乘積度量空間上一類隱式壓縮映射的唯一不動點

樸 勇 杰

(延邊大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 吉林 延吉 133002)

Banach壓縮原理[1]即Banach不動點定理, 是不動點理論中最基本、 最簡單形式的定理, 在數(shù)學(xué)及其他領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 目前, 關(guān)于Banach不動點定理在各類不同廣義度量空間上的推廣和改進(jìn)已有很多成果. Bashirov等[2]通過引入乘積度量空間的概念, 給出了一些基本性質(zhì)； Florack等[3]和Bashirov等[4]在乘積度量空間上進(jìn)一步研究了一些其他性質(zhì); ?zavar等[5]在乘積度量空間上通過引進(jìn)乘積壓縮映射的概念, 給出了若干個乘積壓縮映射的不動點存在定理.

設(shè)(X,d)是乘積度量空間.映射f:X→X稱為乘積壓縮映射[5]是指存在λ∈[0,1), 使得

d(fx,fy)≤[d(x,y)]λ, ?x,y∈X.

(1)

文獻(xiàn)[5]給出了如下形式的乘積度量空間上Banach型不動點定理:

定理1[5]完備的乘積度量空間(X,d)上的任何乘積壓縮映射f必有唯一不動點.

文獻(xiàn)[6]通過引進(jìn)一個如下的三元實函數(shù)類, 得到了一個唯一不動點定理.

σ∈Σ當(dāng)且僅當(dāng)σ: [1,∞)3→[0,∞)滿足下列條件：

(i)σσ關(guān)于每個變量連續(xù);

(ii)σ存在k∈[0,1), 使得當(dāng)x,y∈[1,∞)且滿足x≤σ(y,y,x)或x≤σ(y,x,y)或x≤σ(x,y,y)時,x≤yk成立.

定理2[6]設(shè)(X,d)是完備的乘積度量空間, 且f:X→X為映射.如果對任何x,y∈X, 均有

d(fx,fy)≤σ(d(x,y),d(x,fx),d(y,fy)),

(2)

則f在X中存在唯一不動點, 其中σ∈Σ.

文獻(xiàn)[6]對定理2的證明首先任意給定x0∈X, 其次構(gòu)造一個序列{xn}使其滿足xn+1=fxn, 然后證明該序列滿足乘積Cauchy準(zhǔn)則, 并證明{xn}是乘積Cauchy序列, 最后證明該序列的極限正是f的唯一不動點.證明過程中最關(guān)鍵的一步是說明{xn}是乘積Cauchy序列.

本文通過引進(jìn)四元函數(shù)類, 并在乘積度量空間上建立隱式壓縮條件, 給出一個不動點定理.本文主要結(jié)果證明中所涉及的序列{xn}未必滿足乘積Cauchy準(zhǔn)則, 因此需采用另一種方法證明{xn}是乘積Cauchy序列, 從而說明唯一不動點的存在性.因此本文的結(jié)果推廣并改進(jìn)了文獻(xiàn)[6]及其相關(guān)結(jié)果.

定義1[2]設(shè)X是非空集合, 映射d:X×X→[0,∞)稱為X上的乘積度量是指d滿足:

1) 對任何x,y∈X,d(x,y)≥1且d(x,y)=1?x=y;

2) 對任何x,y∈X,d(x,y)=d(y,x);

3) 對任何x,y,z∈X,d(x,z)≤d(x,y)d(y,z)(乘積三角不等式).

此時稱(X,d)為乘積度量空間.

關(guān)于乘積度量空間的實例可參見文獻(xiàn)[5,7-11].

例1[7,9]設(shè)X=, 定義d(x,y)=e|x-y|(?x,y∈X), 則(,d)是乘積度量空間.

定義2[2]設(shè)(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中序列且x∈X.若對任何積性開球Bε(x)={y∈X|d(x,y)<ε},ε>1, 均存在自然數(shù)N, 使得當(dāng)n>N時,xn∈Bε(x)成立, 則稱序列{xn}乘積收斂于x, 記為xn→x(n→∞).

