相互滲透，交叉作用
——論初中數(shù)學教學中數(shù)形結合思想的應用

◎謝榮君 （臨沂第十四中學，山東 臨沂 276000）

一、前 言

數(shù)形結合，簡單來說就是數(shù)、形之間的相互轉化.數(shù)學知識相對抽象，教師通過數(shù)形結合思想可以讓學生更好地理解數(shù)學知識，有助于學生構建完整的數(shù)學知識結構.數(shù)形結合思想還能促進學生的知識遷移，強化學生數(shù)學思維的發(fā)展，這對學生的數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展十分有利.因此，在日常教學中，教師應注重學生數(shù)形結合思想的培養(yǎng).

二、數(shù)形結合思想在初中數(shù)學教學中的作用

在初中數(shù)學教學中，教師落實數(shù)形結合思想具有十分重要的意義，其主要表現(xiàn)如下：

（1）促使學生形成完整的數(shù)學概念.為了方便學生對數(shù)學概念的理解，當前的初中數(shù)學教材省略了概念生成過程，這就使很多學生在學習概念時，只能通過死記硬背的方式進行記憶，這使他們難以深層次地理解數(shù)學概念的內涵，學習壓力比較大.實際上，初中數(shù)學有很多概念知識都是可以在實際生活中找到相關模型的，教師可以通過數(shù)形結合的方式，將這些模型的圖片呈現(xiàn)到課堂上，讓學生對其進行分析思考，促使學生在直觀的模型中感知到數(shù)學的意義，體會數(shù)學概念的價值，幫助學生把握概念知識本質，提升學生學習效果.

（2）優(yōu)化學生數(shù)學認知結構.數(shù)學認知結構是學生在數(shù)學學習中形成的知識結構模型，也是學生內化數(shù)學知識的體現(xiàn).在初中數(shù)學教學中，教師可以借助數(shù)形結合的方式，幫助學生將數(shù)學知識有序地整合在一起，促使學生系統(tǒng)化、整體化地學習知識，便于學生全面歸納知識，從而為學生解決數(shù)學問題提供良好的理論支撐.

（3）提高學生的數(shù)學學習興趣.由于數(shù)學知識內容多、理解難度較大，不少學生對數(shù)學產生畏難情緒，特別是對于函數(shù)這類比較抽象的數(shù)學知識，學生紛紛表示單靠自己的想象和已有的知識經(jīng)驗，很難準確掌握.數(shù)學結合思想可以將這些函數(shù)或方程以清晰、形象的坐標系或圖形的形式展示出來，將復雜的知識簡單化，從而使學生好理解、好掌握，自然減輕對數(shù)學學習的畏難情緒，增強數(shù)學學習興趣.

（4）提高學生分析問題、解決問題的能力.在解決數(shù)學問題的過程中，學生常常會陷入題干所給出的已知條件中，找不出解決問題的方法，容易出現(xiàn)面對函數(shù)問題只會依靠函數(shù)知識去解題，面對幾何問題只能調動幾何知識去解題的情況，實際上換一種思路往往會有“柳暗花明又一村”的感覺，而數(shù)形結合思想就是拐點.學生將數(shù)學結合思想滲透進題干已知條件之中，用形助數(shù)，用數(shù)解形，將數(shù)與形相結合，就可以用方程、不等式或函數(shù)解決有關幾何的問題，也可以用函數(shù)圖像或幾何圖形來解決有關函數(shù)或方程的問題，從而將復雜的問題轉變成簡單的問題，找到解決問題的關鍵.因此，在教學中，教師應用數(shù)學結合思想引導學生找出數(shù)與形的契合點，有效培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.

三、初中數(shù)學教學中應用數(shù)形結合思想的原則

在初中數(shù)學教學中，教師應用數(shù)形結合思想時，應該按照相應的原則進行，這樣才能獲得好的教學效果.

首先，要堅持直觀性原則.對于初中學生來說，他們的認知活動是以形象的事物、思維為出發(fā)點的.教師通過形象的方式將抽象的數(shù)學內容呈現(xiàn)出來，有助于學生深層次地理解問題.在數(shù)形結合思想中，“形”是通過直觀的幾何圖形來描述數(shù)學元素之間的數(shù)量關系的，屬于圖像表征.初中數(shù)學教師在教學中滲透數(shù)形結合思想時貫徹直觀性原則，能讓學生更加簡捷地處理問題，并且能促進學生思維轉化.

其次，要堅持循序漸進原則.初中學生在學習知識時，是從感性層次逐漸上升到理性層次的.教師在滲透數(shù)形結合思想時，應該堅持循序漸進原則，根據(jù)學生的認知，合理地設計教學活動，指引學生對知識進行逐層探索，為學生的良好發(fā)展提供保障.

