數學的美學特征及其培養策略*

林芳羽 董曉梅 牟 丹 張麗春

（北華大學 數學與統計學院 吉林吉林 132013）

數學與藝術，一個因其嚴密的抽象邏輯見長，一個充盈了人們的心靈盛宴。近代科學家開普勒曾說過：“數學是這個世界之美的原形。”數學展示的原始過程是將冰冷的美麗轉化成火熱的思考。所以說，數學是有溫度的，嚴密的邏輯和理性的推導也是一種嚴謹美，數學與美學密切相關。伯特蘭·羅素 用以下文字表達他心中數學的美；“數學，正確看待時不僅具有真理，還具有至高的美—一種冷而嚴峻的美，一種毅力不搖的美，如雕塑一般，一種不為我們軟弱天性所動搖的美。”數學中的美學特征和教育意義也逐漸被人們重視。隨著基礎課改的不斷深入，只傳授學科基礎知識的形式已無法適應改革的需要，教育過程中應更體現教育的育人價值，需要我們滲透數學的美學價值和應用，以達到培養學生美育的要求。那么，到底什么是數學美學特征？教學中又該如何發掘和應用呢？

一、數學的美學特征

1.簡易美

2.對稱與和諧美

“對稱”一詞來自希臘，意思為“和諧”“美觀”。數學上的對稱美則更加追求其和諧的美感。這種例子十分常見，如我們接觸過的等腰三角形、矩形、圓等。除了在幾何方面的對稱，代數式子中也能凸顯對稱的特點，在高一學生接觸到抽象函數和奇偶函數后，能從式子上發掘對稱關系，又和圖像結合，數與形都隨處可以發現對稱的影子。再比如，高中接觸的二項式定理的內容，二項式的展開形式就是一種和諧的美，而構成的楊輝三角則更將數的對稱拓展到形的美觀。和諧美也更加傾向于形式上的美觀，黃金分割就是數學上一個經典和諧美的表達。此外，在小學教學中，分數的均分所體現的除法思想，就是通過圖像平均分配的具象思維來體會均分的含義，這也是一種和諧美的展示，相反，如果任意的分割，則會打破這種和諧。在離散數學中，數學形式和結構的對稱性、離散數學的命題關系中的對偶性、離散數學的方法中的對偶原理方法都是對稱美的自然表現[3]。

3.嚴謹美

數學的嚴謹性則是數學本身最具有特色的體現，縱觀數學發展的四次高峰，在以希爾伯特為代表的現代公理化時期，給人們留下了許多數學精品。特別是布爾巴基學派，更將形式主義推向了新的高峰[4]，數學是由一系列公理加以推理形成的，經過了嚴密的步驟和不斷推演形成了公式和定理。這種完備的公理體系和邏輯推理過程正是數學嚴謹美的體現。此外，數學的嚴謹性還體現在符號的嚴謹性。數學的內容也一直和嚴謹性相關。正是數學的嚴謹性，使得數學工作者求真務實，敢于追求真理的品質。這就是數學美的嚴謹價值所在，也是數學的魅力所在。

4.抽象美

“抽象”源于拉丁文中“abstractic”，本意為“排出” “抽出” 之意。抽象性也是數學的基本特質之一。首先，數學的抽象性包含很多方面，數學部分的研究內容是抽象的，研究方法是抽象的，數學思維也是抽象的，抽象性是數學的最基本的性質.數學家所研究的是抽象的事物，他們所采取的研究方法也是抽象的方法。其次，還在于數學原理的通用性和普遍性。這其實就是數學抽象，數學抽象從數量關系和空間形式抽象出數學問題的本質。?（χ+2）=?（χ-4）中。我們能從這個抽象的式子背后，發現其周期T=6，而從?（χ-2）=?（4-χ）中，我們能得出該抽象函數的對稱軸為X=1。這便是一種抽象的美感。

5.奇異美

奇異，意味著：一是新穎，具有其獨特的特性；二是新奇，令人贊嘆的美。數學中的奇異美，常因其外形結構奇特，使得很多數學熱愛者去探索數學美背后所蘊含的數學公理，看到了由數學所構成的奇異美感的世界，無疑推動了數學的進步。[4]例如，著名的狄利克雷函數也具有一系列奇異性質：沒有解析式、不單調、不連續，不存在極限、沒有最小正周期等。又如，153 是一個極為普通的數，但卻有許多有趣的性質：1+2+3+…+17=153，1!+2!+3!+4!+5!=153，這也是一種奇異美。離散數學中的集合可以表示為 {1，2}，（-1，2000），集合中的數字可以是隨意地讓我們感覺到無從下手的奇異美[5]。

二、對審美教育的培養策略

無論是數學的美學特征，還是數學的審美教學，在進入課堂一線上，其實際運用效果總是差強人意的。那么，如何在教學上具體凸顯其美學特征，培養學生。

1.了解數學文化，融入思政教育，豐富美學內涵

算意識和實際操作。從《周易》到八卦隨著教學改革的發展進程，越來越多的數學教師開始重視學生的學科知識多元發展的融合，學科核心素養概念的提出更是在之前的教育理念上有了質的飛躍，其突出強調個人修養、社會關系、家國情懷，更加注重自主發展、合作參與、創新實踐。因此，教師有必要在課堂之中融入思政教育。徐利治曾說過：“興趣和才能是互相促進的.而興趣的培養和發展，其最有效的途徑就是要多讀些富于啟發性的數學史書和數學家故事[6]。”因此，可以將思政教育與數學文化相融合，實現其精神價值、德育價值和審美價值。

