初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生合情推理能力培養(yǎng)研究

◎季鈴玲 （江蘇省南通市北城中學(xué)，江蘇 南通 226000）

一、引 言

合情推理能力是一種重要的數(shù)學(xué)思維能力，具體就是學(xué)生通過認(rèn)真觀察，仔細(xì)思考，并在科學(xué)探究及分析的基礎(chǔ)上，對(duì)相關(guān)問題形成深刻認(rèn)知，有效促進(jìn)其數(shù)學(xué)問題分析及解決能力的發(fā)展，助力其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.然而，現(xiàn)階段的初中數(shù)學(xué)教學(xué)多采用照本宣科式的教學(xué)模式，只注重知識(shí)的灌輸，卻忽視了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，嚴(yán)重限制了其數(shù)學(xué)問題分析及解決能力的發(fā)展.因此，如何才能有效地培養(yǎng)初中學(xué)生的合情推理能力、提升他們的問題解決能力值得深入探討.

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中合情推理能力培養(yǎng)的重要性

合情推理主要是指將人們的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)與感覺進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，并進(jìn)行可能性推理、論證及分析的一種數(shù)學(xué)思維方式，根據(jù)形式的不同可以分成類比推理、歸納推理等幾種推理形式.比如，由個(gè)別向特殊方向推理分析，或者由特殊向一般方向推理分析，可以靈活應(yīng)用比較、分析及觀察等方法來得到相應(yīng)的結(jié)論.在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師通過有計(jì)劃地培養(yǎng)初中學(xué)生的合情推理能力，有利于其運(yùn)用矯正、推廣、歸納、實(shí)驗(yàn)以及猜測(cè)等方式來對(duì)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化，并使學(xué)生可以快速歸納及總結(jié)必要的教學(xué)結(jié)論，這樣可以幫助他們快速理解及掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí).而在“統(tǒng)計(jì)與概率”“數(shù)與式”“空間與圖形”等部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)中，合情推理能力有利于幫助學(xué)生快速分析及解決相應(yīng)問題，對(duì)他們數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)發(fā)展以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)養(yǎng)成都有很大幫助.特別是借助合情推理能力，可以有效鍛煉學(xué)生的問題分析及解決能力，使他們可以在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)做到靈活自如，避免出現(xiàn)思維定式的問題，從而幫助他們更好地解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題.

三、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中合情推理能力培養(yǎng)的有效策略

（一）巧創(chuàng)真實(shí)生活情境，培養(yǎng)合情推理意識(shí)

良好的教學(xué)情境是調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情、助力他們高效開展學(xué)習(xí)活動(dòng)的一個(gè)重要教學(xué)手段.如果教師在教學(xué)中只考慮向?qū)W生灌輸數(shù)學(xué)課程知識(shí)，而忽視了學(xué)生這一學(xué)習(xí)主體的實(shí)際學(xué)習(xí)感受，那么容易使學(xué)生因?yàn)榭菰镏R(shí)的灌輸而逐步失去自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，這不利于促進(jìn)他們合情推理能力的發(fā)展.為了可以更好地培養(yǎng)及鍛煉學(xué)生的合情推理能力，教師可以從引導(dǎo)他們認(rèn)真觀看問題及開展深入思考出發(fā)，靈活地應(yīng)用情境創(chuàng)設(shè)法，結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，從貼近學(xué)生生活實(shí)際的場(chǎng)景中選擇教學(xué)素材，指導(dǎo)他們?cè)趯?duì)生活化問題進(jìn)行分析及推理論證的過程中深化對(duì)有關(guān)抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，或者對(duì)某些綜合性強(qiáng)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行快速解決，以此有效鍛煉他們的問題分析及解決能力.

例如，在學(xué)習(xí)“有理數(shù)的乘方”部分知識(shí)時(shí)，為了深化學(xué)生對(duì)這部分抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，使他們可以通過自主推理、論證及分析得到有理數(shù)乘方的性質(zhì)，教師可以為學(xué)生提供一條繩子并引導(dǎo)他們動(dòng)手進(jìn)行對(duì)折，讓他們?cè)趯?shí)踐操作過程中認(rèn)真觀察，積極猜想及推理論證.具體可以采取如下一些生活化的問題來啟發(fā)學(xué)生思維，促使他們逐步推理得到有理數(shù)乘方的性質(zhì).