最后，要堅持反復滲透原則.學生的學習并不是簡單地增長知識數(shù)量，而是其在自身現(xiàn)有知識的基礎上不斷重新構建、組織.因此，教師在教學中需要在不同的階段逐漸滲透數(shù)形結合思想，引導學生不斷擴充知識，并讓學生主動應用數(shù)形結合思想.學生在獲取新知識時，會結合自身的認知、發(fā)展需求對其進行反復理解、鞏固.數(shù)形結合思想是不可見的概括性知識.學生在理解數(shù)形結合思想時，需要從簡單到復雜，這就需要教師進行反復滲透.

四、初中數(shù)學教學中數(shù)形結合思想的應用策略

（一）以形助數(shù)

在數(shù)形結合中，以形助數(shù)，簡單來說就是通過形象、具體的幾何圖像對抽象、復雜的數(shù)量問題進行處理，借助圖像的性質來簡單處理抽象的代數(shù)問題.

例如，已知正實數(shù)a、b、c、d同時滿足兩個等式：a2＋b2＝c2和求證：ab＝cd.

由題干給出的已知條件：a2＋b2＝c2和以及勾股定理的逆定理，我們可以將題干給出的數(shù)式構造成圖形，畫出直角三角形和直角三角形斜邊上的高，即Rt△ABC，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于點D，可以得出BC＝a，AC＝b，AB＝c，CD＝d.經(jīng)過計算得出ab＝cd，于是解出這道題的正確答案.

這道題就是典型的以形助數(shù)，通過將題干中給出的“數(shù)”的性質和特點轉化成相對的“形”，使抽象的數(shù)量關系以清晰、直觀的圖形形式展示出來，從而用簡單的幾何方法解決了復雜的代數(shù)問題.

再如，小紅從O沿直線勻速穿過類似拋物線的拱橋達到C（如圖1所示），假設小紅在10 s 與26 s 的位置高度相同，那么小紅騎車從O到達C需要多長時間？

圖1

在這個問題中，學生是很難根據(jù)題意直接計算出答案的，因此教師可以引導學生對題目中給出的圖形進行分析.學生經(jīng)過觀察可以看出題目中給出的拱橋圖像就是一個拋物線，其解析式是y＝ax2＋bx.根據(jù)題目信息，小紅在10 s 與26 s 所處的位置高度是一樣的.假設小紅在10 s 達到A點，在26 s 達到B點，如圖2所示，以此為依據(jù)找出拋物線的對稱軸.在此基礎上，教師引導學生根據(jù)拋物線的對稱性計算出小紅從O到達C需要的時間.

圖2

由于A到B的時間為26－10＝16 s，D是AB線段的中點，因此A到D所需時間為8 s，即從O到達D的時間是10＋8＝18 s.根據(jù)拋物線的對稱性可以得出從O到達C的時間是2×18＝36 s.

在本題中，教師引導學生從已有的知識結構入手，讓學生將類似拋物線的拱橋看作一個拋物線，然后將拱橋問題轉變成已經(jīng)學過的拋物線問題，結合拋物線圖像、性質完成求解.在此過程中，學生需要用數(shù)形結合思想將抽象的代數(shù)問題轉變成具體的幾何問題，這對學生解題準確性的提升很有利.

（二）以數(shù)解形

在數(shù)形結合中，以數(shù)解形，簡單來說就是通過對幾何圖像進行認真觀察、分析，找出其中的數(shù)量關系，借助代數(shù)來處理幾何圖像問題.

例如，已知△ABC，D是△ABC邊BC上的點，E是△ABC邊AB上的點，連接AD和EC，使得△ABD和△ACD的周長相等，同時△CAE和△CBE的周長也相等.設BC＝a，AC＝b，AB＝c.求AE和BD的長.

在解答這道題時，我們通過題干中的已知條件“△ABD和△ACD的周長相等，同時△CAE和△CBE的周長也相等”可以寫出兩組等式，再采取化簡和等量代換的方式就可以求出AE和BD的長.

解答這道題就是運用了數(shù)學結合思想中以數(shù)解形的方法，雖然題干中給出的已知條件是比較形象的圖形，但是對于圖形的定量條件還是必須依靠代數(shù)來解決，從而實現(xiàn)無邏輯性的圖形通過轉化成為相對應的數(shù)，使圖形更清晰，更富有邏輯.

再如，某三角形的三個外角比是2 ∶3 ∶3，試判斷該三角形的形狀.

我們對本題進行分析可以看出，其雖然是幾何體，但是在解題中應用幾何方法是難以得出結論的，因此教師可以引導學生嘗試用代數(shù)的方式來解題.

