略論數學教學中的“傾聽歷史”

陳雨晴　韓粟　汪曉勤

摘要：在數學教學中，傾聽并不局限于師生之間、生生之間，還包括通過數學內容與古人建立聯系，即“傾聽歷史”。教師應該引導學生開放、包容地對待古人的數學見解，站在古人的立場看待數學知識。“傾聽歷史”除了幫助學生形成對數學知識更為深刻的認識，還在教學中發揮了數學史的德育價值。“傾聽歷史”的做法包括：分析古今差異，理解數學知識；探尋古人錯誤，提升學習信心；體悟古人思想，把握數學本質。

關鍵詞：數學史；數學教學；傾聽；數學理解；學科德育

一、 引言

立德樹人是當今教育的根本任務，而數學教育則承載著落實這一根本任務的重要功能。培養“德才兼備”型人才自古以來都是我國的教育理想，所謂“才德全盡謂之圣人”。而“圣”在《說文解字》中的解釋為“通也，從耳呈聲”，可見“圣人”是善于傾聽的人。猶太民族經典著作《塔木德》也告誡人們，應該用兩倍于說話的時間去傾聽。可以說，“學會傾聽”是數學學科德育的重要內容。

著眼于學生、教師和教學內容這三個教學的基本要素，已有的關于數學課堂中“傾聽”的討論集中在學生與教師、學生與學生之間，著眼于當下存在的生命體，而忽視了教學內容這一重要的因素，也忽視了當下的學習者與創造數學知識的古人的關系。日本學者佐藤學認為，學習包含同教科書（客觀世界）的相遇與對話。在數學學習中，學生時常迷失在書本的概念、方法、命題里；以考試為導向的教學迫使學生在短時間內快餐式地攝入大量知識，而來不及消化，更談不上吸收；書本知識及教學內容對學生而言，如同浮光掠影一閃而過。同時，除了未能深入教材編寫者的心靈去理解教材之外，學生也缺乏傾聽知識創造者的意識，從而未能與古人形成有效的對話，而與古人數學發現的精彩之路漸行漸遠。為了更好地理解數學內容，學生不僅需要傾聽教師、同伴，還應該傾聽知識的創造者。

有研究者指出：“‘傾聽教育學的思想取向側重將‘傾聽視為研究和問題解決，旨在探索人的思想或觀念誕生和發展的奧秘。”對于數學學習而言，古人的思想觀念已成為數學史的一部分，故而數學史可以搭建學生和古人溝通的橋梁，成為我們傾聽知識創造者的重要通道。由此，“傾聽歷史”是數學學習中“學會傾聽”的重要組成，不僅體現了參悟古人的思想方法以解決數學問題的智育價值，而且彰顯著摒棄以自我為中心的思維習慣，學會尊重和包容的德育價值。

鑒于此，本文以數學史為抓手，探討數學教學中“傾聽歷史”的意蘊，提出數學教學中“傾聽歷史”的路徑與方法，并通過案例說明具體的實踐過程，以期為今日教學提供參考。

二、 數學教學中“傾聽歷史”的意蘊

（一） “傾聽歷史”的基本內涵

“傾聽歷史”是站在不同時代、不同文化的立場下對數學知識和數學意義的內化和理解過程。“傾聽歷史”要求我們對數學知識和數學文本保持開放的態度，旨在有效地與古人形成對話，進而產生思維的碰撞、智慧的交流。狹義的傾聽，意即“側耳而聽之，同時還要用心細聽”，不僅涉及感覺，還涉及思維這一更為復雜的認知過程。耳是傾聽過程的媒介，聽覺系統通過耳對外界的刺激進行信息編碼和加工，而聽者在這個過程中用心用腦、積極思考。顯然，我們已經無法在物理上聽到古人的聲音，因此，“傾聽歷史”超越了傳統意義的以耳為介，強調的是心靈的感受、精神的領悟。這要求我們跳出先入為主的觀念，以尊重和包容的態度對待古人的數學見解。