引理1[5]設(shè)(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中序列且x∈X, 則

xn→x(n→∞)?d(xn,x)→1(n→∞).

定義3[5]設(shè)(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中序列.若對任何ε>1, 均存在自然數(shù)N, 使得當(dāng)n,m>N時,d(xn,xm)<ε成立, 則稱序列 {xn}為乘積Cauchy序列.

引理2[5]設(shè)(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中序列, 則{xn}是乘積Cauchy序列當(dāng)且僅當(dāng)d(xm,xn)→1(m,n→∞).

定義4[5]如果乘積度量空間(X,d)中的每個乘積Cauchy序列都是乘積收斂的, 則稱(X,d)是完備的.

引理3[5]設(shè)(X,d)是乘積度量空間, {xn}和{yn}是X中的兩個序列且x,y∈X, 則

xn→x,yn→y(n→∞)?d(xn,yn)→d(x,y)(n→∞).

下面引進(jìn)一個函數(shù)類.

定義5G∈G ?G: [1,∞)4→[0, ∞)滿足下列條件：

(i)GG關(guān)于每個變元是連續(xù)的;

(ii)G對任何x,y∈[1,∞), 當(dāng)x≠y且G(x,y,y,x)≤1或G(x,x,y,y)≤1時,x

(iii)Gx>1當(dāng)且僅當(dāng)G(x,x,x,x)>1.

注1定義5中未要求存在常數(shù)k∈[0,1), 使得在滿足某種條件下x≤yk成立, 因此在一般情況下無法推出乘積Cauchy準(zhǔn)則.

G(x,x,x,x)=xσ-α-β-γ>1?x>1,

于是(iii)G也成立.

定理3設(shè)(X,d)是完備的乘積度量空間且f:X→X為映射.如果存在G∈G, 使得對任何x,y∈X, 均有

G(d(fx,fy),d(x,y),d(x,fx),d(y,fy))≤1,

(3)

則f在X中存在唯一不動點.

證明: 任取x0∈X, 根據(jù)xn+1=fxn(n=0,1,2,…)構(gòu)造一個序列{xn}.如果存在某一非負(fù)整數(shù)N, 使得d(xN,xN+1)=1, 則xN=fxN, 因此xN是f的一個不動點.于是假設(shè)對任何n=0,1,2,…,d(xn,xn+1)>1.

對任何n=1,2,…, 根據(jù)式(3)得

G(d(fxn-1,fxn),d(xn-1,xn),d(xn-1,fxn-1),d(xn,fxn))≤1,

整理得

G(d(xn,xn+1),d(xn-1,xn),d(xn-1,xn),d(xn,xn+1))≤1.

(4)

如果存在N, 使得d(xN-1,xN)=d(xN,xN+1), 則由(iii)G得

G(d(xN,xN+1),d(xN-1,xN),d(xN-1,xN),d(xN,xN+1))>1,

與式(4)矛盾, 于是對任何n, 均有d(xn-1,xn)≠d(xn,xn+1).根據(jù)(ii)G, 由式(4)得

d(xn,xn+1)

(5)

在式(4)兩邊取n→∞, 根據(jù)(i)G得

G(u,u,u,u)≤1,

于是由(iii)G得u=1, 即

假設(shè){xn}不是乘積Cauchy序列, 則存在實數(shù)ε>1, 使得對任何自然數(shù)k, 均存在兩個自然數(shù)m(k)和n(k), 使得m(k)>n(k), 且滿足

d(xm(k),xn(k))>ε,d(xm(k)-1,xn(k))≤ε.

(6)

由式(6)和定義1中3)可得

ε≤d(xm(k),xn(k))≤d(xm(k),xm(k)-1)d(xm(k)-1,xn(k))≤d(xm(k),xm(k)-1)ε.