我們可以設三角形的三個外角分別是2x、3x、3x，由于三角形的外角和是360°，可以得出2x＋3x＋3x＝360°，x＝45°，從而得出三角形的三個外角分別是90°、135°、135°，由此判定三角形的三個內角分別是90°、45°、45°，得出該三角形是等腰直角三角形.

在本題中，教師可引導學生對題目給出的信息進行分析，找出相關數(shù)量關系.在解題過程中，我們以三角形外角為背景，結合數(shù)形結合思想，可以很好地將幾何問題轉變成代數(shù)問題，這對學生解決問題十分有利.

（三）數(shù)形互助

數(shù)形互助強調代數(shù)與幾何的深入結合，使復雜問題能得到簡單處理.在處理一些復雜、綜合的問題時，教師可以引導學生通過數(shù)形互助的方式來完成解題，從而簡化學生的解題過程.

例如，如圖3所示，在△ABC中，AB＝5 cm、BC＝7 cm，∠B為直角.線段AB上，有一個點P從A點出發(fā)，按照1 cm／s 的速度向B運動；線段BC上，有一個點Q從B點出發(fā)，按照2 cm／s 的速度向C運動.問：（1）假設點P與點Q同時從A、B出發(fā)，經(jīng)過多長時間△PBQ的面積是4 cm2？（2）假設點P與點Q同時從A、B出發(fā)，經(jīng)過多長時間PQ的長度是5 cm？ （3）在第一個問題中，△PBQ的面積是否可以等于7 cm2？

圖3

在本題中，教師可以引導學生通過數(shù)形互助的方式來處理問題，促使學生更深層次地應用數(shù)形結合思想，強化學生對數(shù)形結合思想的認識.

（1）假設經(jīng)過xs 以后△PBQ的面積是4 cm2，結合題意可以知道P＝xcm，BQ＝2xcm，AB＝5 cm，PB＝（5－x）cm，由于△PBQ的面積是4 cm2，∠B＝90°，得出x）×2x＝4，得出x1＝1，x2＝4，對此結果進行論證，當x＝4 時，2x＝8，即BQ＝8 cm，但是題目中BC＝7 cm，不符合題意，因此得出x＝1，即點P與點Q同時從A、B出發(fā)，經(jīng)過1 s 后△PBQ的面積是4 cm2.

（2）假設經(jīng)過xs 后PQ＝5 cm，結合題意可以知道，AP＝xcm，BQ＝2xcm，AB＝5 cm，PB＝（5－x）cm，在Rt△PBQ中，根據(jù)勾股定理得出PB2＋BQ2＝PQ2，即（5－x）2＋（2x）2＝25，得出x1＝2，x2＝0，從而得出x＝2，即點P與點Q同時從A、B出發(fā)，經(jīng)過2 s 后PB長度是5 cm.

（3）假設經(jīng)過xs 以后△PBQ的面積是7 cm2，與（1）相同得出（5－x）×2x＝7，由于Δ＝25－28＜0，該方程無解，因此判斷△PBQ的面積無法等于7 cm2.

教師在滲透數(shù)形結合思想時，要特別注意數(shù)形之間的等價轉化，要保證圖形的精準性、完整性，要保證繪圖符合實際情況，這樣才能避免出錯.

（四）在歸納、總結中滲透數(shù)形結合思想

在初中數(shù)學教學中，教師滲透數(shù)形結合思想時應該結合具體的內容進行.同一種數(shù)學思想在不同學段、單元的呈現(xiàn)是比較分散的，沒有什么規(guī)律.因此，在教學中，教師需要在每一章、每一單元的歸納、總結中滲透數(shù)形結合思想，讓學生可以系統(tǒng)地感知數(shù)學內容，強化學生對數(shù)形結合思想的感悟.例如，正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)知識比較分散，每個部分的知識學習都需要融入數(shù)形結合思想，并且這些函數(shù)之間既有區(qū)別，又有聯(lián)系，學生在學習中容易混淆，因此教師需要在教學中不停、反復地指導學生歸納，讓學生可以在歸納中加深對數(shù)形結合思想的認識.初中數(shù)學教師在日常教學中必須意識到，數(shù)形結合思想的滲透一方面需要在課堂上進行，另一方面需要指引學生樹立良好的意識，增強數(shù)感，從而引導學生養(yǎng)成好的學習習慣.

五、總 結

在數(shù)學教學中，數(shù)形結合思想是一種十分常見的思想觀念.初中數(shù)學教師應注意學生數(shù)形結合思想的培養(yǎng)，指引學生靈活應用數(shù)形結合思想來解決數(shù)學問題.這樣不僅可以錘煉學生的數(shù)學思維能力，還能讓學生對數(shù)量關系、空間形式有更好的感知，有助于學生數(shù)學學習水平的提升，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升.