計及FACTS校正的N-k故障約束魯棒機組組合

石志偉

(山東理工大學計算機科學與技術學院，山東 淄博255000)

0 引言

考慮預想故障的調度方法是保障電力系統安全運行的重要調度方法[1]。該調度方法在經濟調度時考慮了電力系統可能出現的運行故障，能夠保障電力系統在預想故障下的安全運行。傳統的N-1預想線路故障集合，能夠保證系統在任意一條線路斷線的情況下安全運行[2]。由于輸電線路直接暴露在天氣中，容易受到惡劣環境的影響，其故障概率較高，此外，隨著電力系統規模的不斷擴大，很有可能存在多條線路同時發生故障的情況[3]。因此系統的運行需要從傳統的N-1線路預想故障演化為N-k線路預想故障集。因此，本文將針對輸電線路的N-k故障展開研究。

如果將所有的N-k故障作為預想故障集考慮，那么模型規模將遠超N-1故障的調度方法，難以求解。因此縮小N-k故障集合的規模成為研究重點。文獻[4]引入效用理論來獲取并縮小N-k故障集合。文獻[5]提出基于影響增量的N-k故障分析法，能夠篩選出電網的高影響N-k故障狀態。在縮小N-k計算規模的同時，為保證電網在所有N-k故障下均能安全運行，部分文獻采用了魯棒優化[6-9]。文獻[6]基于兩階段魯棒，提出了考慮N-k故障的魯棒機組組合模型。該模型在第一階段(日前)制定機組啟停計劃，機組出力則在第二階段(次日日內)制定，并保證得到的機組啟停計劃能夠應對所有的N-k預想故障。文獻[7]提出了考慮輸電線路結構優化的N-k故障魯棒機組組合，并指出在日前優化輸電結構能有效緩解次日N-k故障下的系統切負荷。文獻[8]提出了氣電聯合系統的N-k故障約束機組組合模型。文獻[9]考慮N-k預想故障集的電力系統規劃方法。具有min max-min形式的兩階段魯棒優化能快速有效尋找最嚴重的N-k故障，并保證系統的調度方案在所有N-k故障下均可行[10]。

FACTS設備能夠調節線路參數，從而控制故障后的潮流，在保證系統安全運行的同時提升系統運行經濟性。目前考慮FACTS的運行優化領域已有較多研究成果。文獻[11]指出FACTS能緩解N-1故障下的線路過載。文獻[12-13]提出考慮FACTS的最優潮流，并采用遺傳算法等方法求解該模型。文獻[14-15]提出考慮FACTS的安全約束最優潮流。然而上述文獻均采用智能算法進行求解，其結果最優性無法保證。文獻[16-18]提出了混合整數線性規劃(mixed integer linear programming，MILP)形式的含FACTS設備的直流最優潮流。該模型引入0-1整數變量與大M法表征裝有FACTS線路的潮流方向。通過求解該MILP模型，其結果的最優性能有效得到保證。雖然目前關于考慮FACTS的電力系統調度方法已有了很多研究成果，但尚無文獻考慮其在N-k故障約束調度方法中的應用。

基于上述分析，本文提出了考慮FACTS校正控制的N-k故障約束魯棒機組組合，以保證電力系統在N-k故障下安全運行同時提升其運行經濟性。該方法在魯棒優化的第一階段(日前)制定機組啟停計劃，在第二階段(日內)制定FACTS與機組出力計劃。FACTS設備在不同故障場景下出力不同。本文提出基于嵌套式列生成(nested column-and-constraint generation，Nested C&CG)的雙層分解算法以求解此兩階段魯棒問題，其中上層算法將原問題分解為機組計劃制定主問題與最嚴重場景運行子問題，下層算法用于求解子問題，以尋找最嚴重場景。

1 模型描述

1.1 FACTS等效模型與所提調度方法

圖1給出了考慮FACTS后線路的示意圖。與文獻[16-18]一樣，本文的FACTS設備僅指UPFC與TCSC。該類型FACTS裝置可通過改變串接在輸電線路中的電容器組或直接改變線路潮流，來提高線路輸送能力。本文將FACTS裝置的調節作用均等效為對線路參數的改變，FACTS作為可變電抗加入到線路中。在考慮FACTS后，線路的電抗可視為變量。