（二） “傾聽歷史”的哲學審思

從哲學上看，“傾聽歷史”注重史料的源初性，強調清除偏見而不虛推古人，以實現在精神上與古人處于平等的對話地位。審視東西方的傾聽哲學可以發現，中國的文化傳統自古便對傾聽有著深刻的認識，傾聽哲學蘊含的智慧烙印在中華民族的文化基因中。其中，道家的傾聽哲學是體現中華民族崇尚傾聽文化的典型代表。道家講究大道無形、大音希聲，并將聽分為三個境界：耳聽、心聽和神聽。老子認為：“上學以神聽，中學以心聽，下學以耳聽。以耳聽者，學在皮膚；以心聽者，學在肌肉；以神聽者，學在骨髓。”耳聽停留在感官察覺，依聲循跡；心聽依賴于“我可以理解”的已有經驗進行表征的判斷和推求；唯有神聽才可以讓事物不受干擾地顯露本來面目，保持原始狀態的敞亮，神聽是體悟道的奧秘的過程。“傾聽歷史”追求神聽之境，關注對數學本質的洞悉，以實現數學思想的交融和個人智慧的通達為目標。

而西方的文化脈絡中，“視覺中心主義”長期占據思想的主導地位，直到近現代，傾聽思想的地位才逐漸提升。以海德格爾、伽達默爾、杜威為代表的哲學家在反思傳統哲學的基礎上探討傾聽思想的價值和意義，傾聽文化隨之呈現多元發展的生機。海德格爾指出：“為了清除偏見，我們必須下定決心去傾聽。傾聽使我們超逾所有傳統習見的藩籬，進入更為開闊的領域。”清除偏見（避免標簽化、臉譜化）是為了更好地認識與思考，其本真態度便是傾聽。傾聽更意味著理解與領會，要“以一種謙卑的態度向他者敞開”，“只有回到一個人或事物自身的歷史與其存在的環境，我們才可能真正理解它”。對于數學學習而言，如果僅關注和記憶外顯形式下精致而完善的概念、命題、公式等，就難以理解它們內隱的深刻思想。只有回到數學知識產生的歷史背景，以平等尊重的態度看待數學家們的工作，體悟他們的思想精髓，才能有效地傾聽古人，也即實現對數學知識和數學意義的理解和領會。

伽達默爾則提醒我們：“并不是說，傾聽某人講話或閱讀某個著作時，我們必須忘掉所有關于內容的前見解和所有我們自己的見解。我們只是要求對他人的和文本的見解保持開放的態度。”數學本身具有相對性，不同時空和不同文化造就了多元化的數學思想。就像歐氏幾何中的三角形內角和等于180°，而羅氏幾何中的三角形內角和小于180°，黎曼幾何中的三角形內角和大于180°一樣，非歐幾何的出現并不能否定歐氏幾何的合理性，因為數學家們是站在不同的立場去創造不同的幾何體系的。數學公理未必就是絕對正確的真理，只是“對數學對象的性質的約定”。同一個數學研究對象也可能呈現不同的定義。比如，在古希臘時期，橢圓是以平面與圓錐的截線來定義的，而在17世紀之后，橢圓的第一定義“平面上到兩定點的距離之和為常數的動點軌跡”，第二定義“平面內到定點的距離與到定直線的距離之比為常數的動點軌跡”，第三定義“平面內與兩定點形成的直線的斜率乘積為定值的動點軌跡”相繼登上歷史舞臺。事實上，我們對數學一直處于探索中，理應開放而辯證地看待各種不同的數學見解，更應站在知識產生的時代背景中與數學家們對話，傾聽數學家們的心聲。而數學史是人創造的，因此，也成為我們傾聽古人的媒介。

（三） “傾聽歷史”的教育價值

回到數學教育，“傾聽歷史”有助于彰顯數學史的德育價值。著名教育家蘇霍姆林斯基始終關注學生傾聽能力的培養。他認為，傾聽能力是一種觀察能力，作為傾聽的觀察具有“提升道德的敏銳性和促進智力發展”的價值。數學教育是促進學生智力發展的重要載體，同時能幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必需的數學知識、技能、思想和方法。“傾聽歷史”使我們能夠在古人的數學研究歷程中汲取經驗，同時為我們提供了研究數學或其他學科的思考方向，數學史的智育價值通過“傾聽歷史”得以發揮。然而，未融入數學史的數學教學也能促進學生的智力發展，讓學生獲取一定的數學知識，此時“傾聽歷史”所具備的更為獨特的意義是什么呢？未融入數學史的數學課堂喪失了許多精彩的德育素材和資源，因此，“傾聽歷史”彰顯數學史德育價值從而落實學科德育方面的意義顯得至關重要。

