立足整體結(jié)構(gòu)感悟運(yùn)算本質(zhì)
——新課標(biāo)視角下整數(shù)運(yùn)算教學(xué)分析

○李靜

數(shù)學(xué)知識(shí)具有整體性、結(jié)構(gòu)化和一致性的特征。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022年版）》）在課程內(nèi)容中提出：要通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，感悟運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，發(fā)展運(yùn)算能力和推理意識(shí)。課標(biāo)明確了數(shù)學(xué)運(yùn)算在學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展中的意義和價(jià)值，并分別在三個(gè)學(xué)段目標(biāo)中分層次提出了探索數(shù)的運(yùn)算的一致性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力和推理意識(shí)等目標(biāo)要求。

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)運(yùn)算主要是有理數(shù)的四則運(yùn)算、簡(jiǎn)單的代數(shù)式變形和數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單處理。然而這些恰恰是日常生活中最為廣泛的數(shù)學(xué)應(yīng)用，也是學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備能力。在有理數(shù)、實(shí)數(shù)乃至復(fù)數(shù)域內(nèi)，標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)算法則最終都可以分解為“每一步都只涉及一位數(shù)的計(jì)算”。因此，整數(shù)四則運(yùn)算是整個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算體系的基石。

整數(shù)四則運(yùn)算的課程內(nèi)容集中安排在第一、第二學(xué)段。《課標(biāo)（2022年版）》在課程內(nèi)容組織上特別強(qiáng)調(diào)，重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑。如何通過(guò)整數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)，感悟運(yùn)算本質(zhì)的一致性，感受數(shù)學(xué)知識(shí)整體性、結(jié)構(gòu)化的特征，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？

一、整體設(shè)計(jì)，構(gòu)建基于核心概念的知識(shí)體系

依托核心概念構(gòu)建關(guān)于整數(shù)運(yùn)算的知識(shí)體系，可以幫助學(xué)生更好地把握運(yùn)算的本質(zhì)。整數(shù)運(yùn)算部分涉及的數(shù)學(xué)概念很多，教學(xué)中應(yīng)圍繞哪些概念，引導(dǎo)學(xué)生“提綱挈領(lǐng)”構(gòu)建整數(shù)四則運(yùn)算的知識(shí)體系呢？

1.圍繞四則運(yùn)算的意義，構(gòu)建對(duì)整數(shù)運(yùn)算的整體認(rèn)識(shí)。

作為核心概念的四則運(yùn)算的意義是一個(gè)相互關(guān)聯(lián)的整體：把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫加法；求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算叫乘法；減法和除法分別是加法和乘法的另一種等價(jià)的表達(dá)方式。這樣，學(xué)生便建立了以加法為基礎(chǔ)的四則運(yùn)算意義的整體認(rèn)識(shí)。

2.依托十進(jìn)制計(jì)數(shù)法構(gòu)建對(duì)運(yùn)算算理和算法的整體認(rèn)識(shí)。

十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的兩個(gè)核心概念“位值概念”和“十進(jìn)概念”，是整數(shù)四則運(yùn)算的核心概念。下面多位數(shù)加法的豎式和橫式，基于位值原則和十進(jìn)原則分別呈現(xiàn)了多位數(shù)加法的算法和算理。

標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)算法則最終都可以分解為“每一步只涉及一位數(shù)的計(jì)算”，其根本原因就是整數(shù)采用了如上所示十進(jìn)位值制的計(jì)數(shù)方法。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生依托十進(jìn)制計(jì)數(shù)法、四則運(yùn)算的意義等核心概念，建立對(duì)整數(shù)運(yùn)算“一致性”的理解。即通過(guò)拆分和組合，計(jì)算一共有多少個(gè)一、十、百、千等十進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位。

3.對(duì)整數(shù)四則運(yùn)算的整體認(rèn)識(shí)，也可以遷移到對(duì)分?jǐn)?shù)、小數(shù)四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)中。

《課標(biāo)（2022年版）》在第三學(xué)段的學(xué)段目標(biāo)中提出：能進(jìn)行小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，探索數(shù)運(yùn)算的一致性。基于對(duì)整數(shù)四則運(yùn)算的理解，學(xué)生可以繼續(xù)構(gòu)建小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的知識(shí)。小數(shù)是整數(shù)十進(jìn)制計(jì)數(shù)方式的反向延伸，因此小數(shù)與整數(shù)的運(yùn)算算理相同，都是計(jì)算一共有多少個(gè)十進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位。分?jǐn)?shù)單位間的進(jìn)率不是十進(jìn)制的，但運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)換成等價(jià)分?jǐn)?shù)后，仍然是求相同分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)累加的結(jié)果。綜上，對(duì)整數(shù)運(yùn)算本質(zhì)的理解是學(xué)生繼續(xù)構(gòu)建分?jǐn)?shù)、小數(shù)四則運(yùn)算知識(shí)的基礎(chǔ)。

二、發(fā)展推理能力，落實(shí)核心素養(yǎng)發(fā)展的課程目標(biāo)

《課標(biāo)（2022年版）》將學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展作為數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的終極體現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

