組織對比悟本質 經歷溝通求聯系

陳操

【摘? ?要】“排列”與“組合”有很多相似之處，學生對這兩者經常混淆不清。以人教版教材二年級上冊“數學廣角——搭配（一）”中的例2為例，對“排列”與“組合”兩種方法的內涵與結構進行分析，提出了“起點分析，尋找知識連接點”“題組對比，揭示概念本質”“優化材料，促進深度學習”這三條教學策略，引導學生通過溝通建立知識聯系，通過對比感悟數學思想。

【關鍵詞】數學廣角;搭配;對比;溝通

人教版教材以獨立的板塊開辟“數學廣角”，滲透數學思想方法。二年級上冊“搭配（一）”是“數學廣角”這一板塊的重要組成部分。教材圍繞“搭配”安排了兩個課時的內容，第一課時滲透排列的思想，第二課時滲透組合的思想?！芭帕小迸c“組合”有很多相似之處，學生對這兩者經?；煜磺?。教學時可以讓學生通過溝通建立知識聯系，通過對比感悟數學思想。

一、起點分析，尋找知識連接點

學習是新舊知識之間相互迭代和鏈接的過程，因此，教學要關注學生的學習起點，從起點出發，抓住新舊知識之間的關聯點，把新知納入到學生原有的認知結構中，進行同化和順應。排列與組合的教學也是如此。

（一）起點分析

1.邏輯起點

基于教材知識體系和學生成長規律進行教學的邏輯起點分析。從解決問題的方法上看，學生在前面的學習中已經掌握了“固定十位法”“固定個位法”“調換位置法”等方法，對于排列與組合的問題，應該能夠獨立解決，找到答案。從思維方式上看，學生經歷了“有序”“全面”“組合（配對）”等思考問題方式的“訓練”，已經擁有理解排列與組合問題的思維基礎。從學習經驗上看，學生有過解決組合問題的經驗，如在解決人教版一年級下冊“認識圖形（二）例3”時，學生首先思考拼三角形需要用到幾塊圖形，然后運用分類思考的方法，考慮可以2塊組合拼、3塊組合拼、4塊組合拼等。

2.現實起點

基于對學生實際和潛在經驗的現實起點進行分析，教師做了課前調研，請學生獨立解決問題“有2、3、4三個數字，任意選取其中兩個組成兩位數，能組成幾個不同的兩位數”。學生解答的正確率達到了93.3%，多數答案不但正確且有序，答案正確但排列無序的僅占2.2%。解答時多數學生使用了“固定十位法”和“調換位置法”，用“固定十位法”的學生占66.7%，用“調換位置法”的學生占22.2%。

從數據分析可以看出，學生對于“固定十位法”掌握得比較好，運用“調換位置法”的人比較少。測試后，教師又對部分學生進行了訪談，請學生說說“你是怎么想的”。從學生的回答中可以看出，多數學生已經有了有序思考的經驗基礎。

（二）基于起點分析引入教學

組合問題主要表現為分類計數、有序但不排序，“分類思想”是解決組合問題的核心。學生雖然有了有序思考的經驗基礎，但尚未形成分類計數的思想?；趯W生起點的分析，將新課導入環節展開如下。

