將數學建模思想滲入大學數學教學的探索

□李東方 劉會彩

隨著現代科學技術和互聯網的發展，大學數學作為一門基礎應用性學科所扮演的角色越來越重要，大學數學與各學科各專業的結合也越來越緊密，但是在大學數學教學中，數學作為工具性學科在實際生活中的廣泛應用沒有被廣大學生直接感知到。為此，在大學數學教學過程中，將所學的數學知識與實際生活緊密的聯系起來，將實際生活中真實存在的問題直接轉化成真正的數學問題，使實際生活走進大學數學課堂，有效合理地滲透數學建模思想[1]就顯得十分必要了。

一、數學建模的內涵

數學建?？擅枋鰹椋喊熏F實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題的過程[1]。

二、課堂教學中滲透數學建模思想的必要性

(一)培養大學生處理現實生活問題的能力。數學源于生活，又高于生活，是對實際生活的歸納抽象和總結概括。新時代的大學生有一個強烈的欲望——就是運用學到的知識來解決實際生活問題，或者解釋特定的社會現象，或者預測未來狀況，或者提供最優策略等等。學習大學數學課程也不例外，開設大學數學課程是針對不同學科不同專業將來學習的需要。數學建模思想的有效合理滲透，有助于提升廣大學生處理實際生活問題的能力。

(二)培養大學生的創新意識和創新能力。數學建模的一般步驟[2]：分析問題—作出假設—模型建立—模型求解—模型分析和檢驗—模型應用。對于同一個實際生活問題，不同的學生，思考問題角度不同，所用的數學方法不同，建立的數學模型也不同。即使他們建立的數學模型相同，不同學生的處理方法也不同。這就要求學生運用自己的所學和已有的經驗，充分發揮自身的想象力和創造力來解決現實生活問題——這就是創新意識和創新能力的培養。

(三)培養大學生的團隊協作能力。各級各類大學生數學建模競賽的開展，尤其是“高教杯”的舉辦。每年各大中專院校都會掀起一波數學建模競賽的高潮。數學建模競賽一般以小組為單位參賽，每個小組成員有三名學生和一名指導老師。數學建模競賽是團隊賽，這就需要小組成員之間互助互補，分工協作，聯合作戰。因此，教學中數學建模思想的有效合理滲透，有助于提升大學生的團隊協作能力。

三、大學數學教學中存在的缺點和弊端

(一)教學觀念沒有與時俱進。從目前科學信息技術的教育發展現狀態勢分析來看，作為基礎和工具學科的大學數學，對于培育各級各類知識型、技能型人才發揮的作用也越來越重要。但是在實際課堂教學中存在著許多理論性知識過強的教學現象，缺乏數學知識在實際生活中的有效應用，并且數學教師更多的注重知識局部化和模塊化的教學，而忽略了學科教學方法的行之有效的訓練方式，在課堂教學中大學數學教師多是采用一些典型的案例來直接進行模塊化教學，數學知識的應用缺乏生活中的背景素材，課堂教學沒有與時俱進。從實際的課堂教學實踐情況來看，教師過于注重大學數學知識的系統傳授，而忽略了教學方法的靈活多樣性。在考試中學生雖然可以取得優異成績，但是在遇到日常生活工作中的實際問題時卻出現了束手無策的尷尬現象，缺乏了在大學數學知識上的應用實踐意識和自主創新能力。由于國內學生中學階段受到傳統應試教育理念的嚴重影響，大學數學課堂教學仍然采用傳統的“填鴨式”教學，課堂教學中缺乏可操作性，學生的動手能力沒有充分發揮，課堂教學效果并不理想。教師在大學數學課堂教學中，只是單純進行系統知識教學，脫離了社會發展的需求，不利于提升廣大學生的學習興趣。

(二)教學方法不夠靈活多樣。靈活多樣的教學方法能充分提升廣大學生學習的主動性和積極性，同時也能使學生更快更有效地掌握大學數學知識，切實有效提升課堂教學效率。傳統的大學數學教學方法都是按教材知識的先后順序來進行，先引入概念定義，再介紹定理和性質，然后討論經典例題解決方法。這種按部就班的課堂教學方法，往往導致學生在課堂上的主動性、積極性不高，課堂教學氣氛相對沉悶、不夠活躍，學生自主、獨立思考的時間和空間缺乏，課堂教學往往達不到預期效果。因此，大學數學教師應根據現有的教材版本以及教學內容，查閱文獻資料中關于大學數學知識內容的數學建模素材，重構大學數學課程內容，進而在教學過程中合理有效滲透數學建模思想。

(三)教學手段單一。目前，大學數學課堂教學中教學手段單一問題仍然比較嚴重。大部分課堂教學仍然在傳統的教室里進行，采用以傳統板書為主的教學方式，教學進度緩慢，學習氣氛沉悶。這種傳統的課堂教學手段，學生參與度低，從而降低了學生學習的積極性和主動性，給課堂教學工作的順利開展帶來了諸多不確定因素。此外，隨著移動互聯網的快速發展，信息教學技術在不斷進步，多媒體教學、遠程網絡視頻教學、直播互動課堂等多種新型現代化教學方式的不斷創新發展，打破了學習時間和空間的雙重限制，教師也應當善于充分利用這些先進的教學技術手段，更新教育教學理念，以期充分提高廣大學生自主學習的主動性和積極性，提升廣大學生的自主創新能力。因此，在大學數學課堂教學中有效滲透數學建模思想能夠逐步提高廣大學生的課堂學習興趣，鼓勵廣大學生通過課堂知識學習與社會教學實踐有效地相結合，切實提升實際的課堂教學工作效率。