數學往往給人留下“聰明者的游戲”“天書”等印象。課堂中，學生不追問知識產生的動因而機械記憶數學公式、疲于應付考試的現象屢見不鮮。學生如果對數學持有自卑和抗拒的態度，以應付考試為學習的第一要務，怎能真正地理解數學、學好數學呢？“傾聽歷史”旨在改變學生對數學和數學家“遙不可及”的固有印象。從“畢達哥拉斯悖論”到“貝克萊悖論”再到“羅素悖論”，數學的發展經歷了三次危機，可見其并非一帆風順；同樣，數學家們研究數學的過程也是艱辛和曲折的，比如納皮爾（J.Napier，1550—1617）二十年如一日地制作對數表，難以想象他面對如此繁雜的計算克服了多大的困難。這些歷史能夠讓學生明白：即使是某個時代最偉大的數學家，他們的認識也存在局限性；數學并非天外來物，如今呈現的一個個結論都是數學家們通過嘔心瀝血的研究得到的。“傾聽歷史”同樣要對古人保持尊重的態度。比如，負數的概念在如今的中學階段便能夠被學生所理解，但古人卻花了幾千年去認識它，而我們不能自認為古人愚蠢或我們比古人高明。“傾聽歷史”同時要摒棄以自我為中心的思維習慣。比如，現在我們習慣于將方程寫作等號的一邊為0的形式，而從歷史上看，古人并未采取這種寫法，那么學生在解方程時一定要化為等式的一端為0的形式嗎？“傾聽歷史”能夠讓學生體悟到，數學是一門具有探索性、演變性、發展性的學科，在學習數學知識的同時，也應該學習數學家們追求真理、勇于創新、堅持不懈的精神。“理性、情感、信念和品質”等數學史德育要素，通過“傾聽歷史”，能夠更好地滲入課堂，使課堂更富人文性，進而能夠促進學生在知、情、意、行上全面發展。

綜上所述，“傾聽歷史”溝通了學生認知能力和非認知能力的發展。數學的學習，絕不局限于表層數學知識的理解和深層數學思想的領悟，還需要關注數學背后的“人”，需要關心數學家們和數學研究者們在“做數學”時的想法。對數學背后“人”的元素的觀照能夠反哺數學的學習過程，使學生實現對知識的深刻理解。

三、 數學教學中如何“傾聽歷史”

（一） 分析古今差異，理解數學知識

米山國藏曾言：“數學中的許多重要概念從它最初的原始狀態，隨著時間的推移，由于種種原因而被一次一次地擴張、推廣，結果成為像今天這樣廣泛而精確的概念。”數學定義、命題等的古今差異成為學生認知過程的障礙。“傾聽歷史”就是要回到知識發展的關鍵歷史階段，在了解當時數學家們對數學知識的見解后，再來思考古人的想法與我們相異的原因，從而充分理解數學知識。

比如，現今的教科書中，對數的定義通常是：若a^x=N（a>0且a≠1），則數x叫作以a為底N的對數（logarithm）。對數是學生難以理解的數學概念。對數的“對”是什么含義？對數的中英文名稱有什么來歷？這些問題都困擾著學生。而對數概念發展至今，其定義的形式已經出現了巨大的變化，對數原本的含義以及對數蘊含的數學思想也難以在現今的定義中窺見。對數由納皮爾發明，納皮爾是基于等差和等比數列之間的對應關系來研究對數的，納皮爾還構建了一個運動的幾何模型來解釋這種對應關系。對數的“對”實為幾何級數和算術級數之間的對應；而“logarithm”來源于“logos（比）”和“arithmos（數）”的組合，這里的比是等比數列的公比，數便是公比的個數。在那個時代，納皮爾發明對數的動機是簡化計算，將大數的乘除轉化為加減；同時，納皮爾是在前人研究雙數列的基礎上進一步探尋對應關系蘊藏的運算法則的，對數的思想來源也是前人的研究。在當時，指數概念尚未成型。而歐拉認識到“對數源于指數”，并明確指出對數和指數的互逆關系時，指數的概念與符號已經被世人所熟悉。以冪指數形式定義的對數已經和誕生時的原貌迥然不同，從冪指數形式的定義中難以看到對數產生的動機和對數的含義，甚至還容易讓人產生“指數比對數出現得更早”的誤會。“傾聽歷史”，分析古今差異產生的原因，可知：（1） 納皮爾是以前人對雙數列的研究為基礎發明的對數；（2） 在納皮爾時代，指數概念尚不清晰，又何談讓人們意識到指數與對數的互逆關系呢？