1.運(yùn)算能力的表現(xiàn)及內(nèi)涵。

數(shù)學(xué)思維在小學(xué)階段主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力和推理意識(shí)。《課標(biāo)（2022年版）》對(duì)運(yùn)算能力的表現(xiàn)和內(nèi)涵作了如下表述：運(yùn)算能力主要指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力。能夠明晰運(yùn)算的對(duì)象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系；能夠理解運(yùn)算的問(wèn)題，選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略解決問(wèn)題；能夠通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展。運(yùn)算能力有助于學(xué)生形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。較之2011年版課標(biāo)，《課標(biāo)（2022年版）》特別強(qiáng)調(diào)了對(duì)運(yùn)算程序背后的算理的理解，以理馭法，提出通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展。

2.多角度解釋算理，發(fā)展推理意識(shí)。

按照長(zhǎng)時(shí)記憶的類型分，算理知識(shí)屬于陳述性記憶，算法知識(shí)屬于程序性記憶。這兩種記憶存儲(chǔ)在不同的腦區(qū)，即便不理解算理，學(xué)生依然能根據(jù)算法規(guī)則進(jìn)行機(jī)械的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但是，這樣做無(wú)益于學(xué)生推理意識(shí)的發(fā)展。熟能生巧，熟也能生厭，沒(méi)有意義支撐的枯燥運(yùn)算訓(xùn)練，不僅不利于學(xué)生把握運(yùn)算的本質(zhì)，甚至?xí)?dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的厭惡。史寧中教授多次強(qiáng)調(diào)在運(yùn)算教學(xué)中要重視橫式，因?yàn)闄M式（算理）是對(duì)豎式（算法）的解釋，是運(yùn)算法則的推理過(guò)程。

教學(xué)中，教師應(yīng)采用不同的模型，從不同角度解釋算理，幫助學(xué)生建立算理與算法之間的關(guān)系，讓運(yùn)算過(guò)程有意義、有價(jià)值，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生推理意識(shí)的發(fā)展。

如：三年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)多位數(shù)乘一位數(shù)（圖1）。

圖1

三個(gè)學(xué)具從不同角度解釋了算理（橫式），側(cè)重點(diǎn)各不相同。小棒圖凸顯了整數(shù)的十進(jìn)原則（10 根湊成1 捆），點(diǎn)子圖將乘法與面積模型建立了聯(lián)系，而計(jì)數(shù)器則易于理解位值的原則。這樣可以將多位數(shù)乘一位數(shù)的算理與整數(shù)十進(jìn)制計(jì)數(shù)法、表內(nèi)乘法、整數(shù)加法、分配律等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)建立聯(lián)系。多維度地建立知識(shí)之間的聯(lián)系是理解新知，將新知納入長(zhǎng)時(shí)記憶的必要條件。建立的聯(lián)系越多，理解越深刻，記憶也越牢固，越有利于遷移。教師還要鼓勵(lì)學(xué)生個(gè)性化地設(shè)計(jì)算法，在對(duì)算理內(nèi)化并個(gè)性化設(shè)計(jì)運(yùn)算程序的基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化運(yùn)算方法，總結(jié)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔的算法，感受“標(biāo)準(zhǔn)”算法的意義和優(yōu)勢(shì)。

三、數(shù)形結(jié)合，構(gòu)建整數(shù)運(yùn)算的幾何模型

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)科學(xué)。《課標(biāo)（2022年版）》提出了發(fā)展學(xué)生幾何直觀的要求，強(qiáng)調(diào)要建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型。現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材非常重視用圖形解釋數(shù)量關(guān)系，給抽象的數(shù)賦予了直觀的意義。如二年級(jí)上冊(cè)用數(shù)軸模型解釋“8 的表內(nèi)乘法”，六年級(jí)上冊(cè)用面積模型解釋分?jǐn)?shù)乘法等。但是這些圖形的引入缺乏系統(tǒng)性和延續(xù)性，學(xué)生不容易將圖形與運(yùn)算建立關(guān)聯(lián)，形成構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀模型的自覺(jué)。

1.利用數(shù)軸模型、面積模型解釋四則運(yùn)算。

我們可以參考一些數(shù)學(xué)專著中的做法。如：伍鴻熙教授在《數(shù)學(xué)家講解小學(xué)數(shù)學(xué)》一書(shū)中給出的加法和乘法的模型（圖2）：從0 到1 的線段記作[0,1]，稱為單位線段，數(shù)1 稱作數(shù)軸的單位。整數(shù)4+5 表示線段[0，4]的長(zhǎng)度和[0，5]長(zhǎng)度拼接而成的線段的長(zhǎng)度。乘法建立面積模型，邊長(zhǎng)為1的正方形為單位正方形，矩形每行有5 個(gè)單位正方形，那么3 行這樣的單位正方形面積等于3×5，一共有15 個(gè)單位正方形。

