創新思維引領的數學建模活動研究

◎張 璐

(吉林師范大學,吉林 長春 130000)

引 言

高中階段是初等教育中至關重要的階段，關系著學生未來生活學習的發展.我國教育部門和相關的教育科研工作者一直關注數學建模在高中階段的應用.本研究以生物生長規律模型為主要研究對象，以數學模型對學生創新思維發展的重要性作為出發點和立足點，從創新思維培養、模型思想探究和模型案例分析三方面展開，體現數學建模在高中階段教學的應用性和重要性，在不斷變化的實際生活情境問題培育學生的數學思維.

一、創新性思維概述

創新性思維是指人們能夠在已學過的知識和積累的經驗基礎上發現新問題，找到問題之間潛在的聯系，能夠從新的角度和方位分析問題，能運用新的方法解決問題，并且能創造新的解決問題的策略，進而更有效地解決問題.思維的靈活性與創新性也會隨著學習者個體的發展而不斷提高.

在一線教學中培養學生創新性思維和能力，需要教師具備創新精神和創新思維.教師需要有豐富的知識儲備，有著扎實的數學功底.發現和找出問題之間的內在關聯和本質[1]，在把握概念或知識的內涵與外延上另辟蹊徑，用另外一種方法重現解題過程，或者用數學中類比思維探究相近的命題形式是否合理，能否進行推廣和拓展.教師可引導學生通過歸納總結出新的觀點和見解,不斷提高自身，并根據學生的知識水平和接受程度，使得課程設計更有整合性和創新性，從而有計劃性和目的性地去教授學生.

二、數學建模案例探究

數學是主觀與客觀相互結合的學科，數學模型本就存在于世界之中，一次函數模型用來描述勻速直線運動，二次函數模型用來描述拋物軌跡，反比例函數模型用來描述兩個數互為倒數的情況，此外橢圓方程、拋物線方程、雙曲線方程等都含有它們各自的幾何含義.數學模型的學習，一方面是為了培育學生的數學學科核心素養，更重要的一方面是使數學生活化，讓學生學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思想理解世界，用數學的方法解決生活實際問題.

函數是高中階段必不可少的學習的主線之一，函數與方程思想也是高中階段數學學習的重要思想方法.數學建模活動因函數知識的應用而變得更加多元化.[2]從古至今人們對事物發展規律的認識，都是通過對事物的原型加以抽象而得出的.因此生活中的很多現象都可以借助函數模型加以描述.然而，在函數為主軸的數學教學中，數學建模問題并不等同于函數問題，數學建模中還蘊含著一部分函數無法刻畫的模型.例如大氣方程模型、導彈軌跡模型等.從數學普遍意義上來說，模型化的常規問題更符合數學的本質.建模的意義是使學生更有創新性思維和邏輯性思維，讓學生把數學問題和實際問題有機地結合在一起，利用數學知識這一工具有效地分析和靈活地處理問題，培養學生運用建模思想和方法處理問題的能力.[3]下面以生長規律為例描述建模的過程：

圖1 創新思維引領的模型教學過程

2.1 創設問題情境

高中數學建模落地行之有效的方式就是數學學科活動，在活動中教師要創設恰當的情境，可以是生活情境、科學情境、數學史情境等.例如探究生物生長規律問題，在實際教學環節中，教師創設的是生活問題情境，即生活中兒童身高的生長問題.結合衛計委發布的《中國7歲以下兒童生長發育參照標準》(表1)進行數學建模活動.

表1 2009年中國7歲以下兒童生長發育參照標準表

從表1中可以看出，2009年中國7歲以下兒童身高的增長速度呈現先快后慢的增長趨勢.這種增減速度產生變化的模型不等同于一次函數模型的線性增長，教師在教學時要引導學生進行區分辨別.

再例如，農業科學研究者在研究某地區玉米在不同生長階段，植株高度的變化特征及其趨勢時，通過觀察、測量、統計進而得到了表2數據.

表2 某地區玉米植株高度與生長關系表

從具體的數據中我們可以看出，玉米植株高度的變化，具有先慢后快，然后又變慢的增長規律.

