壓水堆堆芯Pin-by-pin均勻化計算中非均勻泄漏修正模型研究

張 斌，李云召，吳宏春

(1.中國核動力研究設(shè)計院 核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計技術(shù)重點實驗室，四川 成都 610041；2.西安交通大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710049)

20世紀(jì)70年代以后，得益于粗網(wǎng)節(jié)塊法[1-2]的迅速發(fā)展，以組件均勻化理論[3-4]和粗網(wǎng)節(jié)塊方法為理論框架的兩步法計算方案逐漸成為壓水堆工程計算中普遍采用的燃料管理中子學(xué)數(shù)值計算方法。兩步法中，堆芯計算所用燃料組件均勻化截面由全反射邊界條件下的單組件計算產(chǎn)生。柵格計算下的全反射邊界條件無法考慮燃料組件在實際反應(yīng)堆中徑向與軸向的中子泄漏，求得的中子能譜實質(zhì)上是無限介質(zhì)能譜。

無限介質(zhì)能譜的修正方法通常是采用泄漏修正模型[5-6]通過對堆芯幾何曲率的計算近似考慮中子泄漏對全反射邊界條件下單組件計算的影響，從而修正用于求解等效均勻化常數(shù)的中子通量密度分布。在泄漏修正模型中，通過對中子泄漏率的計算可得到下游堆芯低階輸運方程計算所用的擴散系數(shù)，即中子泄漏系數(shù)。

組件均勻化柵格計算中通常采用均勻泄漏修正方法對無限介質(zhì)能譜進行修正(基模修正)，這是由于組件均勻化計算把整個組件均勻化成一種“等效”均勻介質(zhì)，此特點完美契合均勻泄漏修正方法中組件各處中子泄漏率相等的設(shè)定。徑向及軸向的中子泄漏導(dǎo)致燃料組件中子“消失”的部分可由中子泄漏系數(shù)和幾何曲率表示。然而，在組件各處中子泄漏有較大差異且均勻化成多區(qū)“等效”均勻材料的情況下，均勻泄漏修正方法是不適用的。這是因為在此類情況下，中子射流效應(yīng)和中子能譜干涉效應(yīng)會對等效均勻化少群常數(shù)帶來較大的影響，而均勻泄漏修正模型無法描述多個均勻化區(qū)域之間的中子學(xué)差異。

在壓水堆燃料組件內(nèi)各處中子泄漏率相等的假設(shè)對于Pin-by-pin 均勻化計算[7-8]顯然是不合理的，尤其是當(dāng)燃料組件中存在可燃毒物棒、控制棒、水洞等特殊柵元時。非均勻泄漏修正模型[7]假設(shè)在燃料組件內(nèi)部中子通量密度和中子泄漏率在空間上是變化的，是一種更為精確的泄漏修正模型。由于柵元均勻化后的燃料組件與均勻化前的燃料組件之間存在一定的差異，因此非均勻泄漏修正模型在Pin-by-pin均勻化計算中應(yīng)用時必須與柵元均勻化技術(shù)搭配使用，以保證均勻化前后目標(biāo)問題的一致性。

本文在壓水堆堆芯Pin-by-pin均勻化計算中分別采用均勻泄漏修正模型及非均勻泄漏修正模型對組件計算的無限能譜進行修正，研究柵元均勻化方法和非均勻泄漏修正模型在Pin-by-pin均勻化計算中的聯(lián)合實現(xiàn)方式，并分析壓水堆堆芯Pin-by-pin均勻化計算中不同擴散系數(shù)來源對堆芯計算精度的影響。