圖1 考慮FACTS設備的等效電路圖

圖2給出了本文的調度方法。機組啟停計劃是在日前就已經制定，在次日不可更改。啟停計劃魯棒性必須保證，該計劃要能夠應對所有可能出現的N-k預想故障。在次日日內調度中，每個預想故障會有對應的機組與FACTS出力。不同的預想故障下機組出力與FACTS出力是不同的。

圖2 所提調度方法

1.2 具體模型

為方便討論分析，本文僅考慮線路的N-k預想故障。線路發生N-k故障時，會影響其他線路的潮流分布，可能會導致部分線路潮流出現越限。采用0-1整數變量Jl,t描述線路的狀態，1表示線路處于正常運行狀態，0表示線路處于故障狀態，系統的N-k不確定性集合Φ可用式(1)描述[19]。

(1)

式中：R為輸電線路狀態集合；l為所有線路集合；Γt為魯棒調節系數，表示在t時刻系統最多停運線路的數量，該系數取值與k相同。Jl,t≥Jl,t+1限制線路的狀態。如果在t時刻線路停運，那么假設在接下來的調度時段，線路狀態都處于停運狀態。

本文選取文獻[6-7]所提的N-k魯棒機組組合框架。模型的目標函數包括機組的啟停費用，機組最小運行費用與系統在最嚴重場景下的運行費用，如式(2)所示。本文關注在FACTS已經規劃的情況下，如何充分利用FACTS設備的靈活性以在保證電力系統在N-k故障下的安全經濟運行。如果研究FACTS設備的規劃，那么在目標函數中需要考慮FACTS設備的投入成本。通常而言，機組總運行成本包括機組運行費用(消耗燃料的費用)與機組啟動與停機成本。由于本文對機組運行費用進行了分段線性化處理，因此機組運行費用被分為了兩個部分[6-7]：最小運行費用與增量運行費用。最小運行費用是指考慮機組最小出力約束下，啟動機組運行在最小出力值的運行成本(消耗燃料的費用)。增量運行費用則是指當機組出力高于其最小出力的時候，增加的出力消耗的燃料費用。

(2)

(3)

式中：PGi,t,p為t時刻第i個機組的第p分段的有功出力；ci,p為第i個機組在第p分段的燃料系數；η為切負荷懲罰系數；Dj,t為負荷節點j在t時刻的切負荷值。

1.2.1 機組組合約束

1)機組啟停費用

(4)

式中：CUi和CDi為機組開、停機費用；ui,t和vi,t為表征機組啟動和關閉的0-1整數變量，需要滿足：

(5)

ui,t+vi,t≤1 ?i,?t

(6)

2)最小啟停時間約束。

(7)

?t∈[Loni+1,T-Toni+1]

(8)

?t∈[T-Toni+2,T]

(9)

(10)

?t∈[Loffi+1,T-Toffi+1]

(11)

?t∈[T-Toffi+2,T]

(12)

式中：Ii,w機組i在w時刻的運行狀態；w為當前運行時刻；T為總調度時間；Toni和Toffi分別為最小的連續開機、停機時間；Loni和Loffi分別為最初所需持續開機時段和停機時段時間，滿足Loni=min{T,[Toni-Toni,0]Ii,0}，其中Toni,0為機組初始時刻的開機時間，Ii,0為機組i的初始運行狀態，Loffi=min{[Toffi-Toffi,0][1-Ii,0]}，其中Toffi,0為機組初始時刻的關機時間。

1.2.2 系統運行約束

1)基爾霍夫第一定律

(13)

式中：下標b為節點參數，表征節點b；Kb,l、Gb,i、Cb,j為對應的參數；Fl,t為線路l在t時刻的潮流大??；PBj,t為負荷節點j在t時刻的負荷值；PGi,t為機組i在t時刻的有功功率出力。