再如，古今對正弦定理的證明也有很大的差異。如今的教科書中，利用向量或三角形面積等證明正弦定理是主流方法。這些方法都很簡潔，無須增加過多的輔助線。而最早證明正弦定理的是納綏爾丁（NasirEddin，1201—1274）。他的做法是：

如圖1所示，在△ABC中，延長BA于點E，延長CA于點G，使得BE=CG=R；分別以B、C為圓心，BE、CG為半徑作圓，與直線BC交于點J、I；分別過點A、E、G作直線BC的垂線，垂足分別為D、F、H。

其中，EF=sinB，GH=sinC，由△ABD∽△EBF，△ACD∽△GCH可得AB∶AD=BE∶EF=R∶sinB，AD∶AC=GH∶CG=sinC∶R，將上述兩個等式相乘可得AB∶AC=sinC∶sinB。

傾聽納綏爾丁的心聲，為什么他會產生利用相似三角形證明的想法？為什么他會構造半徑相等的圓？因為在當時，三角函數是以與圓相關的一些線段來定義的，其本質是線段，而值與圓的半徑相關。在以幾何研究為主流的時代，相似三角形是產生線段比例很好的工具，而正弦定理實際上就是某些三角形中線段的比例關系。隨著時間的推移，三角函數的三角比定義走進人們的視野，而正弦定理的面積證法便基于三角比的關系。繼續往后，隨著人們對向量的認識逐漸深入，正弦定理作為向量的應用也應運而生。也許，從現在的視角出發，證明正弦定理無須作出過多的輔助線。但是，體會二者之間的差異，我們發現，不是納綏爾丁不懂求簡，而是三角函數的定義存在古今差異；同時，納綏爾丁充分踐行了當時主流的對三角函數的研究思路，即將其放在圓中考慮。

“傾聽歷史”，分析古今差異，即要縱觀數學知識的歷史脈絡，將數學知識放在產生的時代中去理解。或許數學知識的原意在一代又一代的發展中被“遮蔽”起來了，我們要做的便是借助數學史進行“解蔽”。

（二） 探尋古人錯誤，提升學習信心

“只有那些從來也沒有嘗試過新事物的人才會永遠不犯錯誤。”這句常被認為是出自愛因斯坦的引言，提醒人們不要害怕在研究的過程中犯錯誤，因為謬誤與真理時常相伴。數學史的用途之一是向學生揭示曾經阻礙過進步的概念困難和錯誤。“傾聽歷史”便要探尋數學家們出現不恰當的或錯誤的數學理解的成因，因為根據歷史相似性原理，數學家們出現的錯誤也可能是學生在數學學習中容易陷入的困境。從教師的立場看，學生或許犯錯了，可是從古人的立場看，學生只不過經歷了概念理解的一個必然階段。從古人的想法中得到的啟發，能夠幫助教師理解學生，也能促進學生樹立積極、正面的數學學習信念，提升學生的數學學習信心。

學生容易理解錯誤或認知不完善的數學概念，在歷史上往往也經歷了漫長的發展，經過一代又一代數學家們不斷地修正，最終才呈現完善的定義。

例如，畢達哥拉斯學派曾經錯誤地認為無理數（不可公度量）不存在。那是他們過于迷信經驗（直觀）帶來的普遍認識，沒有意識到邏輯（理性）的力量和價值，沒有充分形成理性的信念。

又如，棱柱在《幾何原本》第11卷中被定義為“由一些平面構成的，其中有兩個面是相對的、相等的、相似的且平行的，其他各面均為平行四邊形的立體圖形”。圖2顯然是該定義的反例，而已有研究表明，學生也容易憑借幾何直觀形成與此棱柱定義相似的錯誤認知。

“傾聽歷史”，探尋古人錯誤，即要了解數學家們的錯誤是怎么產生的，并對他們的數學見解秉持開放包容的態度。在課堂中，學生的錯誤認知或許正與歷史上數學家們的理解契合，借助數學史，學生也會更加辯證地看待這些錯誤認知。

