淺析高等代數(shù)線性相關(guān)性定理的教學(xué)

◎張孝金

(江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

一、引 言

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)類專業(yè)的基礎(chǔ)課程，對于數(shù)學(xué)專業(yè)人才的培養(yǎng)具有非常重要的作用.線性相關(guān)性是貫串高等代數(shù)的重要的知識點和工具，它在學(xué)生后續(xù)的知識點如線性空間、線性變換以及歐氏空間的學(xué)習(xí)過程中起著非常重要的作用，但這一部分內(nèi)容的概念多、性質(zhì)多且內(nèi)容較為抽象.因此，傳統(tǒng)的教學(xué)手段很難幫助學(xué)生完全理解這部分內(nèi)容，那么如何改善這一環(huán)節(jié)的教學(xué)質(zhì)量呢？一方面，在線性相關(guān)性的教學(xué)中融入貼近學(xué)生生活的元素.另一方面，當(dāng)前國際形勢復(fù)雜多變，對于高校而言，如何保證所培養(yǎng)的人才為社會主義服務(wù)是一個十分重要又異常嚴(yán)峻的課題.這就要求我們在專業(yè)課的教學(xué)中融入課程思政.因此，如何在高等代數(shù)教學(xué)中融入課程思政是很多高等代數(shù)任課教師非常關(guān)心的問題.但是，目前對于高等代數(shù)課程融入課程思政的研究比較少.因此，在線性相關(guān)性的教學(xué)過程中融入課程思政是非常有必要的.

本文將研究在線性相關(guān)性的教學(xué)環(huán)節(jié)應(yīng)注意的細(xì)節(jié)及其蘊(yùn)含的思政元素.這能讓更多的數(shù)學(xué)類專業(yè)的學(xué)生在輕松學(xué)習(xí)專業(yè)知識的同時，明白其所蘊(yùn)含的人生哲理，從而成長為對國家和社會有用的數(shù)學(xué)專業(yè)人才.

本文共分為四部分，第一部分為引言；第二部分介紹本文所涉及的基本數(shù)學(xué)知識，主要包括基本概念和重要定理以及教學(xué)設(shè)計；第三部分介紹線性相關(guān)性定義和定理所蘊(yùn)含的思政元素，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的家國情懷；第四部分為結(jié)論與展望.

二、基本概念和定理

為了研究線性相關(guān)性的教學(xué)與其蘊(yùn)含的思政元素，我們首先回顧高等代數(shù)中有關(guān)線性相關(guān)性的基本定義、概念和定理.

定義2.1設(shè)V是一個非空集合，在V上定義兩種代數(shù)運算“+”，“k·” 其中k是數(shù)域P中的元素.我們稱V構(gòu)成一個線性空間，如果它滿足以下幾點：

?a,b,c∈V，?k,l∈P.

(1)a+b=b+a.

(2)(a+b)+c=a+(b+c).

(3)?0∈V，0+a=a.

(4)?a∈V，?-a∈V，-a+a=0.

(5)1a=a.

(6)(kl)a=k(la).

(7)(k+l)a=ka+la.

(8)k(a+b)=ka+kb.

這些運算可以分為3類.第一類為“加法”：本質(zhì)上是一個阿貝爾加群；第二類為“數(shù)乘”，即單位元和加的結(jié)合律；第三類為“數(shù)乘”與“加法”的分配律.

相對于向量空間而言，線性空間的概念更加抽象.因此，要學(xué)好線性空間理論，就應(yīng)該記下一些具體的線性空間的例子.常見的線性空間的例子有：實數(shù)域上的n維向量空間Rn，數(shù)域P上次數(shù)小于n的多項式空間P[x]n以及實數(shù)域上所有的n階矩陣的空間Rn×n等.

假設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間.下面我們給出線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念.

定義2.2設(shè)a1,a2,…,at∈V，如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,kt∈P，使得k1a1+k2a2+…+ktat=0，那么我們稱a1,a2,…,at∈V線性相關(guān).否則我們稱a1,a2,…,at∈V線性無關(guān).

注意到定義2.2中的線性無關(guān)的定義不是特別清楚，因此我們利用方程組的解的情況給出以下定義.

定義2.3設(shè)a1,a2,…,at∈V且有k1,k2,…,kt∈P使得k1a1+k2a2+…+ktat=0(*).

如果(*)有非零解，那么我們稱a1,a2,…,at∈V線性相關(guān)；如果(*)只有零解，那么我們稱a1,a2,…,at∈V線性無關(guān).

對于此部分，學(xué)生應(yīng)該掌握利用線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義來證明元素是否線性無關(guān).下面給出一道例題.