1 方法

中子泄漏率主要受中子各向異性散射和中子射流效應(yīng)的影響。在壓水堆中，慢化劑內(nèi)大量輕核的存在導(dǎo)致中子各向異性散射非常嚴(yán)重，因此壓水堆泄漏修正模型中會精確考慮一階散射截面的影響；中子射流效應(yīng)是由于堆芯內(nèi)強非均勻性所引發(fā)的中子流動現(xiàn)象，在傳統(tǒng)組件均勻化計算中，整個組件被均勻化成一種等效均勻介質(zhì)，即假設(shè)組件內(nèi)不存在中子流動現(xiàn)象，這種泄漏修正方式即為均勻泄漏修正方法。在Pin-by-pin均勻化計算中，由于燃料柵元所處位置不同，水洞、導(dǎo)向管甚至可燃毒物棒等特殊柵元的存在，導(dǎo)致組件內(nèi)部中子射流效應(yīng)的影響無法再被忽略。區(qū)別于均勻泄漏修正方法的非均勻泄漏修正方法能有效處理空間各處不同的中子泄漏率并提供空間相關(guān)的中子泄漏系數(shù)。

在堆芯任意位置，中子通量密度可由其空間分布和基態(tài)分布構(gòu)成[9]：

φ(r，E，Ω)=Ψ(r)φ(r，E，Ω)

(1)

式中：r、E、Ω為空間、能量、角度；φ(r，E，Ω)為中子角通量密度分布；Ψ(r) 為中子通量密度空間分布；φ(r，E，Ω)為中子角通量密度基態(tài)分布。

由反應(yīng)堆物理基礎(chǔ)理論，在堆芯處于穩(wěn)態(tài)時，堆芯內(nèi)中子通量密度的空間分布滿足波動方程：

(2)

式中，B2為堆芯幾何曲率。

式(1)中，中子通量密度的基態(tài)分布是否與空間變量相關(guān)決定了泄漏修正模型的種類。如果與空間變量無關(guān)，稱為均勻泄漏修正方法；反之，則稱為非均勻泄漏修正方法。

1.1 均勻泄漏修正

均勻泄漏修正方法假設(shè)中子通量密度對空間變量與能量變量可進行變量分離，且中子通量密度基態(tài)分布呈現(xiàn)與空間無關(guān)的均勻分布，即式(1)可寫成如下形式：

φ(r，E，Ω)=φ(E，Ω)Ψ(r)

(3)

在有限均勻介質(zhì)內(nèi)，中子輸運方程如式(4)所示。考慮到壓水堆中各向異性散射的重要性，對散射截面進行勒讓德展開并舍棄2階及以上的高階散射截面，由式(3)、(4)可推導(dǎo)得到均勻泄漏修正模型的方程，如式(5)所示。

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(4)

(5)

(6)

式中：Σt(E)為宏觀總截面；Σs(E←E′，Ω←Ω′)為宏觀散射截面；χ(E)為中子裂變譜；φ(r，E)為中子標(biāo)通量密度分布；keff為反應(yīng)堆特征值；νΣf(E)為宏觀中子產(chǎn)生截面。

均勻泄漏修正方法在柵格程序中通常有3種模型：B1模型、P1模型和擴散模型。

1) B1模型：假設(shè)散射截面是線性各向異性散射，角通量基態(tài)分布沒有進行任何近似，方程組為式(7)。

(7)

2) P1模型：假設(shè)散射截面是線性各向異性散射，且角通量基態(tài)分布通過球諧函數(shù)展開后高于1階的展開項均設(shè)為0。方程組形式除系數(shù)γ(B，Σt(E))=1.0外，與B1模型相同。

3) 擴散模型：假設(shè)散射是各向同性散射，總截面采用輸運修正后的輸運截面，且角通量基態(tài)分布通過球諧函數(shù)展開后高于1階的展開項均為0。方程組形式除1階散射截面Σs1(E←E′)=0外，與P1模型相同。

均勻泄漏修正方法應(yīng)用于Pin-by-pin均勻化計算時，采用B1模型進行能譜修正，由于B1模型中除散射截面是線性各向異性散射假設(shè)外，未引入其他假設(shè)條件，能譜修正精度高于P1模型和擴散模型。計算中采用統(tǒng)一的中子能譜進行各柵元中子通量密度的能譜修正，堆芯所用擴散系數(shù)基于菲克定律由各柵元輸運截面計算得到。

