循環式行星滾柱絲杠副的自由度與運動學分析

侯紅玲，李 巧，王艷茹，趙永強,2

（1.陜西理工大學 機械工程學院，漢中 723001；2.陜西省工業自動化重點實驗室，漢中 723001）

0 引言

行星滾柱絲杠副作為一種將旋轉運動轉換為直線運動的新型高精度傳動部件，目前運用高速傳動、螺距大、高精度等場合，而循環式行星滾柱絲杠副更適用于空間小、螺距小的場合。在行星滾柱絲杠副理論研究方面，Velinsky等建立了SPRS運動學分析模型[1]；岳琳琳等基于有限元仿真研究了行星滾柱絲杠動態特性[5]；靳謙忠等基于行星滾柱絲杠運動簡圖分析了傳動原理及運動關系[6]；祝明路等在建立標準式行星滾柱絲杠空間機構簡圖的基礎上分析了標準式行星滾柱絲杠的自由度[7]；韋振興等人依據行星齒輪傳動原理，對行星滾柱絲杠副的相關設計變量進行參數優化分析[8]；徐強等人建立PWG型絲杠副的傳動分析模型計算了差動式絲杠副的導程，試驗測量了導程誤差，驗證了傳動模型的正確性[9]；韓敏等建立了絲杠和滾柱之間的相對滑動速度的數學模型，分析研究行星滾柱絲杠副的滑動特性[10]；馬尚君等采用顯式動力學算法，對行星滾柱絲杠副運轉時的動態特性進行分析[11]。

上述文獻的研究對象均為標準式和差動式行星滾柱絲杠副，而未曾涉及循環式行星滾柱絲杠副，關于循環式行星滾柱絲杠副設計的相關報道僅限在國外極少數產品樣本中。與標準式行星滾柱絲杠副相比，循環式行星滾柱絲杠副采用無螺旋升角的環槽狀滾柱，取消了滾柱與螺母之間的齒輪副，增加了實現連續運動的復位凸輪，由此增加了運動的復雜性和容易出現運動不連續的缺陷。

本文以循環式行星滾柱絲杠副為研究對象，基于約束螺旋和機構學理論，建立循環式行星滾柱絲杠副的空間機構運動模型，分析計算循環式行星滾柱絲杠副的機構自由度和運動參數，分析各構件的運動關系，研究相關參數對實際導程的影響，基于ADAMS運動仿真軟件，驗證循環式行星滾柱絲杠副的工作原理合理性。

1 循環式行星滾柱絲杠副的結構組成和工作原理

循環式行星滾柱絲杠副的結構如圖1所示[12]，由絲杠、保持架、復位凸輪、螺母、滾柱等構件組成，與標準式行星滾柱絲杠副相比，保持架替代了內齒圈，滾柱結構形式發展為無螺旋升角的環槽狀滾柱，保持架使多個滾柱沿絲杠軸線呈圓周狀均勻分布。

圖1 循環式行星滾柱絲杠副結構圖

當滾柱完成一個周期的轉動后，在保持架內到達極限位置，正好對應螺母內部的讓位槽位置處，同時螺母端部固定的復位凸輪使滾柱復位，回到起始的位置，使滾柱實現往復循環運動。在復位過程中，滾柱始終與螺母的讓位槽處嚙合。標準式行星滾柱絲杠副是將空間運動等效為行星齒輪傳動機構運動的平面機構[13]。

循環式行星滾柱絲杠副則是在標準式行星滾柱絲杠副的基礎上進行演化，絲杠1視為太陽輪，滾柱2視為行星輪，螺母3視為中心輪，保持架H視為行星架，復位凸輪4與螺母3固定。

圖2 循環式行星滾柱絲杠副平面機構簡圖

2 循環式行星滾柱絲杠副的自由度計算

為了分析循環式行星滾柱絲杠副的空間運動規律，特進行自由度驗算。空間機構的自由度計算一直缺少準確公式，而運用約束螺旋理論[14]定義這些約束能夠更加準確的分析自由度，提出了修正的Grübler-Kutzbach 公式。通過修正的 Grübler-Kutzbach 公式計算循環式行星滾柱絲杠副空間自由度，從空間機構學角度驗證該機構是否具有確定的相對運動。

2.1 基于約束螺旋理論的自由度計算

2.1.1 修正的G-K公式

通過修正的G-K公式[15]進行計算，確定冗余約束和局部自由度，可以求得循環式行星滾柱絲杠副的自由度。

式中，M為機構的自由度，d為機構的階數，n為機構中的構件數（包括機架），g為運動副的個數，fi為第i個運動副的自由度，v為冗余約束的個數，ζ為機構中的局部自由度。