【片段1】經驗復習，引入新課

出示問題：有三個數分別是3、5、7，任意選取其中兩個組成沒有重復數字的兩位數，能組成幾個？

學生獨立解答后進行交流。教師將學生的答案分成左右兩列寫在黑板上。左邊一列是35、37、53、57、73、75;右邊一列是35、53、37、73、57、75。

師：認真觀察，這兩組答案正確嗎？分別用了什么方法解決問題？

生：兩組都是正確的。左邊用了“固定十位法”，右邊用了“調換位置法”。

師：運用這些方法寫有什么好處呢？

生：可以做到有順序、不遺漏、不重復。

師：在“固定十位法”“調換位置法”中，也隱藏著分類寫的方法。你能看出來嗎？

生：用“固定十位法”寫，其實就是按十位是3、5、7分類寫。

生：運用“調換位置法”時，選3、5一類可以組成35和53;選3、7一類，可以組成37和73;選5、7一類，可以組成57和75。

（教師根據學生的回答在板書上圈出相應的部分）

師：剛才，我們運用“固定十位法”“調換位置法”以及分類思考的方法解決了問題。這節課將運用我們已有的知識，繼續研究新的問題。

通過復習，學生梳理了有序思考問題的方法。在圈一圈中感受“固定十位法”是按十位是3、5、7分類;“調換位置法”是按3、5組隊分類，3、7組隊分類和5、7組隊分類。在復習引入中，教師通過“圈一圈”，在分類與有序思考之間建立了內在的聯系，為新授“組合”的教學埋下了伏筆。

二、題組對比，揭示概念本質

“排列”與“組合”是兩個比較抽象的概念。排列是指從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列;組合是指從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素并成一組?！芭帕小迸c“組合”是兩個鄰近概念，它們之間既有聯系又有區別。排列與組合都是從一定數量的元素里取出若干個元素;但排列與元素的順序有關，組合與元素的順序無關?；趯Α芭帕小迸c“組合”概念的解讀，教學中要抓住概念本質，采用題組對比的教學方式，幫助學生了解概念之間的聯系和區別，以便學生理解、掌握排列與組合的基本思想方法。

（一）借助對比，揭示本質

從前一節課的“排列”到本節課的“組合”，從原本三個數中任選兩個數進行排序，到從三個數中任選兩個數組合而不用排序，學生的認知要經歷轉變的過程，而轉變原有的認知結構正是本節課教學的難點。新知教學時可以采用新舊對比的教學方式，以突破難點，幫助學生正確理解概念的本質。

【片段2】探究新知，初步感知“組合”的思想

教師出示改編后的題目：有三個數分別是3、5、7，任意選擇其中兩個數求和，一共有多少種可能？

師：想一想，這一題與前面一題有什么相同和不同的地方？并把結果寫下來。

（學生完成后反饋交流）

生：3和5組成兩位數時，35和53屬于兩個不同的數;3和5組在一起算和時，3+5和5+3的和都是8，只能算一種……

生：“組成兩位數”的兩個數字可以交換位置，和不變。

生：我發現“組成兩位數”要排順序，“求和”不用排順序。

根據學生的回答，教師在板書上進行圈、刪（如圖1）。

通過兩道題目的對比學生發現，排列與組合在選擇數字時有相同之處，都可以先用“組隊”的方式將數字分組：3、5;3、7;5、7。不同點是，“組數”（排列）時兩個數交換位置可以得到不同的數;“求和”（組合）時兩個數交換位置和一樣，只能算一種情況。學生在異同點對比中初步感悟組合的基本思想。

（二）對比練習，溝通聯系

“排列”與“組合”屬于高中數學課程中的內容，本節課的教學目的不是讓學生一定要明確區分什么是排列，什么是組合，而是引導學生通過對現實生活的具體情境進行分析，體會哪些情況下要考慮事物的先后順序，哪些情況下不用考慮事物的先后順序。引導學生在“數學化”的思考過程中感悟排列與組合的思想，建立排列與組合之間的聯系，讓學生在結合經驗解決類似問題時，通過類比融通形成解決問題的思維結構。

【片段3】對比練習，勾連排列與組合

師：二年級某班在競選班長時遇到了難題，聰明的同學們愿意幫忙嗎？

教師出示改編后的教材習題：三個人競選正、副班長，會有幾種可能？競選結束了，每兩個人握一次手，三個人一共握了幾次手？

生：選班長有6種可能，握手只有3種情況。

師：為什么兩個答案不一樣？

生：因為選班長，一個正一個副，也可以換過來一個副一個正，而握手兩個人換過來握，你跟我握手和我跟你握手，算同一次握手。

（教師請學生上講臺演示）

師：從剛才的演示中我們發現，選班長，從三個人中選出兩個人要按正、副班長排順序，而從三個人中選兩個人握手，這兩個人選出后不用排序。

師：這兩道題與前面的題目有什么相同和不同之處呢？

生：這兩題中是三個人，上面兩題中是三個數字。

生：三個學生可以看成三個數，我用1、2、3表示三個學生，按第一個是正班長、第二個是副班長的順序排列，可以有“12，13;21，23;31，32”一共6種情況。握手時，只有“1、2握，1、3握，2、3握”這3種情況。這和前面一組題的區別是一樣的。