(7)

對式(7)兩邊取k→∞并利用u=1可得

(8)

再根據(jù)定義1中3)得

(9)

(10)

在式(9)和式(10)兩邊取k→∞, 并根據(jù)u=1和式(8)可得

(11)

類似地, 根據(jù)u=1和式(11), 由

得

(12)

對任何k, 根據(jù)式(3)得

G(d(fxm(k),fxn(k)),d(xm(k),xn(k)),d(xm(k),fxm(k)),d(xn(k),fxn(k)))≤1,

整理得

G(d(xm(k)+1,xn(k)+1),d(xm(k),xn(k)),d(xm(k),xm(k)+1),d(xn(k),xn(k)+1))≤1.

(13)

對式(13)兩邊取k→∞并結(jié)合(8),(12)及u=1和(i)G可得

G(ε,ε,1,1)≤1.

于是由(ii)G得ε=1, 與ε>1矛盾.因此{(lán)xn}是乘積Cauchy序列.根據(jù)(X,d)的完備性知, 存在x*∈X, 使得d(xn,x*)→1(n→∞).

對任何n, 根據(jù)式(3)得

G(d(fxn,fx*),d(xn,x*),d(xn,fxn),d(x*,fx*))≤1,

(14)

整理式(14)并對其兩邊取n→∞, 根據(jù)(i)G及引理3可得

G(d(x*,fx*),1,1,d(x*,fx*))≤1.

如果d(x*,fx*)>1, 則d(x*,fx*)≠1且根據(jù)(ii)G得到d(x*,fx*)<1, 矛盾, 于是必有d(x*,fx*)=1, 從而fx*=x*, 即x*是f的一個不動點.如果y*也是f的不動點, 則根據(jù)式(3)得

G(d(x*,y*),d(x*,y*),1,1)=G(d(fx*,fy*),d(x*,y*),d(x*,fx*),d(y*,fy*))≤1,

于是必有d(x*,y*)=1, 即x*=y*, 因此f有唯一不動點x*.

根據(jù)定理3和例3可得如下結(jié)果.

定理4設(shè)(X,d)是完備的乘積度量空間, 且f:X→X為映射.如果對任何x,y∈X, 均有

[d(fx,fy)]σ≤[max{d(x,y),d(x,fx),d(y,fy)}]k,

則f在X中存在唯一不動點, 其中σ>k.

注2如果在定理4中取σ>k>0, 則定理4即為文獻(xiàn)[6]中的定理4; 如果k<σ<0, 則定理4變?yōu)榕蛎浶陀成涞腃iric型不動點定理; 如果k=0, 則對任何x,y∈X,d(fx,fy)=1, 即fx=fy, 因此f是一個常值x0∈X的映射, 于是x0即為f的唯一不動點.

根據(jù)定理3和例4可得如下形式的不動點定理.

定理5設(shè)(X,d)是完備的乘積度量空間, 且f:X→X為映射.如果對任何x,y∈X, 均有

d(fx,fy)[1+max{d(x,y),d(y,fy)}d(x,fx)]≤1+d(x,y)d(x,fx)d(y,fy),

(15)

則f在X中有唯一不動點.

例5設(shè)X={0,2,5}, 考慮d(x,y)=e|x-y|(?x,y∈X), 則由例1知(X,d)是完備的乘積度量空間.定義f:X→X為f0=f2=0,f5=2(下面將式(15)不等號左邊用Δ表示, 右邊用表示).

當(dāng)x,y∈{0,2}及x=y=5時,d(fx,fy)=1, 于是

Δ=[1+max{d(x,y),d(y,fy)}d(x,fx)]≤1+d(x,y)d(x,fx)d(y,fy)=;

當(dāng)x=0,y=5時,

當(dāng)x=2,y=5時,

于是(X,d),f滿足定理5的所有條件, 因此f有唯一不動點0.