考慮混合不確定性的復(fù)合層合板基頻優(yōu)化設(shè)計(jì)

(浙江工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310023)

復(fù)合材料層合板具有比重小、比強(qiáng)度和比模量大等特點(diǎn)，在航空航天、汽車工業(yè)、機(jī)械裝備和建筑等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-5]。由于加工制造誤差、測(cè)量數(shù)據(jù)不準(zhǔn)和工況環(huán)境變化等因素的影響，層合板中存在大量的結(jié)構(gòu)、材料等不確定性因素，通過(guò)尺度不確定性的非線性疊加傳播，對(duì)固有頻率不確定性產(chǎn)生重要影響。明確這些不確定因素對(duì)固有頻率的影響規(guī)律，對(duì)減少層合板共振及變形具有重要的現(xiàn)實(shí)及工程意義。針對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)層合板中材料與結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的表征問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了一系列概率化或者區(qū)間不確定性表征模型與方法：Giunta等[6]通過(guò)概率化不確定性傳播分析，實(shí)現(xiàn)了考慮材料性質(zhì)和幾何參數(shù)的不確定性，層合板基頻的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、置信區(qū)間和累積分布函數(shù)隨機(jī)的定量化度量；Dey等[7]采用模糊法進(jìn)行了層合板固有頻率、頻率響應(yīng)函數(shù)和振型的不確定性傳播分析；陳亮等[8]提出了新的區(qū)間不確定性分析方法，進(jìn)行了固有頻率的區(qū)間不確定性傳播計(jì)算。針對(duì)隨機(jī)變量和區(qū)間變量同時(shí)存在的情況，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了一系列考慮混合不確定性的復(fù)合材料層合板的性能分析計(jì)算方法：魏俊紅等[9]進(jìn)行了隨機(jī)變量和區(qū)間變量混合下的復(fù)合材料可靠性設(shè)計(jì)；Peng等[10]提出了一種復(fù)合材料層合板的多尺度不確定度量化框架，實(shí)現(xiàn)了復(fù)合材料多尺度屈曲強(qiáng)度、固有頻率和可靠度的計(jì)算。在結(jié)構(gòu)和材料不確定性精確表征基礎(chǔ)上，研究人員提出了許多優(yōu)化算法進(jìn)行復(fù)合材料層合板的優(yōu)化設(shè)計(jì)：Bloomfield等[11]提出了一種考慮強(qiáng)度和屈曲約束的各向異性復(fù)合材料層合板的優(yōu)化方法，對(duì)層合板的鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)；Xu等[12]提出了一種多纖維增強(qiáng)復(fù)合結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法，改善了復(fù)合結(jié)構(gòu)的性能穩(wěn)定性；Chen等[13]提出了一種基于可靠度的復(fù)合材料層合板的雙層優(yōu)化方法，在輕量化設(shè)計(jì)的同時(shí)提高了復(fù)合結(jié)構(gòu)的可靠性；彭文輝等[14]以復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)穩(wěn)定性為優(yōu)化目標(biāo)，采用遺傳算法實(shí)現(xiàn)了層合板的鋪層順序優(yōu)化。

傳統(tǒng)的使用復(fù)合結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法進(jìn)行鋪層厚度和鋪層順序的同步優(yōu)化，由于鋪層厚度的變化會(huì)導(dǎo)致鋪層角度的整體變化，該優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)變量非連續(xù)、優(yōu)化參數(shù)可變的非線性優(yōu)化問(wèn)題，耦合了各類不確定性因素，計(jì)算困難、難以收斂。針對(duì)上述問(wèn)題，筆者提出了一種考慮結(jié)構(gòu)與材料參數(shù)混合不確定性的復(fù)合材料層合板基頻優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，將隨機(jī)和區(qū)間混合不確定因素考慮到雙層優(yōu)化設(shè)計(jì)模型中，對(duì)鋪層厚度和鋪層順序進(jìn)行分步優(yōu)化，在保證計(jì)算精度的同時(shí)提高了計(jì)算效率。

1 優(yōu)化問(wèn)題描述

1.1 結(jié)構(gòu)與材料參數(shù)不確定性描述

長(zhǎng)為a，寬為b，總厚度為h的對(duì)稱層合板示意圖如圖1所示。雖然理論上纖維取向可以是任意角度，但在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于制造的限制，纖維取向只能取幾個(gè)離散值，常用的鋪設(shè)角度分別為0°，±15°，±30°，±45°，±60°，±75°，90°。

圖1 層合板幾何示意圖Fig.1 Schematic diagram of laminate geometry

根據(jù)文獻(xiàn)[15]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，兩個(gè)不同方向上的彈性模量E1和E2、剪切模量G12為正態(tài)隨機(jī)變量，而泊松比υ12為區(qū)間變量，如表1所示。

