適度的探索空間，讓探究更有效

○王 英

《平行四邊形面積》是小學教學五年級上冊“多邊形面積”單元的起始課，在“圖形的面積計算”教學中起著承上啟下的作用，對于培養學生的問題解決能力、掌握轉化的數學思想方法、發展空間觀念和幾何直觀都有重要意義。在教學實踐中，一些教師由于為學生提供的探索空間不合適，從而導致學生的探究活動不能深入，本節課核心素養培養目標不能落實。

【教學回放】

師：（出示教材圖）這兩塊草坪到底哪個面積大呢？要解決這個問題就要研究平行四邊形面積該怎樣算，老師為大家提供了研究工具，大家可以數一數、量一量、算一算。

（學生開始探索，用時約8 分鐘。）

師：下面來交流一下你們的方法。

生：我用的是數方格的方法，數出了這個平行四邊形的面積是24 平方厘米。

師：給大家介紹一下你是怎么數的。

生：我先數整格的，一共有20 個，再數不滿一格的，一共8 個，把不滿一格的都按半格算，8÷2=4（個），20+4=24（個）。

師：這個平行四邊形比較小，可以數方格。大家想想，要是很大的一塊平行四邊形土地，還能數方格嗎？

生：不能。

師：看來不能光數方格，我們還得研究更一般的方法。誰來說說其他方法。

【診斷分析】

一些教師覺得數方格是個笨方法，數著慢、適用范圍小，因此在教學中常常一筆帶過，沒有為這種方法提供充足的探索空間，一方面數方格方法的引出不是基于學生的需求，另一方面方法的交流也不充分。出現這些問題，主要還是教師對這種方法的價值認識不到位，任何圖形的面積都是面積單位的累加，數方格就是數出圖形里含有多少個面積單位，從而得出圖形的面積。如果教師不過多提示和限制，如不提示不滿一格按半格計算，學生是可以探索出更簡便的數方格方法的，而把不好數的平行四邊形轉化成好數的長方形來數，恰好能激活學生割補轉化的經驗，為后面創造性地想出割補轉化方法打下基礎。

【教學重構】

師：考考大家的眼力，猜猜我手中這個平行四邊形紙卡的面積有多大。

學生隨意估測，有猜得比較接近的，也有差別較大的，教師接著引導學生思考“估”的標準。

師：1 平方厘米有多大？回憶一下。（然后把1平方厘米的面積單位和平行四邊形紙卡都放在展臺上）這回大家再猜猜。

師：現在有好幾種猜測了，誰猜得更準呢？怎么才能準確知道這個平行四邊形的面積有多大？你有什么好辦法嗎？

生：畫上1 平方厘米的小方格量一量。

師：哦，你是想畫上格子用面積單位去量一量。

生：量出這個平行四邊形的底和高，用底乘高就能算出面積了。

師：你的意思是用底乘高就能求出平行四邊形的面積。你怎么知道的？

生：看書預習的。

師：有些同學預習了，知道可以用面積公式計算出面積。假如不知道面積公式，怎么得出這個平行四邊形的面積呢？

教師設計了估測平行四邊形紙卡面積的問題，創設了“估”的情境，激發了學生“數”面積單位的需求，喚醒了學生以往面積概念學習的經驗，加深了學生對面積概念的認識。而想辦法得出平行四邊形紙卡面積，作為一個問題解決的探究任務提出來，激起了學生的探究熱情，為學生探索平行四邊形面積提供了具體的研究任務。

師：老師給大家提供了兩個同樣大小的平行四邊形，一個放在了方格紙上，一個是單獨的，再加上尺子和剪刀，都可以作為你們的工具，可以數、量、剪拼、計算，總之，想辦法得出這個平行四邊形的面積。不管用哪種方法，都要說明這樣做的道理。