（1）將手中的一條繩子進(jìn)行1 次對(duì)折，之后再進(jìn)行1 次對(duì)折，可以得到幾段繩子呢？

（2）如果將這條繩子連續(xù)進(jìn)行3 次、6 次、9 次和12 次對(duì)折操作，那么可以得到多少段繩子？ （基于這一問題，可以有效鍛煉初中學(xué)生的推理及歸納能力.）

（3）如果要想一條繩子通過對(duì)折操作變成512 段，那么要持續(xù)進(jìn)行多少次對(duì)折操作？ （反向提問，進(jìn)一步鍛煉初中學(xué)生的推理能力.）

（4）如果將大家劃分為8個(gè)小組開展小組比賽活動(dòng)，那么按照2個(gè)小組之間比賽一場(chǎng)的規(guī)則，最終總計(jì)需要開展多少場(chǎng)比賽？ （教師通過這一生活化問題，可以進(jìn)一步鍛煉及發(fā)展初中學(xué)生的類比推理能力.）

教師通過上述一系列貼近學(xué)生的問題情境創(chuàng)設(shè)，可以使學(xué)生在動(dòng)手操作、認(rèn)真觀察的過程中對(duì)抽象的有理數(shù)乘方性質(zhì)進(jìn)行逐步推理及論證，極大地提高了他們的學(xué)習(xí)效果，有效強(qiáng)化他們的合情推理意識(shí).

（二）應(yīng)用數(shù)量關(guān)系規(guī)律，發(fā)展合情推理能力

數(shù)與形構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的兩大元素，與二者有關(guān)的知識(shí)學(xué)習(xí)都是助力學(xué)生合情推理能力發(fā)展不可或缺的.以“數(shù)”為核心的量化關(guān)系或者函數(shù)關(guān)系等都是學(xué)生在分析數(shù)學(xué)問題或者解決實(shí)際問題時(shí)不可或缺的重要教學(xué)內(nèi)容，對(duì)支持學(xué)生高效思考、發(fā)展學(xué)生解題能力等有積極意義.實(shí)際上，現(xiàn)實(shí)生活中存在著許多有關(guān)數(shù)量關(guān)系的規(guī)律.為了有效鍛煉及發(fā)展初中學(xué)生的合情推理能力和論證分析能力，教師需要注意在教學(xué)實(shí)踐中有效融入有關(guān)的定理與規(guī)則等，并指導(dǎo)初中學(xué)生對(duì)函數(shù)、方程式等的實(shí)際發(fā)展趨勢(shì)或變化方向進(jìn)行主動(dòng)判斷、推理、論證及分析.這樣最終通過合情推理及分析找到正確的數(shù)量結(jié)果，從而有效促進(jìn)學(xué)生合情推理能力的發(fā)展.

例1十進(jìn)制是現(xiàn)實(shí)生活中比較多用的一種計(jì)數(shù)制，其中表1為二進(jìn)制和十進(jìn)制之間的對(duì)照表.結(jié)合表1，請(qǐng)推斷出二進(jìn)制“10101010”所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制應(yīng)該是多少？

表1

解析本道題是一道典型的推理論證題，求解中需要學(xué)生充分發(fā)揮自己的思維能力開展推理論證及判斷，并對(duì)相應(yīng)的問題展開深入分析，以此來快速確定問題的答案.表1給出了二進(jìn)制和十進(jìn)制之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.為了快速解決問題，學(xué)生需要進(jìn)行合情推理.這樣的問題分析及解決過程可以有效地鍛煉及發(fā)展他們的合情推理能力.

解10101010＝1×27＋0×26＋1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×2

＝128＋32＋8＋2＝170.

教師通過有效利用這些關(guān)于“數(shù)”的相關(guān)數(shù)學(xué)問題，可以指導(dǎo)學(xué)生在對(duì)相關(guān)數(shù)的量化關(guān)系進(jìn)行剖析的過程中明確有關(guān)數(shù)學(xué)問題分析的內(nèi)在本質(zhì)，同時(shí)可以在這個(gè)過程中鍛煉及發(fā)展他們自身的思維能力、合情推理能力與解題能力.但是在基于數(shù)量關(guān)系來指導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師需要保證問題呈現(xiàn)的直觀性，避免因?yàn)轭}干信息量過大而給學(xué)生剖析問題造成過大干擾，否則影響他們自身順利求解問題，影響其合情推理能力的發(fā)展.

（三）融合圖形直觀想象，有效調(diào)用演繹推理

“形”是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中另一個(gè)重要的組成部分，主要以圖像、圖形等為主，相關(guān)方面的問題剖析也是鍛煉學(xué)生抽象思維能力、助力合情推理能力發(fā)展的一個(gè)重要途徑.實(shí)際上，圖形是一種基本的數(shù)學(xué)知識(shí)展示形式，其比文本知識(shí)的直觀性更強(qiáng)，可以將某些抽象知識(shí)變得更加形象，對(duì)降低學(xué)生理解難度、提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)成效有很大幫助.如果教師可以在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中有效地利用直觀性比較強(qiáng)的圖形知識(shí)，那么可以使學(xué)生在積極開展深入思考圖形內(nèi)涵及基本特征的基礎(chǔ)上，有機(jī)結(jié)合合情推理和演繹推理，最終快速確定問題的結(jié)果，大大提高他們的問題分析及解決能力.