1.2 非均勻泄漏修正

非均勻泄漏修正方法假設(shè)中子通量密度分布由其空間分布與基態(tài)分布構(gòu)成，且中子通量密度基態(tài)分布在空間上呈非均勻布置，如式(1)所示。在有限非均勻介質(zhì)內(nèi)，其中子輸運方程如式(7)所示。

對散射截面進行勒讓德展開并舍棄2階及以上的高階散射截面，由式(1)、(7)出發(fā)，通過源項各項同性近似、角度積分可推導(dǎo)得到非均勻泄漏修正模型的方程組，如式(8)所示。

(8)

(9)

(10)

非均勻泄漏修正方法中對各柵元的中子泄漏系數(shù)定義如下：

(11)

在Pin-by-pin均勻化計算中采用非均勻泄漏修正方法時，通過臨界曲率搜索計算求解式(10)，保證燃料組件處于臨界狀態(tài)。非均勻泄漏修正方法能計算得到單組件內(nèi)與空間相關(guān)的臨界能譜，并提供各柵元中子泄漏系數(shù)作為下游堆芯低階方程求解時的擴散系數(shù)。

根據(jù)Pin-by-pin均勻化理論模型，僅靠均勻化少群截面與擴散系數(shù)無法保證燃料組件均勻化前后反應(yīng)率、中子泄漏率以及特征值守恒，因此非均勻泄漏修正方法無法直接應(yīng)用于柵元均勻化后的組件問題。在非均勻泄漏修正計算前，柵格程序需計算包含不連續(xù)因子[10-11]或超級均勻化因子[12-13]在內(nèi)的等效均勻化常數(shù)以保證柵元均勻化組件問題與非均勻組件問題保持守恒。本文對非均勻泄漏修正采用離散縱標(biāo)方法(SN方法)進行求解，因此需提前產(chǎn)生針對SN方法的不連續(xù)因子。此處等效均勻化少群常數(shù)必須采用不連續(xù)因子而非超級均勻化因子，這是因為超級均勻化因子在均勻化理論中通過改變截面而保證反應(yīng)率守恒，間接影響非均勻泄漏修正計算得到的中子通量密度。中子通量密度的人為改變決定了包含超級均勻化因子在內(nèi)的等效均勻化常數(shù)無法用于臨界曲率搜索中的漸進能譜計算。利用SN方法對含有不連續(xù)因子的柵元均勻化組件問題進行非均勻泄漏修正方程組求解，產(chǎn)生各柵元的漸進能譜和泄漏系數(shù)。求解非均勻泄漏修正方程組后，采用漸進能譜對中子通量密度進行能譜修正，并重新產(chǎn)生Pin-by-pin均勻化少群常數(shù)。由于各柵元中用于能譜修正的漸進能譜各不相同，因此在非均勻泄漏修正后，等效均勻化常數(shù)的計算必須使用超級均勻化方法。這是因為柵元不連續(xù)因子的計算與柵元交界面上的凈中子流密度相關(guān)，交界面上凈中子流密度受相鄰柵元不同漸進能譜的影響而無法被唯一確定的漸進能譜修正，具體計算流程如圖1所示。本文基于廣義等效均勻化方法及超級均勻化方法進行柵元不連續(xù)因子[14]及超級均勻化因子[15]計算，并采用基于中子平衡的快速臨界曲率搜索方法進行非均勻泄漏修正計算。

圖1 非均勻泄漏修正計算流程Fig.1 Flow of heterogeneous leakage model

2 數(shù)值計算與分析

本文基于二維臨界堆芯問題進行數(shù)值計算，驗證與分析不同泄漏修正方法在壓水堆堆芯Pin-by-pin均勻化計算中的應(yīng)用效果。二維堆芯布置如圖 2所示，堆芯中各類型燃料組件的幾何結(jié)構(gòu)采用商用壓水堆中常用的AFA3G燃料組件，其富集度及可燃毒物棒數(shù)量示于圖2。