（學生獨立研究5 分鐘左右，然后交流想到的方法。）

師：研究出這個平行四邊形的面積是多少平方厘米了嗎？

生：它的面積是24 平方厘米。

師：誰愿意到前面給大家講講你的方法？

生：把不滿一格的與右邊的湊成整格，然后數數一共是多少個整格。

生：我的方法好數，我把左邊多的三角形移到右邊變成長方形數。

生：我也是把左邊的三角形挪到右邊，接著計算，一行6 個格，共4 行，一共是6×4=24（個）小方格，每格1 平方厘米，24 格就是24 平方厘米。

生：我也是把平行四邊形變成長方形，然后用長乘寬求出長方形的面積。長是6 厘米，寬是4厘米，所以面積是24 平方厘米。

教師提出恰當的要求，為學生提供了主動思考的探究空間，使一些學生創造性地想出了解決問題的好辦法。充分的交流激活了學生的轉化經驗，為后面把沒有方格的平行四邊形進行割補轉化打下了基礎。

【教學回放】

師：除了數方格的方法，還有其他方法嗎？

生：我是把平行四邊紙卡從左邊這樣剪開，然后把左邊的三角形平移到右邊，就拼成了一個長方形。最后用長乘寬就能算出面積。

師：他的方法很好。還有其他的剪拼方法嗎？

生：我是這樣剪的，沿著平行四邊形中間的高剪，然后剪下一個梯形，平移到右邊，也拼成了一個長方形。

師：請大家看大屏幕，（結合課件講解割補轉化過程）任何一個平行四邊形，只要沿著它的高剪開、平移，都能拼成一個長方形。

【診斷分析】

在探究及交流割補轉化方法的過程中，探究空間過大，教師缺乏引導，導致學生思考不深入。“為什么要割補成長方形，而不是其他圖形？為什么一定要沿著高剪才能割補成長方形？”教師沒有啟發學生思考這些問題。“沿著其他的高剪能不能轉化成長方形？”這一問題也只是少數學生進行了思考，欠缺全體學生的嘗試。只研究了一個平行四邊形，就直接說任何一個平行四邊形都能轉化成長方形，是不嚴謹的，不利于培養學生的邏輯推理能力。

【教學重構】

師：除了數方格的方法，還有其他方法嗎？

生：把平行四邊形左邊多的這個三角形剪下來，挪到右邊，拼成一個長方形，量出長方形長6厘米、寬4 厘米，用長乘寬就能算出面積是24 平方厘米。

（1）師：為什么要把平行四邊形割補成一個長方形？

生：因為不會直接求平行四邊形的面積，但是我們會求長方形的面積，所以要把平行四邊形變成一個長方形。

師：把新問題轉化成舊問題，就會解決了。那要求的是平行四邊形的面積，他求的卻是這個長方形的面積，行嗎？

生：行，這個長方形和這個平行四邊形面積是相等的。把左邊多的三角形剪過來，就拼在右邊了，面積沒有變化。

（2）師：剛才他是在這兒剪一刀。我想問問，是隨便在哪兒剪都行嗎？

生：不是，這是平行四邊形的高，得沿著高剪才行。

生：不行，不沿著高剪不出直角，就拼不成長方形了。

（3）師：只能沿著這兒（指著通過頂點的高）剪嗎？還有沒有其他的剪法，也能拼成長方形？動手試試。

（學生展示沿著不同的高剪，都能剪出直角，平移后都能拼成一個長方形。）

（4）師：剛才大家把這個平行四邊形轉化成了長方形，是不是任意一個平行四邊形都能通過剪拼轉化成長方形？除了像這樣常見的平行四邊形，還有一些長得有點特別的平行四邊形。

（出示4 個形狀或放置位置比較特別的平行四邊形。）

師：下面大家都試一試，從中選擇1～2 個圖形，也可以自己畫一畫你認為比較特別的平行四邊形，然后進行研究。不用實際剪，把割補的想法用草圖表示出來就行。

（請一些學生展示并講解自己的做法。）

師：通過嘗試，我們發現任何一個平行四邊形都可以割補轉化成一個長方形。

教師適度的引領，使大部分學生在操作及思考中發現，轉化的關鍵是轉化前后面積不變，無論沿哪條高剪，都能把平行四邊形轉化成長方形。另外，因對特殊形狀的平行四邊形的關注，為學生提供了更充分的探究空間，讓推理更嚴謹，讓操作和思考更充分，能更好地促進學生對轉化思想的感悟，積累用轉化方法推導面積公式的數學活動經驗，同時發展學生的幾何直觀和空間觀念，提升數學核心素養。