四、數學建模思想滲透的具體案例

大學數學中，有些理論例題比較抽象，不便于理解掌握，在課堂教學中可以選擇一些和實際生活相關的例子，通過數學建模來進行講解。

(一)一元函數導數與微分。在學習“一元函數導數與微分”的相關內容后，教師可以引入“易拉罐的形狀與尺寸問題”建立數學模型。具體而言，合理設計易拉罐的形狀與尺寸問題，對于提高易拉罐原材料的綜合利用率，降低生產成本，都有極其深遠的意義。試分析如何設計易拉罐的形狀和尺寸能使總成本最低。關于形狀：液體飲料的包裝形狀從美觀的角度出發，應選擇“柱狀”。市場上的易拉罐也大多數是圓柱體；關于尺寸：常見易拉罐的容量為330ml，因此在尺寸設計問題中，將問題簡化為在一個圓柱體體積固定不變的條件下，如何設計可使所用材料最少，最終歸結為求目標函數的最小值問題。通過認真分析這個實際生活問題，教師引導學生假設合適的變量，建立目標函數，然后利用導數求最值理論來解決這個“易拉罐尺寸問題”。通過數學建模思想的合理滲透，有利于學生進一步深入掌握教師所傳授的導數相關理論知識，并能運用這些數學知識來解釋、證明一些生活中的現象。

(二)微分方程中的應用。微分方程是大學數學的重要內容之一，微分方程不但在計算數學、幾何學、天文學等傳統學科中有著廣泛的應用，而且目前已經滲透到經濟學、環保學、控制論等領域。教師在課堂教學中講解微分方程理論時，應當聯系生活實際，合理進行數學建模。例如，相關統計表明，在目前人口政策不發生改變的情況下，中國內地總人口將在2030年左右達到峰值，人口總數約為14.5億～14.8億，然后開始出現總人口負增長。針對這一實際生活問題如何建立一個合理的數學模型來預測人口發展的總數呢？首先應當這樣假設，隨時間的變化，人口總數的變化是連續可微的；其次人口增長的總量在單位時間內與當時的人口數量是線性正相關的。教師可以引導學生運用微分方程理論來計算我國的人口增長率，以一階齊次線性微分方程理論為基礎建立數學模型。在課堂教學過程中，還可以通過對數學模型的進一步修正或者考慮實際問題影響因素的增多等，引導學生用所建立的數學模型來思考專業問題，拓寬學生學習的思維模式，這對提高當代大學生的創新意識大有裨益。

(三)連續與間斷的概念應用。數學的含義就是形象刻畫。大學數學的概念在其形成及發展過程中就蘊含著很多數學建模的思想。譬如，講解函數y=sin1/x在點x=0處連續性問題時，教師可以創設數學實踐教學，建立數學模型，讓學生利用Mathematica軟件，輸入簡單的命令語言可以得到y=sin1/x的圖像。通過圖像學生可以發現點x=0是函數y=sin1/x的第二類間斷點(震蕩間斷點)；同時，也可以發現當x趨向于0時，函數y=sin1/x的極限不存在。通過動手實踐可以使學生更加直觀深入地了解間斷點的概念。

(四)多元函數微積分理論的應用。在學習多元函數微積分理論等的相關知識內容時，教師可以通過具體例子闡述定積分定義的形成過程以及微元法在力學、幾何學、天文學等自然學科中的具體應用；教師也可以引入一些數學建模例子，將不規則物體面積的計算中的微元法思想充分體現出來；教師還可以介紹定積分微元法在工程學、經濟學中的應用。譬如布置邊際函數求最優化策略問題、曲線所圍圖形繞定軸旋轉體體積、求曲線弧的長度、變力沿直線做功等等和數學模型相關的數學習題，通過練習此類習題使廣大學生更好更深入地理解定積分“分割、近似代替、累加求和、取極限”的數學建模思想，也同樣能幫助廣大學生進一步了解掌握各種處理現實生活問題的數學方法，有利于教師更好地培養廣大學生運用所學數學知識解決實際生活問題的良好行為習慣。

五、結語

大學數學是職業院校理工科專業教學中不可缺少的組成部分，如何提高大學數學的教學質量對教師有著非凡的意義。將數學建模思想滲透到課堂教學中，能切實有效提高大學數學教學的綜合質量，進而提升廣大學生的實踐創新能力。數學建模的整個認識過程是培養學生想象力、邏輯洞察力、“雙向”語言翻譯綜合能力、創新創造能力、計算機應用能力和寫作與表述的能力等的綜合體現。為此，教師必須認識到數學建模思想的重要性，結合所教專業的最新研究成果，在大學數學教學中不斷滲透數學建模思想，為培養復合型創新性高技能人才作出應有的貢獻。