2)機組出力約束

(14)

(15)

式中：Pmini為機組i的最小有功功率出力值；Pmaxi,p為機組i第p分段的最大有功功率出力。

機組爬坡約束：

(16)

式中：Rupi和Rdni分別為第i臺機組每小時上/下爬坡的最大值；Supi和Sdni分別為第i臺機組開機/停機時的爬坡約束。

3)線路容量約束

-Jl,tFmaxl≤Fl,t≤Jl,tFmaxl?l,?t

(17)

式中：Fl,t為線路l在t時刻的潮流值；Fmaxl為線路l的潮流正常容許最大值。

對于未安裝FACTS設備的線路，其潮流與節點相角的關系為：

|FL,t-(θsL,t-θeL,t)/xL|≤M1(1-JL,t)?L,?t

(18)

式中：FL,t為未安裝FACTS線路L在t時刻的潮流值；θsL,t和θeL,t為未安裝FACTS線路L的開始與結束節點在t時刻的相角值；下標sL和eL為線路L的首端與尾端節點；M1為一個極大的正數。

對于安裝FACTS設備的線路，由于其電抗變成變量，其潮流與節點相角的關系為非線性約束。采用文獻[16-18]所提的大M法將其轉換為線性約束，該約束可寫為：

(19)

(20)

2 求解方法

基于上述分析，本節提出基于Nested C&CG[20]的雙層分解循環算法以求解該問題。其中上層算法將原問題分解為機組啟停主問題與最嚴重場景運行子問題，下層算法通過迭代求解該max-min子問題，以尋找最嚴重場景。

先將原問題寫成式(21)所示簡寫形式。

(21)

式中：N為第一階段決定的0-1整數變量，包括機組狀態變量I與機組啟停變量u、v；P、J、h為第二階段決定的連續變量；Y為第二階段決定的0-1整數變量，包括線路潮流的方向y為階中的連續變量；g(J)為隨機場景；AT、BT、C、D、Q、H均為常系數矩陣。式(21)中第一類約束代表原問題中的約束式(4)—(12)；第二類約束代表原問題中的約束(13)—(20)。

2.1 上層循環

上層循環將原兩階段問題分解為主問題與子問題。主問題用于獲取機組啟停計劃，需要加入子問題產生的最嚴重場景。其步驟如下。

1)設置主問題上界Uout=+∞，主問題下界Lout=-∞，初始迭代m=0，求解主問題式(22)(定義為MP)，得到N的值N*，更新下界Lout=η。

s.t.C·N≤h

η≥0,N∈{0,1}

(22)

式中：η為引入的變量，是對子問題目標函數的估計，同時也是子問題目標函數的下界；

2)令m=m+1。將N*帶入子問題中，調用下層循環算法求解子問題，獲取第m次迭代時的最嚴重場景gm(J*)，并更新上界Uout。

3)如果上下界差值不滿足判據式(23)，向主問題加入對應的約束式(24)；如果滿足判據式(23)，那么終止循環，輸出機組啟停方案。

|Uout-Lout|≤ε

(23)

(24)

式中：ε為一個很小的正數；Pm、Ym分別為在第m次迭代中加入的連續變量。

2.2 下層循環

下層循環是負責迭代求解子問題，以獲得最嚴重的場景，從而返回至主問題。子問題模型如下：

s.t.D·N*+Q·Y+H·P≤g(J)

P≥0,Y∈{0,1}

(25)

由于式(25)中的min問題中含有0-1整數變量Y，因此該問題不能采用強對偶理論轉對偶。如果將該整數變量賦予一個初值，那么該問題就是一個線性優化問題，可以用強對偶理論轉對偶求解。具體求解步驟如下。

1)設定優化問題式(25)的上下界分別為Uin=+∞，Lin=-∞。設定初始迭代系數h=1；賦予0-1變量Y一個初值Yh*。采用強對偶理論將其轉換單層問題，并調用列生成算法，可得上界子問題式(26)(定義為UBSP)。該問題的最優解是式(25)的上界。求解式(26)，更新上界Uin=τ，并得到場景gm(J*)。

s.t.τ≤(g(J)-D·N*-Q·Yh*)Tλh

HT·λh=B,τ≥0

(26)