2.化繁為簡，簡則易知，易則易從，體會數學的簡易美

正所謂，人人都有愛美之心。而數學結構形式（包括公式與各種關系 ）間的簡單性、規律性與對稱性等正好是美的象征，想要追求簡易美，在教學上要培養學生勤于計算的習慣，尋找問題的突破口，體會化繁為簡數學美的過程。這也契合數學核心素養中對于數學運算能力的要求。

比如，在高中講解三角函數的問題時，我們經常要去求函數的值域、周期、相位等。針對問題的第一步就是化簡，但現實情境中，學生往往不知道如何下筆，除了要強化學生的運算能力、數據處理能力，還要培養學生善于觀察的習慣，最重要的是教師要加以引導，將問題簡單化、思路明晰化，才是最后簡易美的目標。下面筆者拿具體的公式來舉例：

由于該章教學在初升高的第一個學期接觸，難免有些學生對此覺得難以掌握，同時，這部分內容還需考察學生的識記及運用能力。在接觸大量的公式中，如二倍角公式，半角公式，萬能公式覺得難以掌握，即便是背會也不會應用，所以教師需要帶領學生觀察公式的特點。通過觀察發現，在公式中普遍存在的一個規律：“降冪升角”即a→平房頂；2a一次項，所有的倍角公式可以由單角平方項進行互推。這樣講解的優點是：

第一，幫助學困生理解公式變換的思路，由降冪升角的特點就可以選擇公式，同時可以檢查自己化簡步驟是否有誤，可以避免一些運算上的失誤。

第二，減輕了記憶的負擔，通過公式的推演極大地減少了識記的內容。

第三，掌握了選擇公式的計算方法之后，便可以通過聯系進行初步應用，掌握了化繁為簡的能力，為后續學習提基礎。

因此，簡易美往往是數學解題中尋求答案的重要體現，簡易的數學步驟更能增強學生的解題能力。教學中要教授學生具體的學習方法，加以訓練，加強學生的動手實操能力，從而感受簡易美。

3.注重“挖掘—體驗”的教學過程

教學的過程是教與學的互動過程。教師在教授的過程中需要制定教學設計，所以，數學的美學教育也需要在教學過程中進行完備巧妙的設計，挖掘在前文的數學文化中已有涉及，在前期引入上發掘教材中的審美元素，創設情境，充分地利用好教參，培養學生審美的感知力。

數學解題過程中，強調“一題多解”“一題多變”就有著重要的美學意義。在某種程度上說，他們是數學審美意識的具體應用。通過解題過程中數學知識與數學方法的靈活多變，最終又能歸于統一與和諧，學生就能深切地體驗到數學的思維之美，變形之美，猜想之美，探究之美。

在教學過程中，重視直觀的現象教學，利用多媒體教學，向學生展示數學的動態過程，體會數學形成的動態美；重視數形結合的應用，在轉化中體驗數學美。

4.培養學生勇于探索的品質，落實數學美的深層次表達

除了帶領學生感受基本的美學特征以外，還需要達到數學教學美的四個層次，張奠宙曾闡述過數學美有四個層次即美觀、美好、美妙、完美。四個層次逐步遞進，從形式上的美觀到最后追求真理，追趕完美。

美觀。這里的數學美則更加指向形式上的追求，體現為對稱、和諧、簡潔，給人的感官帶來美麗簡潔的感受。這是數學美的直觀表達形式。

美好。如果說美觀是數學外在形式的美學表達，那么，美好則是其內容上的豐富和正確性，僅僅有形式上的美觀不一定就是正確的，也是不滿足數學的科學性和真理性，所以這就是數學美的第二個層次。

美妙。主要在于妙字，是一種出乎意料的結果，也可能解題中一種新路徑、新發現。這種美妙往往會給學習者帶來一種體會真理的快樂，所以，在教學中，教師應該鼓勵學生發散思維，不拘泥局限思維，鼓勵學生自行去發現解題的新方法，靠學生自行發現往往會給學生帶來最深的印象。我們可以去看這樣一道例題：

例：（2019·全國卷Ⅲ）設χ，у，z∈R，且χ+у+z=1.求（χ-1）2-（у+1）2+（z+1）2的最小值。

思路1：根據三維柯西不等式

思路2：利用三項平方和展開式可得，

延用一步平方和的展開公式進行替換，也能算出來最后答案。

其實，我們通過觀察三種解法，會發現運用柯西不等式解決該題是最為簡單的，但由于教材版本和地域的不同，有些學生對柯西不等式得掌握是比較模糊，或是掌握的是二維，無法類推到三維。因此，可以尋求多樣化的解法，解法2中是常規解法，利用了一步基本不等式進行帶入。最后，我們觀察同學做題時還發現此題可以類推到直線的距離公式當中，也是一種新穎的路子，可以拓寬學生的思維，引導其對知識的遷移和運用。

完美。完美是具有科學，嚴謹，追求完備極致表達是數學美的最高表達。數學史上有很多數學家為了追求數學真理不斷地進行計算，一便便推演，終于得出了正確的結論。正是這些人孜孜不倦的努力追求，才有了數學發展史的一次次飛躍。完美則體現了數學美學的最高涵義。所以，我們在數學學科上更要不斷勇攀高峰，拓寬思維，嚴謹務實，追求美的最高表達。