表1 彈性混合變量的不確定性信息

復(fù)合材料層合板在每個(gè)迭代階段的區(qū)間優(yōu)化可以分解為不同區(qū)間數(shù)之間的不確定傳播分析和區(qū)間比較。不確定傳播分析使用改進(jìn)的子區(qū)間分析法實(shí)現(xiàn)，而區(qū)間比較采用文獻(xiàn)[16]提出的改進(jìn)區(qū)間數(shù)排序方法，假設(shè)有兩個(gè)不同的固有頻率區(qū)間值為aI和bI，則兩個(gè)固有頻率區(qū)間比較值表示為

(1)

式中：P1，P2，P3分別代表3 種不同的區(qū)間數(shù)排序位置得到的數(shù)值。

復(fù)合材料層合板一階固有頻率是由材料性能的不確定性引起的區(qū)間數(shù)，將分析得到的一階固有頻率與給定的固有頻率進(jìn)行比較，然后在滿足頻率要求的情況下，對(duì)鋪層厚度和鋪層順序進(jìn)行兩級(jí)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1.2 兩級(jí)優(yōu)化模型構(gòu)建

1.2.1 第1級(jí)優(yōu)化模型

在對(duì)復(fù)合材料層合板進(jìn)行第1級(jí)優(yōu)化過(guò)程中，采用文獻(xiàn)[13]提到的輔助層合板(超級(jí)層)取代真正的目標(biāo)層合板。簡(jiǎn)單地說(shuō)，復(fù)合材料層合板的設(shè)計(jì)變量會(huì)隨著超層厚度的變化而變化。在實(shí)際工程應(yīng)用中，為了保證復(fù)合材料層合板的對(duì)稱性和平衡性，15°對(duì)應(yīng)的厚度t2應(yīng)該與-15°對(duì)應(yīng)的厚度t3相等，30°對(duì)應(yīng)的厚度t4應(yīng)該與-30°對(duì)應(yīng)的厚度t5相等，45°對(duì)應(yīng)的厚度t6應(yīng)該與-45°對(duì)應(yīng)的厚度t7相等，60°對(duì)應(yīng)的厚度t8應(yīng)該與-60°對(duì)應(yīng)的厚度t9相等，75°對(duì)應(yīng)的厚度t10應(yīng)該與-75°對(duì)應(yīng)的厚度t11相等，這是由于拉伸-彎曲耦合效應(yīng)和拉伸-剪切耦合效應(yīng)可以避免固化后的翹曲變形。因此，優(yōu)化模型表示為

(2)

式中：ρ為復(fù)合材料層合板的密度；W為復(fù)合層合板的重量；φ為對(duì)頻率要求的滿足程度，一般φ∈[0,1]，本研究φ=0.97。

1.2.2 第2級(jí)優(yōu)化模型

在第1級(jí)已經(jīng)優(yōu)化超級(jí)層厚度后，對(duì)以復(fù)合材料層合板固有頻率最大化為目標(biāo)的鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。優(yōu)化模型表示為

(3)

式中：f1表示復(fù)合材料層合板第一階固有頻率；設(shè)計(jì)變量d表示鋪層順序。同樣，在復(fù)合材料層合板鋪層順序優(yōu)化的過(guò)程中，也需要遵循制造約束條件，可參考文獻(xiàn)[17-18]。例如：為了減少或消除邊緣分層和減少層間的漸進(jìn)損傷，不允許有超過(guò)4 個(gè)相同角度的連續(xù)層；由于損壞容限要求，為提高復(fù)合材料層合板的抗壓性能和抗沖擊性能，至少有一層角度為±45°或者±75°。

2 基頻最優(yōu)的鋪層厚度和鋪層順序兩層優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 第1級(jí)優(yōu)化——超層厚度優(yōu)化

步驟1種群初始化。因?yàn)橄嗤嵌鹊暮穸认嗤虼撕穸茸兞總€(gè)數(shù)為7 個(gè)，將4個(gè)最常用的角度0°，45°，-45°，90°的厚度值區(qū)間值設(shè)為[0.125，1]，即認(rèn)定在超級(jí)層中這4 個(gè)角度必然存在，其余角度的厚度值區(qū)間設(shè)為[0，1]。初始化種群規(guī)模設(shè)為100。

步驟2固有頻率不確定性分析。通過(guò)不確定性傳播分析進(jìn)行固有頻率的不確定性計(jì)算，得到固有頻率的不確定性區(qū)間。

步驟3頻率約束構(gòu)建。采用改進(jìn)的區(qū)間數(shù)排序方法對(duì)計(jì)算得到的固有頻率與給定的頻率區(qū)間進(jìn)行對(duì)比，得到頻率滿意程度值φ；滿足頻率約束φ≥0.97的種群被保留下來(lái)，不滿足的則被舍棄。

