函數的“前世今生”

唐崇明

早在古希臘時期，人們就在運動的過程中種下了函數的種子，但這顆偉大的數學種子一直沒有生根發芽，直到14世紀才稍有起色，而對這顆種子澆水施肥的人就是法國數學家奧雷斯姆。他在研究一個勻速減到零的速度問題時，想要把速度用圖像表示出來。于是，他就用一條水平線上的點來表示時間，稱為“經度”;用豎直線上的點來表示速度，稱為“緯度”。大家對“經度”和“緯度”是不是感覺很熟悉？這就是我們已經學過的直角坐標系的原型。在研究過程中，奧雷斯姆畫了一條線段來描述速度逐漸減小到零的運動，于是，在函數這個精確的概念還沒出現時，圖像就深深地融入函數的血液里。大家對這樣的圖像是不是也感到很熟悉？這樣的圖像其實就是我們所學習的一次函數的圖像。

15世紀，哥倫布發現新大陸，開啟了大航海時代。船長們在茫茫大海上航行時，經常遇到一個令人頭疼的問題：該如何確定船在大海上的位置呢？數學家們開始了對運動以及事物變化的研究。笛卡爾在針對這類問題的研究中提出了一個對函數發展至關重要的詞——“變量”。例如，在航行過程中把時間稱為自變量，船航行的路程因為時間的變化而變化，所以稱為因變量。之后，萊布尼茨創造出了“函數”這個詞，并把函數表示為由變量和常數共同組成的樣式，但此時的函數定義與我們學習的函數定義似乎還是不一樣。

在萊布尼茨創造出“函數”這個詞后，函數的定義在數學史上還經歷了5次擴張。

第一次擴張發生在1718年，約翰·伯努利在萊布尼茨的基礎上對函數進行了定義：由一個變量x與常數構成的任意表達式，稱為x的函數。后來，數學家歐拉把函數定義為：變量的函數是一個解析表達式，它是由這個變量和一些變量以任何方式組成的。這就是函數的第二次擴張。但歐拉的定義仍然沒有脫離表達式對函數的限制，例如，隨著時間的變化，潮水的水位也在不斷變化，此時，無法用具體的表達式來表示。到了1821年，柯西把函數定義為：在某些變數間存在著一定的關系，當給定其中某一變數的值，其他變數的值隨之確定時，則將最初的變數叫作自變量，其他各變數叫作函數。在他的定義中，首先出現了自變量一詞，同時指出對函數來說不一定要有表達式。我們發現，柯西的研究削弱了表達式的地位而加強了變化的重要性。直至1837年，狄利克雷突破了函數表達式對函數定義的局限性，他認為：對于在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那么y叫作x的函數。這就是人們常說的經典函數定義。同學們學習的定義就來自狄利克雷的貢獻。現在肯定有同學要問：“那函數的第五次擴張又產生了哪些變化呢？”這個問題我們將在高中階段學習函數的“集合定義”時解答。

在函數的發展過程中，不僅有外國人的身影，我國數學家也有著巨大貢獻。李國平是我國著名數學家、物理學家、文學家，他和華羅庚、蘇步青并稱為中國數學界“三大巨擘”。李國平出國留學后在法國龐加萊研究所工作，但是他時刻沒有忘記自己的祖國。1939年，在國家危難之際，他毅然歸國，在四川大學數學系任教。李國平以“函數論”為研究方向，陸續在半純函數唯一性問題、有理函數表寫問題、整函數理論應用、解析函數逼近等研究方向獲得多項重要成果，為函數的發展貢獻了中國的一份力量。

（作者單位：江蘇省建湖縣秀夫初級中學）