2.1.2 空間自由度計算方法

1）建立Plücker坐標；

2）依次將每個運動副具有的自由度表示為對應的運動旋量＄i；

3）將運動旋量＄i整理為運動旋量系A；

4）對運動旋量系A求反螺旋，求解得到約束反螺旋系B，反螺旋系B的秩就是該空間機構的公共約束數；

5）判斷該空間機構是否存在冗余約束、局部自由度；

6）代入修正的G-K公式求解。

本文通過建立循環式行星滾柱絲杠副的空間簡圖，基于約束螺旋理論，通過以上的方法計算和分析循環式行星滾柱絲杠副的自由度。

2.2 循環式行星滾柱絲杠副的空間自由度分析

循環式行星滾柱絲杠副中復位凸輪除了充當擋圈的作用，還有使滾柱回程的作用，復位凸輪固定在螺母內，循環式行星滾柱絲杠副空間機構簡圖如圖3所示。

圖3 循環式行星滾柱絲杠副空間簡圖

因為為行星滾柱絲杠對稱布置，簡化計算機構簡圖為單滾柱、單復位凸輪的情況，如圖4所示，電動機帶動絲杠旋轉，絲杠軸線方向為plücker坐標軸的z方向。

圖4 循環式行星滾柱絲杠副空間部分圖

其中各元件對應的運動旋量系A的坐標矢量表示如下：

螺母—保持架 ＄1=（0 0 1;p10 0）

滾柱—保持架 ＄2=（0 0 1;p20 0）

螺母—滾柱 ＄3=（0 0 1;p3q3r3）

滾柱—凸輪 ＄4=（0 0 1;p4q4r4）

絲杠—滾柱 ＄5=（0 0 1;0 0 r5）

絲杠—機架 ＄6=（0 0 1;0 0 r6）

螺母—機架 ＄7=（0 0 1;p70 r7）

其中，pi和ri為不同的實數，這個運動旋量系中的5個旋量坐標線性無關，觀察這個機構，求取各個分支的約束螺旋系，約束螺旋系B為：

＄r11=(0 0 0;1 0 0)

＄r12=(0 0 0;0 1 0)

這兩個約束力偶有2個公共反螺旋，即機構有2個公共約束，則λ＝2，而d=6-λ=4。該機構不存在冗余約束，ν＝0。該機構也不存在局部自由度，ζ＝0。

將以上數值代入如式(1)所示的修正G-K公式，求得自由度為：

得到循環式滾柱絲杠副的自由度為1。這與實際運動相符，即絲杠的轉動帶動滾柱做行星運動，滾柱的行星運動最終轉換為螺母的直線平動，驗證了循環式行星滾柱絲杠副具有確定的相對運動。

3 循環式行星滾柱絲杠副的運動分析及導程計算

在循環式行星滾柱絲杠副運動過程中，絲杠轉動，滾柱繞著絲杠公轉以及繞著自身軸線自轉，滾柱帶動螺母沿著軸線方向移動，由于螺母周向固定，螺母只沿軸線方向移動不轉動。

首先分析循環式行星滾柱絲杠副各構件的運動關系，絲杠和螺母的旋向均為右旋，如圖5所示，點O為滾柱的中心，點Os為絲杠和螺母的中心。rs、rR、rN分別為絲杠、滾柱、螺母的螺紋中徑的半徑。點B為滾柱和螺母的嚙合點，點A為滾柱和絲杠的公共嚙合點。絲杠以ws的角速度逆時針公轉，絲杠通過摩擦帶動滾柱以角速度wr自轉，以角速度wR公轉。

圖5 循環式行星滾柱絲杠副的運動簡圖

忽略滑動的存在，螺母由于周向固定，滾柱和螺母之間的運動為純滾動，接觸點B處是絕對瞬心點。而滾柱和絲杠接觸點A處速度相等，接觸點A的速度可以表示為：

由圖5幾何關系可知：

式中：OB=rR，AB=2rR。

結合式(3)、式(4)有：

滾柱中心點的速度vO可以表示為滾柱公轉半徑與滾柱公轉角速度的乘積：

由于接觸點B是絕對瞬心點，可表示為滾柱繞瞬心點B旋轉，所以vO可以表示為：

則滾柱自轉角速度wr為：

結合式(5)和式(6)，滾柱的公轉角速度為：

由式(9)可知，滾柱的自轉和絲杠的公轉方向相反，當右旋絲杠逆時針方向轉時，滾柱順時針方向自轉，但由于滾柱為無螺旋升角的環槽狀，其自轉不會改變自身相對于絲杠螺旋線的位置，不影響絲杠和滾柱的相對位置。同時，滾柱逆時針公轉與絲杠的轉動方向相同。