步驟4厚度適應(yīng)度函數(shù)分析。計(jì)算保留下來(lái)種群的復(fù)合材料層合板厚度的適應(yīng)度W=ρ(t1+2t2+2t4+2t6+2t8+2t10+t11)，即W越小，適應(yīng)度越好。

步驟5選擇操作。采用精英選擇策略，先將計(jì)算得到的適應(yīng)度值進(jìn)行排序，對(duì)滿足約束的種群進(jìn)行初次判斷，判斷其10%是否為整數(shù)，是則直接進(jìn)行下一步操作，反之則將10%的數(shù)進(jìn)行四舍五入操作，獲得進(jìn)行變異、交叉操作的所有個(gè)體。

步驟6交叉操作。采用單點(diǎn)交叉算子，即任意選擇兩個(gè)不同基因的相同位置的厚度值，將這兩個(gè)厚度值的位置進(jìn)行互換，交叉概率取0.7，交叉示意圖如圖2所示。

圖2 厚度基因交叉示意圖Fig.2 Schematic diagram of thickness gene crossover

步驟7變異操作。采用單點(diǎn)變異操作，將種群中個(gè)體基因串上的某個(gè)基因用其他等位基因進(jìn)行替換，形成一個(gè)新的個(gè)體，其中變異概率取0.05。

步驟8填補(bǔ)操作。將之前不滿足頻率約束舍去的種群重新補(bǔ)上，使得新的種群數(shù)量與最原始的種群數(shù)量相等。

優(yōu)化可以得到7 個(gè)不同的厚度值，對(duì)結(jié)果進(jìn)行判斷，判斷規(guī)則為

(4)

式中：n為相應(yīng)的鋪層角度對(duì)應(yīng)的層數(shù)，當(dāng)?shù)玫降暮穸戎禌](méi)有達(dá)到最小厚度0.125 mm，即認(rèn)為該角度對(duì)提高固有頻率并沒(méi)有太大的幫助，因此將其舍去。將滿足厚度約束的鋪層角度重新構(gòu)造成新的超級(jí)層。例如，滿足條件的新鋪層角度為[0°,45°,-45°,60°,-60°,90°]，則新的超級(jí)層如圖3所示。

圖3 新的超級(jí)層示意圖Fig.3 New super layer schematic

2.2 第2級(jí)優(yōu)化——鋪層順序優(yōu)化

步驟1種群初始化。將這些鋪層角度放在一個(gè)一維矩陣?yán)铮騺y其順序得到初始的鋪層順序種群，其初始種群的規(guī)模可以適當(dāng)?shù)靥岣撸驗(yàn)樵诘?步考慮制造約束時(shí)將舍去部分種群，所以設(shè)種群數(shù)目為3N，其中N為實(shí)際種群數(shù)目。

步驟2制造約束分析。表面層需要±45°以及不能有4 層是相同的度數(shù)。因此在下一步計(jì)算適應(yīng)度時(shí)要對(duì)初始鋪層順序種群進(jìn)行判斷，判斷規(guī)則如下：判斷種群的表層是否為±45°以及是否有4 層為相同的角度，如果是，則將其種群變成0，反之則為1；將種群為0的舍去，將種群為1的保留下來(lái)；從得到的種群中選取N個(gè)作為實(shí)際的初始鋪層順序種群。

步驟3固有頻率適應(yīng)度函數(shù)分析。采用不確定分析方法對(duì)保留下來(lái)的種群進(jìn)行固有頻率不確定性區(qū)間計(jì)算。采用改進(jìn)區(qū)間數(shù)排序方法對(duì)計(jì)算得到的固有頻率與給定的頻率區(qū)間進(jìn)行對(duì)比，得到相應(yīng)的頻率滿意程度值φ，將φ作為適應(yīng)度函數(shù)，即φ越高，越符合條件。

步驟4選擇操作。采用錦標(biāo)賽選擇方法，即每次從種群中取出一定數(shù)量個(gè)體，選擇其中最好的一個(gè)進(jìn)入子代種群。重復(fù)該操作，直到新的種群規(guī)模達(dá)到原來(lái)的種群規(guī)模。

步驟5交叉操作。由于鋪設(shè)角度為離散變量，因此選擇整數(shù)編碼方式。編碼中每個(gè)數(shù)字代表一個(gè)鋪設(shè)角度，稱之為基因，基因在基因串上的排列順序代表層合板的鋪層順序。采用兩點(diǎn)交叉法，即任意選擇兩點(diǎn)，將兩點(diǎn)之間的基因進(jìn)行交換交叉，并對(duì)交叉后的種群重新進(jìn)行約束判斷，滿足約束的被保留下來(lái)，不滿足約束的一直進(jìn)行交叉操作，直到滿足條件為止。例如A和B兩鋪層順序基因如圖4所示。