（三） 體悟古人思想，把握數學本質

“數學的邏輯結構的一個特殊的和重要的因素就是數學思想，整個數學科學就是建立在這些思想的基礎上，并按照這些思想發展起來的……數學的各種方法是數學最重要的部分。”流于表面的數學學習會讓學生喪失在精彩的思想方法中汲取精神養分的機會，“傾聽歷史”便要了解數學家們的思想方法和數學發現過程，做到知其然，知其所以然，知其何以所以然。古人的某些思想方法在今日看來并未過時，并且是教學的絕妙素材。正如法國數學家拉普拉斯所言：“讀讀歐拉，他是我們所有人的老師。”先人的經驗能夠開闊我們的視野，同時，理解先人的思想方法也是理解數學本質的必經之路。

例如，“數學是研究數量關系和空間形式的科學”，數與形是數學主要的研究對象，數形結合思想可謂貫穿整個數學課程（尤其是高中數學課程）的思想主線之一，而解析幾何融幾何直觀與代數運算于一體，充分彰顯了數形結合的思想。“傾聽歷史”便要挖掘數形結合思想與解析幾何誕生的關系以及這種思想在解析幾何中蘊含的數學本質。數形結合思想古已有之。比如，“形數”是古希臘時期畢達哥拉斯學派的重要研究對象，體現了以形表數和以數馭形——形數之間的互相表征。而法國數學家笛卡兒（R.Descartes，1596—1650）也是站在前人的肩膀上創立的解析幾何。16世紀，法國數學家韋達（F.Viète，1540—1603）系統地引入代數符號并豐富了方程理論，從而推動了代數學的發展。韋達試圖用代數方法來解決幾何作圖問題，并且認為線段的加減乘除可以由代數符號表示，從而轉化為代數運算。笛卡兒《幾何學》的第一卷以長度將線段和數量聯系起來，意圖將幾何問題代數化，并用方程表示線段之間的關系，而第二卷則將平面上的點與坐標（x，y）對應，化曲線為含有未知數x、y的方程。笛卡兒察覺到“代數的一些內容缺乏直觀性”，并認為“歐幾里得幾何缺乏動感和想象力”，而立志建立“一種集代數與幾何兩門學科的優點于一身而能去掉兩者的缺點的新學科”。

數形結合思想是產生解析幾何的關鍵，“解析”意即用代數方程來研究幾何問題。從幾何研究的角度來看，傳統幾何學側重于定性地演繹圖形的性質與相互關系，而解析幾何則借助代數方程定量地分析圖形的性質與相互關系。這種轉變實際上包含了在數學內部將純幾何研究對象進一步抽象為代數研究對象的過程，并通過建立方程模型來刻畫幾何圖形的性質與相互關系。笛卡兒的思想實際上經歷了史寧中教授所說的“抽象—推理—模型”的過程，而這個過程更是彰顯了數學家的理性精神。同時，笛卡兒的數形結合思想所體現的對數學本質的見解也值得我們學習。他說：“所有那些旨在研究順序與度量的科學，都和數學有關。至于所求的度量是關于數的呢，形的呢，聲的呢，還是其他東西的呢，都是無關緊要的。”②對于今日的解析幾何教學而言，數形結合思想不是“建設限代化”（“建立坐標系—設出相關點—限制條件—代入方程—化簡”）這句口號所能簡單地概括的。學生應該了解化常量為變量在實現由靜態幾何到動態幾何的過程中的作用，應該體悟數形結合思想助力幾何實現由二維平面到高維空間突破的價值。

“傾聽歷史”，體悟古人思想，意味著對數學本質的思考。每一個數學概念的誕生都并非一蹴而就的，我們除了要知其然，知其所以然，知其何以所以然，還應該看到知識背后數學家們的火熱思考，學習他們的理性精神。

總之，我們對數學的認識，不應停留在表面所呈現的知識上，還應該涉及做數學的“人”，從數學家身上學習理性、求真、創新、執著等精神，進而獲得對數學更深刻的見解。

（陳雨晴，華東師范大學教師教育學院。韓粟，華東師范大學教師教育學院。汪曉勤，華東師范大學教師教育學院，教授，博士生導師。主要從事數學史與數學教育研究，致力于HPM研究、實踐、傳播和人才培養。著有《數學文化透視》《HPM：數學史與數學教育》《數學史與初中數學教學：理論、實踐與案例》《數學史與高中數學教學：理論、實踐與案例》等。）