通過對以上兩組數據的分析，我們發現生物的生長發育是一個連續的過程，但不同的時間段可能有不同的增長速度，選擇合適的函數表達式描述兩個變量之間的對應關系，能夠解決很多實際問題.

2.2 假設化簡,模型確立

根據生長規律問題的特征及其目的，得知要描述的生長規律，實際上就是要描述當一個量(記為x)變化時，另外一個量(記為y)會怎樣變化.例如，隨著年齡的增長，兒童的身高將怎樣變化；隨著生長階段的不同，植株高度會怎樣變化等.

教師要幫助學生建立完整的函數概念，不僅要讓學生學會如何應用函數求解數學問題，更重要的是讓學生能夠用函數的模型思想解決實際問題.但大多數中學生對函數的理解僅僅停留在抽象的數學問題上，例如，求函數的定義域、值域、極值、最值、判斷函數單調性和奇偶性等.實際上的函數模型要引導學生逐步使用函數描述客觀世界事物.教師在課堂上引入具體的數學模型對中學生進行教學，有利于學生理解和應用函數的思想方法.

對以上兩個例子我們可以借助函數y=f(x)來描述生長規律.

因為就生長規律來說，當x增大時，y是增大的，這說明函數y=f(x)在指定的范圍內應該是增函數，又因為不同的時間段有不同的增長速度，所以函數y=f(x)不能是一次函數.

為了簡單起見，可以假設函數的變量x，y都是連續變化的(也就是說可以取某個區間內的任意值).

當然，根據不同對象的生長規律，可以選擇不同的函數形式.

類似地，對于玉米植株高度來說，因為增長速度一開始比較慢，后來逐漸加快，而我們熟悉的函數中，只有指數函數y=aex(a>1)具有這種性質，因此生長規律可用h(x)=aebx來描述.

2.3 確定參數,計算求解

例如，如果選擇的是g(0)=49.7與g(4)=103.1，則有

類似地，也可選擇表2數據中的兩對對應值來確定函數h(x)=aebx中的a,b.

例如，如果選擇的是h(2)=1.75與h(8)=97.46，則有

由此可解得a≈0.458，b≈0.670,所以h(x)=0.458e0.670x.

2.4 模型檢驗

最后分析模型結果.因為在求解時，我們只用到了部分已有的數據，因此可以利用其他數據來檢驗所建立的模型的優劣.

圖2 函數模型檢驗圖

對于玉米植株高度函數h(x)=0.458e0.670x來說，可以得出函數在前面7個階段內，h(x)的函數值與實際值之間的誤差不大.

三、數學建模教學要求

數學建模首先需要學生具備一定的知識儲備，其次學生要善于發現問題，[4]要有一定的數學邏輯思維和清晰的解題思路，再次需要學生分析問題，與所學知識建立聯系，最后學生要學會運用函數模型及其函數知識等的應用來解決實際問題.學生通過對高中數學建模活動的學習，能夠拓展數學眼光，發展數學應用意識.緊密聯系生活實際解決問題，感悟數學知識在實際生產生活中的密切聯系，[5]能更好讓實際問題與數學知識和數學建模的思想方法產生聯系，培養自身應用數學建模思維能力.

3.1 對教師的要求

想要培養和提高學生數學建模能力，最重要的是一線教師對數學建模相關的內容有深入的了解，并能跟隨時代的步伐，恰當巧妙地運用信息技術手段呈現數學模型.這就對教師的教學提出了相應的要求：

首先，因時而異：教師在教授學生建模思想和方法時，需要根據學生目前知識儲備、學習興趣、接受程度等各種因素進行全方位、多角度的考量.

其次，因人而異：教師需要對所教授的內容進行有目的、有針對性、有可行性的篩選和排列組合，既要滿足學生的需求，激發學生的興趣，引起學生的關注，還要符合教學的培養目標和提升學生的綜合素質了.

再次，因勢利導：教師在教學過程中應遵循循序漸進、由淺入深的策略，切不可操之過急，避免引起學生的反感情緒，要科學開展，合理實施.