式中：τ為對目標函數式(26)的預估值；Yh*為第h次迭代時整數變量Yh的初值；λh為第h次迭代時建立的對偶變量。

2)將得到的場景g(J*)帶入到下界子問題式(26)(定義為LBSP)中，檢驗該場景是否為最嚴重場景，求解LBSP，更新下界Lin=max{Lin,BTP*}。

s.t.D·N*+Q·Y+H·P≤g(J*)

P≥0,Y∈{0,1}

(27)

3)如果上下界差值不滿足判據式(28)，那么該場景不是最嚴重場景。令h=h+1；將LBSP得到的整數變量值Yh*帶入式(29)，并將式(29)加入到UBSP中；創造新的變量λh，重新開始下層循環的步驟1)。如果滿足判據，那么說明g(J*)是最嚴重場景。終止循環，將得到的該場景返回到MP中，并令Uout=Uin。

|Uin-Lin|≤ε

(28)

(29)

式(29)含有雙線性變量g(J)λh，難以直接求解；由于本文的不確定場景集為線路故障，不確定變量為J，因此該模型中的雙線性變量實質上是Jλh，是0-1整數變量與連續變量相乘，因此可引入大M法[20]寫成混合整數線性形式，如式(30)所示。

(30)

式中：φ為引入的中間變量；M2為一個極大的正數。

2.3 求解步驟

綜上所述，本文所提模型的求解算法流程圖如圖3所示。

圖3 求解算法流程圖

3 算例

節將所提模型與算法測試于6節點系統與修正的IEEE RTS-79系統。定義不考慮FACTS與N-k故障的機組組合為UC。定義考慮FACTS，但不考慮N-k故障的機組組合為UC-F。定義不考慮FACTS，考慮N-k故障的機組組合為CUC。所提模型為CUC-F。

3.1 6節點算例

本節將所提模型測試于6節點系統，該系統包括6個節點，3臺機組，11條線路。本文采用文獻[21]提出的方法確定FACTS安裝線路，分別安裝于線路2、5、6、7。FACTS的容量為30%，即該線路的電抗可以在原有電抗基礎值的70%～130%變化，其拓撲結構可如圖4所示。由于6節點是一個較小的系統，僅用來闡述所提模型的有效性，因此該算例中的N-k準則取N-1。

圖4 6節點系統拓撲圖

表1給出了不同調度方法下的系統運行費用。由表1可知，UC-F的費用比UC低。這是因為FACTS設備能夠更改線路參數，改善系統的潮流分布，從而降低了調度費用。由于UC與UC-F均未考慮N-k預想故障，雖然其費用較低，但是在故障發生后可能會出現潮流越限等后果，給系統運行帶來風險。CUC考慮了N-k預想故障，該調度方法具有較好的魯棒性，能夠保證系統故障后安全運行。但是該調度方法在故障后出現了切負荷，因此其總費用最高。由于FACTS設備能夠在故障發生后改善潮流分布，CUC-F的費用低于CUC。同樣，該方法考慮了N-k預想故障，所以機組啟停計劃的魯棒性得到了保障。CUC-F能夠在保證系統調度方案魯棒性的同時，降低系統的運行費用。

表1 不同算例下的費用分配

表2給出了第10 h下不同模型下的線路2潮流值。假設線路容量值為1 p.u.。假設線路1發生故障。由于UC-F和UC未考慮N-k預想故障，因此在線路1發生故障之后，該線路潮流越限，從而威脅了電力系統的安全運行。CUC和CUC-F均考慮了預想故障，因此它們故障后的潮流均未發生越限，系統的安全運行得到了保證。由于CUC-F中考慮了FACTS設備，系統在N-k故障下的校正能力得到了加強。因此CUC-F在故障前能允許線路以更高的潮流值運行，從而提升了系統的經濟性。