例2如圖1，已知某一系列圖形設(shè)計(jì)按照?qǐng)D①、圖②和圖③所示的規(guī)律進(jìn)行變化，那么后面圖④中總計(jì)有多少個(gè)三角形？

圖1

解析本道題是一道典型的推理論證題，圖①～圖③中的圖形變化都是有規(guī)律的，需要仔細(xì)觀察及推理論證才能夠發(fā)現(xiàn)其中的圖形變化規(guī)律，才能夠更好地對(duì)問題進(jìn)行分析及解決.通過對(duì)這一問題進(jìn)行分析，學(xué)生可以通過演繹推理來找到問題的答案.

解圖①中所包含的小三角形數(shù)目為1＋4

圖②中所包含的小三角形數(shù)目為1＋4＋3×4

圖③中所包含的小三角形數(shù)目為1＋4＋3×4＋32×4

通過上述推理分析可得：圖④中所包含的小三角形數(shù)目為1＋4＋3×4＋32×4＋33×4＝161（個(gè)）.

例3現(xiàn)有一組有規(guī)律的圖形，如圖2所示，圖（1）三角形數(shù)目是1個(gè)，圖（2）三角形數(shù)目是3個(gè)，圖（3）三角形數(shù)目是6個(gè)，第n個(gè)三角形中總計(jì)涉及多少個(gè)三角形？ （用包含n的公式進(jìn)行表達(dá).）

圖2

解析本道題是一道關(guān)于“形”變化的找規(guī)律問題，實(shí)際的求解過程需要學(xué)生通過認(rèn)真觀察圖2中各種圖形的變化規(guī)律來歸納及總結(jié)其中有價(jià)值的要素，以此構(gòu)建能夠輔助其解決問題的數(shù)學(xué)公式，最終實(shí)現(xiàn)在順利完成解題任務(wù)的同時(shí)，有效發(fā)展學(xué)生的合情推理能力.

解通過對(duì)圖2中各個(gè)三角形的線段增減變化進(jìn)行觀察發(fā)現(xiàn)，伴隨著線段增加所形成的三角形個(gè)數(shù)逐步增加，并且經(jīng)過歸納及總結(jié)最終得出結(jié)果是

在這一數(shù)學(xué)問題解決過程中，學(xué)生親身經(jīng)歷了歸納及總結(jié)的完整剖析過程，無形中鍛煉了他們的歸納能力和推理能力.

上述這些推理論證問題的解決及分析，可以有效鍛煉初中學(xué)生的問題分析及解決能力，有效鍛煉他們的邏輯思維能力與合情推理能力.

（四）巧用數(shù)形結(jié)合思想，鍛煉合情推理能力

作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合思想在輔助初中學(xué)生分析及解決數(shù)學(xué)問題、提高問題解決能力方面的作用非常突出.特別是針對(duì)那些抽象性、繁雜性等特性比較突出的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可以有效簡(jiǎn)化問題，從而快速找到解題的突破口與思路，這不僅可以助力其問題分析及解決能力的發(fā)展，還有利于鍛煉其合情推理能力和問題分析能力.因此，在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可以通過指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)及應(yīng)用函數(shù)圖像來鍛煉他們的歸納能力、類比能力、推理論證能力等關(guān)鍵能力，從而有效促進(jìn)學(xué)生合情推理能力的發(fā)展.

例如，在學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”部分知識(shí)時(shí)，為了使學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像形成深刻認(rèn)知，教師可以以圖形展示的方式進(jìn)行講授.如圖3所示，教師指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察圖像，可以使學(xué)生了解到函數(shù)f（x）＝3x轉(zhuǎn)變?yōu)閝（x）＝3x＋6 時(shí)，相應(yīng)的圖像需要向上移動(dòng)6個(gè)單位，或者向左移動(dòng)2個(gè)單位；而將函數(shù)f（x）＝3x轉(zhuǎn)變?yōu)閞（x）＝3x－6 時(shí)，相應(yīng)的圖像需要向下移動(dòng)6個(gè)單位，或者向右移動(dòng)2個(gè)單位.教師通過這樣的教學(xué)方式，可以幫助學(xué)生在認(rèn)真觀察及分析的過程中逐步歸納及總結(jié)函數(shù)圖像變化的基本規(guī)律，并且使他們意識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價(jià)值，大大提高了學(xué)生對(duì)一次函數(shù)圖像性質(zhì)等部分知識(shí)的理解效果，同時(shí)有效鍛煉了他們的合情推理能力.相較于傳統(tǒng)的知識(shí)講授，該種教學(xué)方式的應(yīng)用效果顯然更好，對(duì)發(fā)展初中學(xué)生的合理推理能力有很大幫助.