“排列”與“組合”是兩個不同的概念。教師通過創設情境，讓學生體驗排序與不排序的差別，區分排列與組合的方法。通過前后兩組題的對比，學生發現第一組題從數字入手，第二組題從生活情境入手，兩組題之間具有相似性與共通性，形成了解決排列與組合問題的思維結構。

三、優化材料，促進深度學習

學習材料在學生數學學習中起著重要的作用。好的學習材料能幫助學生加深對知識的感知、理解、分析和整合，是學生獲得知識、解決問題、培養思維、提升數學能力的有效載體。學習材料包括學習用書、課程資源、操作材料、習題等等。優化材料的選擇、組織和呈現方式，能幫助學生架起已有知識與新知之間的橋梁。

（一）優化材料的選擇與組織

教學中選擇不同的學習材料，或者同一個材料采用不同的組織方式，會對學生的學習興趣、知識理解以及學習過程和結果產生不同的影響。優化習題材料的選擇與組織方式有很多種。如教師可以以例題為基礎優化習題，適當拓展例題的內容，以激發學生深度探究的熱情。教學中教師出示用例題改編的習題：有三個數，分別是0、5、7，任意選取其中的兩個數組成沒有重復數字的兩位數，能組成幾個兩位數？有的學生通過一一枚舉的方式寫出6個;有的學生直接將0畫去，寫出57、75兩個數，理由是0不能用來組數;有的學生寫出6個數后，畫去了05、07兩個數;有的學生直接寫出4個數，理由是三個數選兩個是6種可能，但因為0不能在首位，所以要減去兩個數。針對以上的反饋情況，教師引導學生展開討論。通過辨析交流，學生發現0是一個特殊的數字，組數的時候它不能放在首位，所以一共是4種可能。教師雖然只是將例題中的一個數字改成了0，但卻拓展了思維的寬度。學生在運用排列與組合思想的同時，也鞏固了關于0占位的知識。

（二）優化材料的呈現方式

“學習的最好刺激乃是對所學習材料的興趣?！辈牧系某尸F方式有文字、表格、圖片等。同一個學習材料以不同的方式呈現，得到的效果會不一樣。

如教師在試教時出示如下習題：“有紅色、綠色、白色三張紙條，長度分別是4厘米、6厘米、8厘米，任意選其中的兩張拼成一張新的紙條，有哪些不同的拼法？可以拼成哪些不同的長度？”在解答“有哪些不同的拼法”時，很多學生得出錯誤答案3種。經了解得知，學生把“不同拼法”和“不同長度”混為一談了。由此可知，學生在讀題時關注更多的是阿拉伯數字，對于隱藏著的顏色信息不容易獲取。所以，在第二次教學中教師對材料進行了修改：將紅色、綠色、白色紙條用圖片的方式呈現，并給學生提供實物材料，讓學生擺一擺、拼一拼。結果顯示，學生答題的準確率大大提高。因此，選擇材料的呈現方式時，應考慮學生的認知規律和學習特點，這樣才能有效達成教學目標。

參考文獻：

[1]蔣碧云.基于“數學理解層次”的教學路徑探索：思維可視化的另一種打開方式[J]. 上海教育科研，2019（2）.

[2]米山國藏.數學的精神、思想和方法[M].毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986.

[3]曹培英.“數學廣角”教學的系列研究（二）[J].小學數學教育，2017（3）.

（浙江省杭州市余杭區良渚第二小學? ?311113）