z)+ε(z,x+y)τ(z)φ(x,y)

是由3-李-Rinehart color代數誘導的一個2-余循環.

定理4李-Rinehart color代數(L,A,[·,·],μ,ε)標量上同調的每個1-余循環都是由3-李-Rinehart color代數(L,A,[·,·,·]τ,ρτ,ε)標量上同調誘導的一個1-余循環.

引理1設φ∈C1(L,R), 則對所有的x,y,z∈L, 均有

δ3LRφ(x,y,z)=τ(x)δLRφ(y,z)-ε(x,y)τ(y)δLRφ(x,z)+ε(z,x+y)τ(z)δLRφ(x,y).

證明: 設φ∈C1(L,R),x,y,z∈L, 則

證畢.

ψi(x,y,z)=τ(x)φi(y,z)-ε(x,y)τ(y)φi(x,z)+ε(z,x+y)τ(z)φi(x,y),i=1,2.

因此ψ1,ψ2在相同的上同調類.證畢.

下面討論3-李-Rinehart color代數的形變.設K[[t]]是以t為變量的形式冪級數環.

定義9設(L,A,[·,·,·],ρ,ε)為3-李-Rinehart color代數, 則L的形變是一組冪級數：

其中每個mi是偶三線性映射,m0=[·,·,·], ?x,y,z,u,v∈H(L),a∈H(A), 滿足下列條件:

ρ(ax,y)=ε(a,x)ρ(x,ay)=aρ(x,y),

[x,y,az]t=ε(a,x+y)a[x,y,z]t+ρ(x,y)az.

設[·,·,·]t是[·,·,·]的一個形變, 則

對比tn(n≥0)的系數, 可得下列方程:

定義103-上鏈m1稱為形變[·,·,·]t的微小形變.一般地, 如果mi=0(1≤i≤n-1),mn為非零上鏈, 則mn稱為形變[·,·,·]t的n-微小形變.

定義11如果存在L[[t]]-模形式同構

定理5微小形變[·,·,·]t的上同調類由[·,·,·]t的等價類決定.

(7)

對比方程(7)兩邊t的系數, 有