排隊論在地鐵自動售檢票系統中的應用

趙華偉，魏子越，張炳森，邊 毅

（1.北京市地鐵運營有限公司，北京 100044；2.北京城建設計發展集團股份有限公司，北京 100037；3.北京市軌道交通建設管理有限公司，北京 100068）

近年來，隨著國內經濟的快速發展，作為城市交通建設中重要的組成部分——軌道交通建設得到了快速的發展。城市軌道交通是一種安全、舒適、快捷、準時、環保的大能力客運交通工具。軌道交通網絡的形成，將極大地方便人們的出行。而自動售檢票（AFC）系統在軌道交通中已經是不可或缺的重要部分，成為體現和衡量軌道交通信息化水平的重要標志。AFC系統是一種基于計算機、通信、網絡、自動控制等技術，實現軌道交通售票、檢票、計費、收費、統計、清分、管理等全過程的自動化系統。目前，國內在建和已建的地鐵中，都配置了AFC系統。

1 常規方法計算AFC終端設備數量

1.1 AFC設備數量確定的重要性

地鐵AFC終端設備一般包括自動售票機（TVM）、半自動售票機（BOM）、自動檢票機（GATE）等。自動售票機設于車站非付費區，用于乘客自助式購買單程票，可接受硬幣、紙幣等支付方式，并在乘客售票操作時能以紙幣或硬幣型式找零。半自動售票機是輔助售票員來處理各種售票和問詢業務，包括為乘客提供售票、車票分析、充值、替換、更新、退款、掛失、查詢等功能。自動檢票機包括進站檢票機、出站檢票機、雙向檢票機和寬通道檢票機4種，其可對乘客手持的各類車票進行讀寫操作以及合法性確認，并能在乘客出站時回收相應車票或者扣除車費，同時顯示余額。

在地鐵AFC系統設計中，TVM、BOM、GATE的數量及位置確定是至關重要的問題。因為這直接影響著地鐵的服務質量，在強調以人為本的今天，地鐵作為城市大容量交通的主體，不僅要保證運輸量，同時還需保證服務質量。軌道交通服務質量的主要內容有方便性、迅捷性、舒適性、經濟性。舒適性除了滿足乘客乘坐舒適外，還要減少乘客進站、出站排隊等待時間。AFC終端設備都是直接面向乘客的人機界面，人們在設備上進行操作時都需要一定的時間。尤其在早晚高峰時段，這些設備的服務能力達到飽和卻仍滿足不了乘客的持續增多，排隊長度大大加長，乘客等待時間也相應增加，從而影響地鐵服務質量。

1.2 常規方法計算AFC終端設備數量

如表1所示為某站早、晚高峰時段雙向上下車人數，將此人數乘以高峰小時系數K，取K=1.2，可以得到客流量，如表2所示。

表1 典型車站早晚高峰客流量Tab.1 Statistics of morning and evening peak passenger flow of a typical station

表2 乘以高峰小時系數后典型車站早晚高峰客流Tab.2 Morning and evening peak passenger flow table of a typical station multiplied by the peak hour coefficient

在早、晚高峰小時客流中，取其上、下車人數的較大值，將其平均分配到站廳4個方向的出入口（在實際情況中，可以按照各出入口的預測客流百分比分配）。下面先來計算進站檢票機的數量：

其中：A表示設備裕量，取A＝1.2；

t表示時間60 min；

B表示設備的通行能力，取B＝25人/min；

N表示進站檢票機的數量。

代入數值，得出N＝2.224 4,將其向上取整，可得N＝3。

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出站檢票機的計算方法與進站檢票機的計算方法類似。但是前者還考慮了列車的行車間隔，主要是出站客流為分時集中到達，為了滿足乘客在一定的時間里能夠順利出站，而不至于下次列車到達的乘客與本次列車的乘客發生擁堵，對地鐵的安全造成影響。出站檢票機的數量計算如下：

擬定列車行車間隔為3 min，乘客一次性出清時間設為1.5 min，設備裕量A可取A＝3/1.5＝2；代入數值得出N＝3.86，將其向上取整，得N＝4。將之前計算的進站檢票機與出站檢票機都乘以2，可得出該車站最后配置的進站檢票機的數量為6通道，出站檢票機的數量為8通道。

從以上的計算方法可以發現其中存在的問題主要是：只考慮了乘客總的出清情況，不能預計排隊的隊長、等待時間等影響服務質量的重要信息。

2 排隊論方法計算AFC終端設備數量

2.1 排隊論計算AFC終端設備數量的可行性

排隊論（Queueing Theory）又名隨機服務系統理論，是研究擁擠現象的一門數學學科，它通過研究各種服務系統在排隊等待中的概率特性，來解決系統的最優設計和最優控制。排隊是日常生活和工作中常見的現象，例如：上下班坐公交車，等待公交車的排隊；病人到醫院看病形成的排隊；在售票處買票形成的排隊；也有一些無形的排隊，比如多人同時打電話訂購飛機票等。一個排隊系統的基本模型如圖1所示。