最后，在明確教學目標的基礎上將理論和實際相聯系.比如在學習“函數模型和應用”這一知識點時，我們根據學科特點、課程特點以及學生學習情況，引入現實生活中兒童生長規律和玉米植株生長的現象，再與教材內容相結合，引導學生建立數學模型進行探究，幫助學生加深對函數模型和函數知識的理解和應用.這樣既能培養學生的創新性思維，使其思維得到拓展，又能幫助學生全面理解和把握數學建模的思想和方法，從而使學生數學建模的能力得到全面有效的提升.[6]

3.2 對學生的要求

在參與數學建模活動后，教師應啟發學生利用數學建模活動中學習到的知識發現問題、思考問題、解決問題.而解決問題的關鍵之處在于學生是否對模型產生內化的理解，產生對該類模型的感悟，才能抓住模型的本質，從而將該模型應用于實際生活當中.而在這一應用過程中，就要求學生從理解的角度對模型進行記憶，把握其本質內涵，善于聯想，將模型依托于生活實際，這樣才能發揮數學建模提升學生自學能力的作用，使學生用自己獨特的語言理解數學.

四、數學建模教學啟示

創新性思維的發展離不開數學建模活動的幫助.筆者在課堂開展一線數學建模活動后，發現數學建模活動在一線教學中的價值與幫助，并希望創新性思維能夠促進數學建模活動課程在一線教學中的有效運用.

4.1 數學建模激發學生興趣

數學建模活動在一定程度上可以激發學生學習數學的興趣，提升學生探索數學知識的熱情.任何學科想要發展學生的學科能力和素養，[7]都離不開學生個體本身對該學科的熱情與興趣.而數學建模活動正是非常好的契機，利用數學建模活動可以讓學生們領會到數學課堂與眾不同的一面，教學中可以利用計算機軟件進行模型擬合，提前讓學生接觸一些數學類軟件.利用理工科的培養方式，讓學生經歷猜想、感知、操作、建模的活動過程，可以使學生經歷整個活動過程后能夠學有所思，學有所悟.

4.2 數學建模促進學生思維

在一線教學過程中筆者發現，數學建模也有利于促進學生的思維發展.傳統的課堂教學模式是講授法，多以教師的講解為主，學習者被動地接受.而在數學建模活動課程中，學生們隨著建模活動的不斷進行，在活動中會不斷產生新的思考，這也不斷地刺激著學生的自我思維.學生思考模型和實際之間的區別，有利于其不斷地分析問題，解決問題，不斷促進思維活動.一部分數學模型比教師的提問或引導的效果更能直接有效地促進學生思維活動.

4.3 數學建模發展學生自學能力

數學建模活動課堂能發展學生的自學能力.和傳統的數學課堂教學方式相比較，數學建模活動課堂充分體現了過程性評價的評價理念，更加注重學生的發展.這樣的建模活動落實了學生的主體地位，彰顯了以學習者自身發展為導向的目標.[8]學生們在建模過程中的應用、嘗試，都能有效地發揮數學教學活動的發展性，都能夠有效鍛煉學生的自主學習能力，促進學生數學學習能力的提升.學生在嘗試建模活動中，[9]不斷試錯不斷反思，也有助于學生的學習效率和質量的提升.

4.4 數學建模培育學生創新性思維

許多學生在題海戰術過后，產生了嚴重的思維定式，缺乏思維的創新性.而在數學建模活動中，通過對同一類問題的不同模型的建構，可以有效地拓展學生的思路與視野，讓學生以不同的角度思考問題，學生的思路打開了，才能談問題解決的創新性.學生的空間想象能力、總結歸納能力尚有不足，但是在數學建模活動中，通過動態化、直觀化的呈現，可以有效地彌補學生學習能力和經驗方面的不足，從學生的基礎進行發展，以達到培育學生創新性思維的目標.

結束語

以上就是筆者對數學建模活動在一線教學中的運用策略的探討.簡要來說，數學建模活動對高中階段的數學學習中有著重要的意義和價值，對學生數學學科能力的發展存在正相關.高中階段的數學教師，也應當開發教材中的數學模型，促使數學建模思想在課堂中有效融入，切實提高課堂教學效率.