例2.1設(shè)C[0,1]為實數(shù)域上光滑的函數(shù)構(gòu)成的線性空間.求證：cosx,ex,x2線性無關(guān).

證明：設(shè)存在實數(shù)k1,k2,k3使得：

k1cosx+k2ex+k32x=0…(1).

因為函數(shù)cosx,e2,x2都可導(dǎo)，

因此對(1)式兩端求導(dǎo)可得：

-k1sinx+k2ex+2k3=0…(2)，

再對(2)式兩端求導(dǎo)可得：

-k1cosx+k2ex=0…(3).

取x=0，可得k1=k2=k3=0，

因此cosx,e2,x2線性無關(guān).

為了刻畫線性相關(guān)，我們需要引進(jìn)線性表出的概念.

定義2.4設(shè)a1,a2,…,at,b∈V，如果存在k1,k2,…,kt∈P使得b=k1a1+k2a2+…+ktat，那么我們稱b可由a1,a2,…,at線性表出.此時，a1,a2,…,at,b∈V線性相關(guān).

且x+2=1x+2×1.

結(jié)合上面的定義和例子可知線性表出和線性相關(guān)有著密切的關(guān)系.

命題2.1a1,a2,…,at∈V線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)存在ai使得ai可由a1,a2,…,ai-1,ai+1,…,at∈V線性表出.

證明：必要性：因為a1,a2,…,at∈V線性相關(guān)，

所以存在數(shù)域P中的不全為零的數(shù)k1,k2,…,kt，使得k1a1+k2a2+…+ktat=0.

充分性：因為ai=k1a1+k2a2+…+ki-1ai-1+ki+1ai+1+…+ktat，所以k1a1+k2a2+…+ki-1ai-1-ai+ki+1ai+1+…+ktat=0，

因此a1,a2,…,at∈V線性相關(guān).

下面我們給出線性空間中兩組元素等價的定義.

定義2.5設(shè)a1,a2,…,at∈V且b1,b2,…,bs∈V.如果對于任意的ai(1≤i≤t)都可以由b1,b2,…,bs線性表出，那么我們稱a1,a2,…,at∈V可由b1,b2,…,bs∈V線性表出.特別地，a1,a2,…,at∈V和b1,b2,…,bs∈V可以互相線性表出.

為了給出本章的主要定理，我們還需要以下的定義.

定義2.6我們稱a1,a2,…,at∈V的部分組ai1,ai2,…,air∈V為a1,a2,…,at∈V的極大無關(guān)組，如果：

(1)ai1,ai2,…,air∈V線性無關(guān)；

(2)對于任意的ai，有ai,ai1,ai2,…,air線性相關(guān).

在空間P[x]n中1,x,2+x的一個極大無關(guān)組為1,x.

由上面的定義我們可以得到：

命題2.2設(shè)a1,a2,…,at∈V，則其極大無關(guān)組ai1,ai2,…,air等價于a1,a2,…,at.

為了給出本節(jié)的主要定理，我們需要以下引理.

中，若s

下面給出向量線性相關(guān)性的主要定理.

定理2.1設(shè)a1,a2,…,at∈V且b1,b2,…,bs∈V.如果向量組a1,a2,…,at可由b1,b2,…,bs線性表出且s

由上面的定理，我們可以得到以下推論.

推論2.1設(shè)a1,a2,…,at∈V且b1,b2,…,bs∈V.若a1,a2,…,at∈V線性無關(guān)且可由b1,b2,…,bs∈V線性表出，則必有t≤s.

證明：(反證法)假設(shè)t>s，則由定理 2.1可知a1,a2,…,at∈V線性相關(guān)，矛盾，故t≤s.

推論2.2設(shè)a1,a2,…,at∈V且b1,b2,…,bs∈V.若它們線性無關(guān)且相互等價，則t=s.

證明：利用推論2.1可以直接得出結(jié)論.

由推論2.2可知一個向量組的兩個極大無關(guān)組中所含向量的個數(shù)是相等的.因此，稱一個向量組的極大無關(guān)組中向量的個數(shù)r為該向量組的秩.

推論2.3設(shè)a1,a2,…,at∈V且b1,b2,…,bs∈V.若它們等價，則它們的秩相同.

證明：取兩向量組的極大無關(guān)組，利用推論2.2可得結(jié)論.

三、線性相關(guān)性與思政

在這一部分中，我們研究線性相關(guān)性所蘊(yùn)含的思政元素.一方面，這有助于學(xué)生更好地理解定理的內(nèi)容；另一方面，這有助于培養(yǎng)具有家國情懷的、積極向上的、符合社會主義事業(yè)發(fā)展的數(shù)學(xué)專業(yè)人才.