圖1 排隊系統的一般模型Fig.1 General model of queuing system

排隊系統可以分為3個部分：輸入過程、排隊規則和服務機構。常見的輸入過程有定長輸入、泊松輸入、愛爾朗輸入。其中泊松輸入是應用最為廣泛的。排隊規則是指服務是否允許排隊，乘客是否愿意排隊，在排隊等待的情形下服務的順序是怎么樣的，這樣可以分為損失制、等待制和混合制。服務機構涉及服務臺的數目和乘客所需服務時間服從的概率分布等。在地鐵AFC系統中，乘客進站、購票、查詢等操作都是需要一定時間，而當客流量增大時，排隊現象自然發生。這樣排隊現象產生了服務質量提高與系統設備利用率提高之間的矛盾，換言之，產生了乘客的需求和服務機構規模之間的合理平衡問題。如何合理地設計與控制隨機服務系統，使得它既能滿足乘客的需要，又能使服務機構的花費最為經濟，這是排隊論的研究目的。所以在地鐵AFC系統設計中，應用排隊論來解決優化問題非常必要，因為它不僅可以計算出最優設備數量，還能計算排隊長度、乘客等待時間等重要服務質量指標，為決策者分析和改進排隊系統的性能提供有效數據。

2.2 排隊論計算AFC終端設備數量的方法

乘客到達和離開分別構成排隊系統的輸入與輸出過程流。到達分布和離開分布確定了到達系統和離開系統的乘客數這兩個隨機變量的分布。求解排隊系統有關數量指標問題，首先要確定乘客到達流的概率分布，即在一定的時間間隔內來k個乘客的概率是多大。其次是要確定乘客離開流的概率分布，即在一定的時間內服務完k個乘客的概率是多大。由此可以得出排隊論基本模型，常用的模型用符號表示有：M/M/1/∞、M/M/C/∞、M/G/1/∞等。其中M表示乘客到達時間服從負指數分布，C表示服務臺的數目，G表示服務時間服從一般分布。由于受數據資料的限制，不妨把乘客到達地鐵乘車的隨機事件流，看為近似泊松流，排隊模型為M/M/C/∞，因為該隨機事件流近似服從如下3個特點。

1）平穩性

平穩性是在一定時間間隔內，來到服務系統有k個顧客的概率僅與這段時間區間隔的長度有關，而與這段時間的起始時刻無關。

2）無后效性

在不相交的時間區間內顧客到達數是相互獨立的。即在時間區間[a，a＋t]內來到k個顧客的概率與時刻a之前來到多少個顧客無關。

3）普通性

指在足夠小的時間區間內只能有一個顧客到達，不可能有兩個及兩個以上顧客同時到達。

具有以上3個特點的隨機事件流，稱為泊松流，其概率分布特性如下：

公式（3）中：P(k)——在計數間隔t內到達k個乘客的概率；

λ——單位時間的平均到達率或單位距離的平均到達率；

t——間隔時間或間隔距離；

e——自然對數的底，取值為2.718 28。

在統計平衡的條件下，可以得到平均隊長為：

其中ρ=λ/μ，μ為服務時間是負指數分布的參數。建立了確定的排隊模型后，可以代入具體數值進行計算相關數據。在表2中早高峰小時上車人數為5 561人，服從參數λ＝93人/min的Poisson流，乘客通過進站檢票機的服務時間服從參數μ＝25人/min的負指數分布，乘客進入地鐵站，其選擇任何一個隊列排隊的機率是相等的，那么通過計算可以得出：

由上可以看出，當進站檢票機通道數目為5時，其相關服務質量指標要明顯優于通道數目為4時，而當進站檢票機通道數目為6時，其布置顯得比較浪費。而此客流數據由前面常規方法計算得出的進站檢票機為6通道，比排隊論方法多1通道。所以采用排隊論方法不僅能直觀體現乘客服務質量，較科學地布置自動售檢票設備數量，且相對于常規方法更節省投資。同理按照類似的方法，可以計算半自動售票機、自動售票機的合理數量。

3 結論

采用常規方法計算終端設備數量時，只需要高峰小時的客流量、設備平均服務時間等統計數據；而采用排隊論方法時，需要較多的統計數據來擬合、確定乘客到達所服從的分布、設備服務時間所服從的分布等，因此前期的數據預測、統計非常重要。

在地鐵AFC系統設計中，常規方法計算終端設備數量雖然需要的數據較少且計算過程簡單，但其能得出的可供決策用的數據有限。而采用排隊論方法能方便地計算出排隊長度、服務時間等重要指標，對AFC終端設備數量的配置以及設備位置的布置都有很強的指導性。