圖2

R·柯朗在《什么是數(shù)學(xué)》一書(shū)中對(duì)加法和乘法給出了下面的幾何模型（圖3）。

圖3

如何將圖形一以貫之地引入整數(shù)運(yùn)算教學(xué)，幫助學(xué)生感受數(shù)運(yùn)算的一致性及數(shù)形結(jié)合的結(jié)構(gòu)美呢？教師可以根據(jù)學(xué)生年齡特點(diǎn)，從自然數(shù)的認(rèn)識(shí)開(kāi)始，建立基于學(xué)生認(rèn)識(shí)水平的幾何模型體系：第一學(xué)段用較直觀的數(shù)線圖（數(shù)軸）、點(diǎn)子圖；第二學(xué)段在學(xué)生認(rèn)識(shí)了面積和面積單位之后，用較為抽象的矩形模型。

2.面積模型在乘法教學(xué)中的應(yīng)用。

將兩個(gè)數(shù)的積解釋為矩形面積有著悠久的歷史，歐幾里得在《幾何原本》中想表述兩個(gè)數(shù)的乘積的想法時(shí)便直接表述為矩形面積（三個(gè)數(shù)的乘積表述為體積）。因此，利用面積模型解釋乘法的意義、法則等是發(fā)展幾何直觀的有效途徑。下面舉例說(shuō)明。

（1）點(diǎn)子圖解釋乘法的意義及乘法交換律。

二年級(jí)上冊(cè)表內(nèi)乘法第一課時(shí)教學(xué)“乘法的認(rèn)識(shí)”。教材呈現(xiàn)了這樣的問(wèn)題情境，“小朋友們坐過(guò)山車，每排坐2 人，共有7 排，過(guò)山車?yán)镆还灿卸嗌偃耍俊痹诹谐龀朔ㄋ闶胶螅處煴阒苯痈嬖V學(xué)生可以用2×7 或7×2 兩個(gè)算式解決上述問(wèn)題，但并沒(méi)有解釋為什么。如果將小朋友的座位圖抽象成直觀的面積模型——點(diǎn)子圖（圖4），學(xué)生可以通過(guò)變換觀察角度，橫著看或豎著看，直觀地理解乘法的意義及“為什么2×7=7×2”。

圖4

三年級(jí)上冊(cè)教學(xué)“兩位數(shù)乘一位數(shù)”，借助點(diǎn)子圖直觀地解釋豎式的算法（圖5），特別是十進(jìn)制和位值制在豎式寫(xiě)法中的體現(xiàn)。

（2）矩形面積解釋分配律和多位數(shù)乘法算理。

在四年級(jí)教學(xué)乘法分配律時(shí)，可以將點(diǎn)子圖進(jìn)一步抽象成矩形圖（圖6），對(duì)乘法分配律進(jìn)行更加直觀、一般化的表達(dá)。

圖6

面積模型還可以輔助教學(xué)數(shù)量更大、更復(fù)雜的多位數(shù)乘多位數(shù)。例如，計(jì)算26×14 =4×6+4×20+10×6+10×20，可以讓學(xué)生在下面的面積模型中找到豎式計(jì)算的每一步對(duì)應(yīng)的矩形面積（圖7）。

圖7

幾何模型可以給運(yùn)算的意義、步驟、算理、規(guī)律等以直觀的解釋。因此，教師應(yīng)系統(tǒng)地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用幾何模型解釋運(yùn)算，感悟運(yùn)算的一致性和本質(zhì)，發(fā)展幾何直觀和推理能力。

資料存盤(pán)

1.課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)整數(shù)四則運(yùn)算的要求。

學(xué)段目標(biāo)：第一學(xué)段能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整數(shù)四則運(yùn)算，形成初步的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和運(yùn)算能力。第二學(xué)段能進(jìn)行稍復(fù)雜的整數(shù)四則運(yùn)算，理解運(yùn)算律；形成數(shù)感、運(yùn)算能力和初步的推理意識(shí)。第三學(xué)段探索數(shù)運(yùn)算的一致性；形成符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、推理意識(shí)。

課程內(nèi)容：數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，數(shù)的運(yùn)算重點(diǎn)在于理解算理、掌握算法，數(shù)與運(yùn)算之間有密切的關(guān)聯(lián)。經(jīng)歷算理和算法的探索過(guò)程，理解算理，掌握算法。感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)。

2.整數(shù)十進(jìn)位值制的發(fā)展史。

公元前3世紀(jì)，印度-阿拉伯?dāng)?shù)字體系由印度人創(chuàng)造，后來(lái)經(jīng)由阿拉伯地區(qū)傳入歐洲。文藝復(fù)興時(shí)期,印度-阿拉伯?dāng)?shù)字體系的寫(xiě)法與現(xiàn)在的寫(xiě)法幾近一致，并在隨后的數(shù)世紀(jì)傳遍世界，成為今日世界通用的數(shù)字體系。

印度-阿拉伯?dāng)?shù)字是一種十進(jìn)位值制的數(shù)字體系。0～9 十個(gè)數(shù)字符號(hào)不但有絕對(duì)的值，而且有位置的值，數(shù)字符號(hào)在不同的“位”表示基數(shù)不同的量，這樣用十個(gè)記號(hào)就可以表示無(wú)窮無(wú)盡的數(shù)。