圖2 1/4壓水堆堆芯布置Fig.2 Layout of 1/4 PWR core

采用4種產(chǎn)生等效均勻化少群常數(shù)的計算方案，進而在全堆芯Pin-by-pin均勻化計算中加以分析和比較，在全反射邊界條件下，對單組件問題進行柵格計算，產(chǎn)生Pin-by-pin等效均勻化少群常數(shù)：1) 不帶泄漏修正模型(W/O)的柵格計算，其擴散系數(shù)根據(jù)菲克定律計算得到(DC)；2) 帶均勻泄漏修正模型(Hom)的柵格計算，其擴散系數(shù)根據(jù)菲克定律計算得到(DC)；3) 帶非均勻泄漏修正模型(Het)的柵格計算，其擴散系數(shù)根據(jù)菲克定律計算得到(DC)；4) 帶非均勻泄漏修正模型(Het)的柵格計算，其擴散系數(shù)由各柵元的中子泄漏系數(shù)提供(LC)。

二維臨界堆芯參考解由MOC一步法計算獲得，特征值keff參考解為1.0，棒功率分布如圖3所示。全堆芯Pin-by-pin均勻化計算的特征值誤差和棒功率相對誤差列于表1。

圖3 1/4壓水堆堆芯棒功率分布Fig.3 Pin-power distribution of 1/4 PWR core

表1 特征值誤差和棒功率相對誤差Table 1 Errors of keff and pin-power

由表1可知：1) 全堆芯Pin-by-pin均勻化計算采用相同擴散系數(shù)時，均勻泄漏修正方法與非均勻泄漏修正方法的修正效果相近。2) 均勻泄漏修正方法和非均勻泄漏修正方法采用由菲克定律計算的擴散系數(shù)時，統(tǒng)計結(jié)果的計算精度與不帶泄漏修正模型的相當(dāng)。為進一步分析比較不同計算方案下的計算效果，本文統(tǒng)計了全堆芯的棒功率誤差分布，如圖4所示。可發(fā)現(xiàn)，采用菲克定律計算的擴散系數(shù)時，泄漏修正模型能改善堆芯Pin-by-pin均勻化計算的整體功率傾斜程度。3) 擴散系數(shù)由非均勻泄漏修正方法中各柵元的泄漏系數(shù)決定時，全堆芯Pin-by-pin均勻化計算的精度顯著提高，特征值誤差保持在50 pcm以下的同時，棒功率相對誤差的均方根偏差與平均誤差都降低到1%以下。

由圖4可發(fā)現(xiàn)，帶各柵元中子泄漏系數(shù)的泄漏修正模型能降低最大棒功率相對誤差及其均方根誤差的同時，全面降低堆芯各處Pin-by-pin均勻化計算的棒功率相對誤差。最大棒功率相對誤差出現(xiàn)在燃料組件與反射層接觸的角點上，這是因為堆芯外圍燃料組件的真實邊界條件最不符合柵格計算采用的全反射邊界條件。

圖4 1/4壓水堆堆芯棒功率相對誤差分布Fig.4 Pin-power relative error distribution of 1/4 PWR core

3 結(jié)論

本文在壓水堆堆芯Pin-by-pin均勻化計算中采用非均勻泄漏修正模型對組件計算的中子能譜進行修正，研究了非均勻泄漏修正模型和柵元均勻化方法在Pin-by-pin均勻化計算中的聯(lián)合實現(xiàn)方式，并采用非均勻泄漏修正模型產(chǎn)生的中子泄漏系數(shù)作為各柵元擴散系數(shù)進行堆芯Pin-by-pin均勻化計算。數(shù)值結(jié)果表明，非均勻泄漏修正模型能有效提高壓水堆堆芯Pin-by-pin均勻化計算的精度。