圖3

（五）加強(qiáng)推理論證訓(xùn)練，提高合情推理能力

俗話說：“熟能生巧.”要想持續(xù)提高初中學(xué)生的合情推理能力，離不開推理能力訓(xùn)練實(shí)踐活動(dòng)的開展.因此，教師在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意結(jié)合實(shí)際的教學(xué)情況，多為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一些運(yùn)用推理論證思維的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在開展合情推理實(shí)踐過程中提高他們的合情推理能力.

例4已知，基于除法本身為乘法算法的逆運(yùn)算，可知，之后再求解聯(lián)立①和②可知：，由此可以歸納出何種規(guī)律或結(jié)論呢？

針對(duì)這一推理問題的分析，教師可以指導(dǎo)學(xué)生有效調(diào)用已經(jīng)學(xué)過的基本算法，使學(xué)生利用字母來對(duì)相應(yīng)計(jì)算中的規(guī)律及結(jié)論進(jìn)行表達(dá)，即，相應(yīng)的解釋為甲數(shù)和乙數(shù)相除，等同于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù).在學(xué)生通過歸納、總結(jié)得到上述結(jié)論之后，教師可以帶領(lǐng)他們繼續(xù)對(duì)這一結(jié)論的真實(shí)性進(jìn)行論證，其間可以有效調(diào)用“除法商不變”這一性質(zhì)來進(jìn)行論證，具體如下：

在上式中，n、p和q均不為0.教師通過上述這種訓(xùn)練題的應(yīng)用，可以有效鍛煉初中學(xué)生的邏輯思維能力，尤其可以發(fā)展他們的合情推理能力.

（六）增加合情推理機(jī)會(huì)，發(fā)展合情推理能力

任何一種數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的發(fā)展都不是一蹴而就的，必須經(jīng)歷持續(xù)、反復(fù)的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練方可獲得.同理，在合情推理能力培養(yǎng)與發(fā)展實(shí)踐中，為了順利實(shí)現(xiàn)預(yù)定的目標(biāo)，學(xué)生離不開反復(fù)的合情推理能力培養(yǎng)及訓(xùn)練.在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以有計(jì)劃地結(jié)合初中學(xué)生合情推理能力培養(yǎng)的實(shí)際需求，適當(dāng)?shù)貫樗麄冊(cè)黾右恍┯欣诎l(fā)展他們合情推理能力的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生可以反復(fù)運(yùn)用自己的合情推理能力來剖析及解決問題，最終持續(xù)性地發(fā)展其合情推理能力.但是，在合情推理機(jī)會(huì)設(shè)置期間，教師必須充分考慮不同學(xué)習(xí)層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和基本學(xué)情等，確保滿足全體初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的需求，不能夠僅考慮部分學(xué)生的解題訓(xùn)練需求.

例如，在“平行四邊形的性質(zhì)”部分知識(shí)教學(xué)中，為了有效培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，在相關(guān)知識(shí)教學(xué)完畢之后，教師可以從發(fā)展學(xué)生的合情推理能力出發(fā)，針對(duì)性地設(shè)計(jì)一些具有層次的問題，從而借助多層次數(shù)學(xué)問題促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力和合情推理能力的全面發(fā)展.具體問題如下：

（1）如圖4，農(nóng)民伯伯手持一根長(zhǎng)度36 m 的繩子圍成一個(gè)平行四邊形的花園，已知AB邊長(zhǎng)是8 m，其他幾個(gè)邊長(zhǎng)各是多少呢？

圖4

（2）如圖5，已知某一平行四邊形中∠ACB＝40°，∠BAC＝60°，試求∠BCD與∠D.

圖5

（3）在某一平行四邊形ABCD中，假定∠A＝35°，試求∠B，∠C.

（4）現(xiàn)有一平行四邊形ABCD的某一個(gè)外角是46°，其各個(gè)內(nèi)角度數(shù)各是多少？

教師通過上述這些難度各不相同的數(shù)學(xué)問題，可以在指導(dǎo)學(xué)生分析問題的過程中有效鍛煉及發(fā)展他們的合情推理能力與解題能力.

四、結(jié) 語(yǔ)

合情推理能力是提高初中學(xué)生數(shù)學(xué)分析及解決能力中非常關(guān)鍵的一種思維能力.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透合情推理能力意識(shí)期間，教師可以從巧創(chuàng)真實(shí)生活情境、培養(yǎng)合理推理意識(shí)出發(fā)，靈活應(yīng)用數(shù)量關(guān)系規(guī)律，巧妙融合圖形直觀想象和數(shù)形結(jié)合思想，并加強(qiáng)推理論證訓(xùn)練，從而不斷提高初中學(xué)生的合情推理能力.