則螺母沿軸線的移動速度v為：

式中，PS為絲杠的導程。

循環式行星滾柱絲杠副的實際導程P為：

結合式(9)、式(10)和式(11)有：

由式(12)可得循環式行星滾柱絲杠副的實際導程P小于絲杠的導程PS。在實際工作情況下，由于滾柱無螺旋升角，絲杠與滾柱在接觸位置會產生相對滑移，實際導程大小處于P和PS之間。因此，循環式行星滾柱絲杠副在工作時，必須事先施加足夠的預緊力，為接觸區域提供足夠的摩擦力，盡可能的避免明顯的滑動現象發生，以提高循環式行星滾柱絲杠副的可靠性。

4 循環式行星滾柱絲杠副的運動學仿真

4.1 循環式行星滾柱絲杠副的三維模型及處理

基于ADAMS軟件，將裝配好的循環式行星滾柱絲杠副三維模型導入ADAMS軟件，循環式行星滾柱絲杠副的結構參數如表1所示，之后修改材料屬性，添加運動副，得到的運動副模型如圖5所示。在主動件絲杠上添加驅動，確定其運動規律，設置運動時長5s，步數設置為2500步，模擬循環式行星滾柱絲杠副的實際工作情況。

圖5 循環式行星滾柱絲杠副的運動學模型

表1 循環式行星滾柱絲杠副的結構參數

4.2 仿真結果與分析

1）取一個滾柱為例說明循環式行星滾柱絲杠副運動學仿真中滾柱的仿真結果，圖6分為滾柱在x、y軸上的位移曲線圖，由圖可知，滾柱在x、y軸方向進行周期性旋轉運動，可以從圖6中得到曲線的波峰和波谷之間的距離得到滾柱繞絲杠的公轉直徑為30.5mm，圖7為滾柱在和z軸上位移曲線圖，滾柱在z軸方向自轉一周是1mm，得到滾柱繞絲杠軸線做公轉運動的同時繞自身軸線自轉，這個結果與理論設計值一致。

圖6 滾柱在x、y軸上位移曲線圖

圖7 滾柱在z軸上位移曲線圖

如圖8所示為滾柱在x、y軸方向上的速度曲線圖，曲線圖表明滾柱在在x、y軸方向速度呈周期性變化，與位移曲線圖所得出的滾柱在x、y軸方向做周期性運動結果一致。如圖9所示，滾柱在z軸方向上以恒定速度值運動，表明滾柱在z軸方向做勻速直線運動。

圖8 滾柱在x、y軸上速度曲線圖

圖9 滾柱在z軸上速度曲線圖

2）絲杠在x、y軸和z軸上的位移曲線圖如圖10所示，由圖可知，絲杠在x、y軸位移為0，在z軸方向上的位移值為恒定值，所以絲杠在x、y軸和z軸方向上相對位移。

圖10 絲杠在x、y軸和z軸上位移曲線圖

由圖11可知絲杠在x、y軸的速度為周期運動，由圖12可知絲桿的角速度值恒定不變，表明絲杠繞自身軸線方向做回轉運動。

圖11 絲杠在x、y軸和z軸上速度曲線圖

圖12 絲杠角速度曲線圖

3）螺母在x軸、y軸和z軸上的位移曲線圖如圖13所示，由圖可知，螺母在x、y軸相對位移值恒為0，螺母在z軸方向上的位移曲線與滾柱在z軸方向上的位移曲線平行，說明螺母與滾柱在z軸方向運動狀態一致。

圖13 螺母在x軸、y軸和z軸上位移曲線圖

螺母在x軸、y軸和z軸上的速度曲線圖如圖14所示，由圖可知，螺母在x、y軸方向速度恒為0，螺母在z軸方向的速度為恒定值，表明螺母的運動沿z軸方向的勻速直線運動。

圖14 螺母在x軸、y軸和z軸上速度曲線圖

綜上所述，基于ADAMS軟件進行循環式行星滾柱絲杠副的運動學分析，分析了絲杠、滾柱、螺母的位移和速度曲線圖，仿真結果與工作原理一致。

5 結語

1）通過建立循環式行星滾柱絲杠副的空間機構簡圖，基于約束螺旋理論計算，該空間機構的輸出為沿軸線方向的自由度為1的移動，驗證了該機構具有確定的相對運動。

2）對循環式行星滾柱絲杠副的運動參數與實際導程進行理論分析，根據各構件間的運動關系進行理論推導，對循環式行星滾柱絲杠副的實際導程進行了計算，得出實際工況下，循環式行星滾柱絲杠副的滾柱和絲杠在接觸區域會發生滑動，所以要施加有效的預緊力，使絲杠和滾柱接觸區域產生摩擦力，減少滑動現象。

3）基于ADAMS軟件進行了循環式行星滾柱絲杠副的運動學分析，仿真結果與工作原理和運動學理論分析相符，驗證了循環式行星滾柱絲杠副工作原理的合理性。