圖4 鋪層順序基因交叉示意圖Fig.4 Schematic diagram of layering sequence gene crossover

步驟6變異及優(yōu)化。采用兩點(diǎn)變異操作，即任意選擇兩點(diǎn)進(jìn)行互換變異，其中變異概率取0.05。通過(guò)迭代得到層合板固有頻率最大化時(shí)的最佳鋪層順序。

3 實(shí)例驗(yàn)證

以48 層的復(fù)合材料層合板的設(shè)計(jì)為例說(shuō)明筆者方法的優(yōu)勢(shì)。單層板的最小厚度均為0.125 mm，密度ρ=1 380 kg/m3。復(fù)合材料層合板的彈性參數(shù)為分布參數(shù)已知的隨機(jī)變量和區(qū)間變量混合變量，初始鋪層順序?yàn)閇0°/15°/-15°/30°/-30°/45°/-45°/60°/-60°/75°/-75°/90°]2s。

將超級(jí)層設(shè)為[0°/15°/-15°/30°/-30°/45°/-45°/60°/-60°/75°/-75°/90°]s，考慮到其中有些角度對(duì)提高固有頻率沒(méi)有幫助，對(duì)初始超級(jí)層進(jìn)行角度選擇優(yōu)化。為了避免優(yōu)化的偶然性，重復(fù)優(yōu)化20 次，可以發(fā)現(xiàn)[±15°，±30°]優(yōu)化后得到的厚度值均低于最小厚度0.125 mm，因此在超級(jí)層中將這4 個(gè)角度舍去，得到的新超級(jí)層如圖5所示。

圖5 更新超級(jí)層圖Fig.5 Update super layer graph

對(duì)新的超級(jí)層進(jìn)行厚度優(yōu)化，厚度優(yōu)化迭代圖如圖6所示。通過(guò)厚度優(yōu)化后復(fù)合材料層合板的總厚度變?yōu)?.499 8 mm，其中0°，±45°，±60°，±75°，90°的厚度分別為0.142 3，0.481 2，0.296 7，0.411 1，0.229 6 mm。對(duì)優(yōu)化后得到的厚度值和最小厚度的比值進(jìn)行四舍五入操作，不同的角度對(duì)應(yīng)的層數(shù)是1，4，4，2，2，3，3，2，新的層合板的厚度為5.25 mm，比初始厚度降低12.5%。

圖6 混合變量厚度優(yōu)化迭代圖Fig.6 Mixed variable thickness optimization iteration graph

超層厚度優(yōu)化確定了各個(gè)角度對(duì)應(yīng)的層合板厚度，對(duì)固有頻率最大化的鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果如表2所示。最優(yōu)鋪層和最劣鋪層的第一階固有頻率的對(duì)比結(jié)果如表3和圖7所示。通過(guò)優(yōu)化得到的最優(yōu)鋪層層合板的第一階固有頻率區(qū)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于最劣鋪層層合板的第一階固有頻率區(qū)間，通過(guò)區(qū)間序的比較可以得到其基頻滿意度為100%。

表2 鋪層順序優(yōu)化結(jié)果Table 2 Laying sequence optimization results

表3 不同鋪設(shè)方式基頻對(duì)比

圖7 層合板隨機(jī)和區(qū)間混合變量材料參數(shù)類型基頻區(qū)間Fig.7 Laminated board random and interval mixed variable material parameter type fundamental frequency interval

對(duì)兩種不同鋪層結(jié)構(gòu)的層合板進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)驗(yàn)證分析，模態(tài)振型圖如圖8所示，使用筆者所提方法優(yōu)化得到的層合板鋪層順序能夠有效改善層合板的振動(dòng)性能。

圖8 層合板不同鋪設(shè)方式模態(tài)振型圖Fig.8 Mode diagrams of different laying methods of laminates

4 結(jié) 論

筆者考慮隨機(jī)和區(qū)間混合的材料不確定性參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了基頻最高的不確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)。首先，建立了考慮概率與區(qū)間不確定性的層合板基頻不確定性計(jì)算模型；其次，進(jìn)行了以層合板重量最小化為目標(biāo)、固有頻率為約束的層合板厚度優(yōu)化設(shè)計(jì)；最后，進(jìn)行了以層合板固有頻率最大化為目標(biāo)的鋪層順序優(yōu)化設(shè)計(jì)。在48層復(fù)合材料層合板的設(shè)計(jì)中進(jìn)行了應(yīng)用驗(yàn)證，將復(fù)合板總厚度降低了12.5%，基頻滿意度提高到100%，有效改善了層合板的振動(dòng)性能。