表2 不同模型下線路2的潮流值

表3給出了第10 h下，所提CUC-F模型在不同N-k故障下的各個FACTS設備的出力值。由于篇幅原因，表3僅對6條線路故障進行分析。如果線路2發生故障，線路2上的FACTS設備不再調節線路電抗。線路5、6、7線路的電抗分別變為其基準值的119.8%(100%+19.8%)、70%(1-30%)、70%?？梢钥吹剑煌念A想故障下，大部分FACTS設備的出力值也會變化以緩解線路的潮流越限。

表3 CUC-F中不同N-1故障下FACTS的出力

3.2 修正的IEEE RTS-79節點系統

本節將所提模型測試于IEEE RTS-79節點系統，該系統包括24個節點，33臺機組，38條線路。為了避免N-k預想故障造成大量的節點孤島，算例將原系統中的輸電線路都進行雙倍處理，即系統的線路變更為76條。該算例中的N-k準則取N-2，拓撲結構可如圖5所示。本節設計了下述3個算例。

圖5 RTS- 79節點系統拓撲圖

算例Ⅰ：系統安裝4個FACTS設備，分別位于線路5、6、24、39。

算例Ⅱ：系統安裝7個FACTS設備，分別位于線路5、7、24、29、39、62、65。

算例Ⅲ：系統安裝10個FACTS設備，分別位于線路1、5、6、24、27、39、44、62、65、67。

4 算例分析

表4給出了所有算例中CUC與CUC-F的啟動機組數量。假設FACTS設備的容量均為0.7。因為CUC中不考慮FACTS設備，因此算例I、Ⅱ、Ⅲ中的機組組合情況是相同的。由表4可知，在引入了FACTS設備后，系統的靈活性與故障的校正能力得到了提升，系統不再需要啟動額外的機組以保證系統在故障下的安全運行，因此CUC-F在4 h、5 h等時刻的啟動機組數少于CUC。同理，隨著FACTS設備數量的上升，系統的靈活性得到加強，因此算例Ⅲ在4 h、5 h等時刻的啟動機組數小于算例 I與算例 Ⅱ。

表4 不同算例下的每小時機組啟動數量

圖6給出了不同算例下系統的總費用隨著FACTS容量的變化。由圖6可知，系統的總費用隨著FACTS的容量增大而降低。當FACTS安裝數量與算例Ⅰ一致時，由于此時FACTS安裝數量較少，FACTS容量的上升對系統的靈活性提升有限，即使FACTS容量上升至0.9 p.u.，其運行費用仍然較高。當FACTS安裝位置與算例Ⅱ、Ⅲ一致時，系統的運行費用隨著FACTS容量的上升顯著下降。當FACTS安裝位置與算例Ⅲ一致，容量為0.9 p.u.時，系統的總費用降低了12%。

圖6 系統運行費用隨FACTS容量的變化曲線

表5給出了不同N-k準則下CUC-F調度方法的運行費用。其中FACTS安裝位置與算例Ⅲ一致，FACTS容量為0.7 p.u.。由表5可知，隨著k的值上升，系統的運行費用與最大啟動機組數量也隨之增加。系統需要啟動額外的機組以保證系統的安全運行。由于RTS-79系統本身安全性較高，因此在N-1時并未出現切負荷。當k>1時，系統需要在N-k故障下切除負荷以保證系統安全。

表5 不同N-k準則下的調度費用

5 結語

本文提出了計及FACTS校正控制的N-k故障約束魯棒機組組合模型。FACTS設備用于緩解線路故障后的潮流越限。本文進一步提出了基于Nested C&CG的分解算法求解所提的魯棒機組組合模型。將所提模型與算法測試于6節點系統與IEEE RTS-79系統。結果表明FACTS的引入能有效提升電力系統靈活性，能夠保證系統在N-k預想故障下安全，并提升其經濟性。所提算法能夠將原3層優化問題分解為主子單層問題求解，并且能有效尋找到最嚴重場景，從而保證調度方案的魯棒性。