從線性空間的定義中，我們可以看出“+”,“k·”的互相配合、互相成就構(gòu)成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的工具——線性空間.這就要求學(xué)生要具有集體主義精神，能夠互相配合、互相成就，共建優(yōu)秀的團(tuán)隊.從線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義中，我們可以看出線性空間中的一組元素不是線性相關(guān)就是線性無關(guān).這就要求學(xué)生要愛憎分明，堅定地維護(hù)國家安全與社會的安定團(tuán)結(jié)，堅決與一切損害國家安全和社會安定團(tuán)結(jié)的一切行為進(jìn)行斗爭.

從極大無關(guān)組的定義中，我們可以看出極大無關(guān)組是向量組中最基本的性質(zhì)，它決定了向量組性質(zhì).這就要求學(xué)生要透過現(xiàn)象去追求事物的本質(zhì)，通過學(xué)習(xí)專業(yè)知識，武裝自己，從而為社會的發(fā)展而服務(wù).線性相關(guān)性定理(定理2.1)告訴我們，如果一組向量可以由更少的向量線性表出，那么這組向量中必有一個向量可以由其余的向量線性表出.也就是說，這個向量在所在的向量組中的作用可以由其余元素所代替.這就要求學(xué)生必須積極上進(jìn)，努力學(xué)習(xí)專業(yè)技術(shù)知識，提高道德修養(yǎng)，拒絕“躺平”，只有這樣，才能夠跟上時代的發(fā)展，成為對國家、社會和家庭有用的人.同時，線性相關(guān)性定理給出了許多應(yīng)用(推論2.1-2.3)，這又從另一方面驗證了線性相關(guān)性定理的重要性.這也要求學(xué)生要以國家和社會的需求為導(dǎo)向，提高自己的專業(yè)技能，從而解決社會發(fā)展的難題.

線性相關(guān)性定理這一部分內(nèi)容的結(jié)論較多，也很抽象.如果教師直接講授知識點，那么很可能會導(dǎo)致學(xué)生記不住也不能理解這些知識.引入了上述的思政解釋后，枯燥的數(shù)學(xué)證明就有了社會和生活的氣息，這樣可以使得學(xué)生更容易地接受知識.同時，將愛國情懷和積極向上的精神融入專業(yè)課的教學(xué)過程中，不僅加強(qiáng)了學(xué)生的愛國主義教育，也培養(yǎng)了學(xué)生積極向上的精神.這對于在當(dāng)前復(fù)雜的社會形式下培養(yǎng)符合社會主義事業(yè)發(fā)展的數(shù)學(xué)專業(yè)人才有著重要的意義.

四、結(jié)論與展望

線性相關(guān)性是高等代數(shù)中十分重要的內(nèi)容，但內(nèi)容抽象，不易理解.本文給出了線性相關(guān)性教學(xué)中應(yīng)該注意的細(xì)節(jié)，同時在教學(xué)的過程中融入了課程思政，使得教學(xué)內(nèi)容更加的生動，貼近學(xué)生的生活，這有助于學(xué)生的理解.另外，在課程思政的潛移默化作用下，學(xué)生能夠積極進(jìn)取，培養(yǎng)愛國主義精神，這有助于將學(xué)生培養(yǎng)成社會主義事業(yè)的接班人.

當(dāng)前的國際形勢復(fù)雜多變，很多敵對勢力煽動和制造了很多對我國不利的事端，其中就包括香港事件和新疆棉花事件.新時代的學(xué)生普遍具有較強(qiáng)的接受能力，也有較廣的接受信息的渠道.一方面，各種信息良莠不齊，需要學(xué)生具有分辨是非的能力.另一方面，注重享受和娛樂至上的社會不良風(fēng)氣，導(dǎo)致學(xué)生不能專注于專業(yè)技能的學(xué)習(xí).因此在數(shù)學(xué)專業(yè)課程的教學(xué)中融入思政元素是非常有必要的.此外，高等代數(shù)知識相對抽象，數(shù)學(xué)語言平淡無奇，很難引起學(xué)生的注意力，這就需要教師在教學(xué)的過程中引入貼近學(xué)生生活的思政元素，增加教學(xué)內(nèi)容的生動性，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性.因此，在線性相關(guān)性教學(xué)的過程中引入思政元素是必要的，也是可行的.這有助于培養(yǎng)積極向上的、具有家國精神的、符合社會發(fā)展的數(shù)學(xué)專業(yè)人才.