離散時間多智能體系統的間歇二部一致性

覃宇燕，劉 琛，曾 旺，羅杰沛

（湖南工業大學 理學院，湖南 株洲 412007）

0 引言

近年來，隨著神經網絡、人工智能、嵌入式設備等的發展，多智能體的應用范圍不斷擴大，相關研究不斷深入。多智能體系統協同控制是一個基本研究問題，目前，許多學者對一致性問題展開了研究，并取得了豐富的成果[1-4]。然而，在許多實際網絡中，智能體之間不僅存在合作關系，可能還存在競爭關系。在這種合作與競爭關系并存的系統中，會呈現出另一種一致性現象，稱為二部一致性[5]。

二部一致性的概念由C.Altafini 在文獻[5]中首次提出，文中表明，當系統的網絡連接拓撲是帶權重的符號圖并且是結構平衡的，則在給定的控制協議作用下，系統最終會趨向于二部一致。隨后，有不少學者從不同的角度對多智能體系統的二部一致性進行了探討，并取得了不錯的成果[6-9]。文獻[10]探討了連續時間二階多智能體系統的網絡連接拓撲是無向連通的并且符號圖是結構平衡時，系統在脈沖控制下實現二部一致；文獻[11]研究了非線性多智能體系統在一致性協議下，具有正負混合連接權重的有限時間二部一致性；文獻[12]研究了在給定的假設條件下，二階多智能體系統基于自適應變結構控制的二部一致性。以上文獻都是基于連續系統來研究的二部一致性問題，而關于離散時間多智能體系統的研究相對較少。由于間歇控制方法比較易于被應用到現實中，它不需要智能體之間的持續溝通以及控制器的不斷運轉，進而減少資源的大量消耗。因此，對間歇二部一致性的研究亦具有很好的實踐意義。基于以上論述，本文將基于離散時間系統模型研究多智能體系統的間歇二部一致性，以期為多機器人網絡、智能網聯車、智能電網等實際網絡的間歇協調控制提供參考。

1 問題描述

用無向圖G=(V,E,AE)表示一個由N個節點組成的多智能體系統結構拓撲。其中V={v1,v2, …,vN}為節點集合；，為邊集；AE=[aij]N×N，為無向圖G對應的加權鄰接矩陣。邊(vj,vi)∈E，表示節點vi和節點vj存在信息交流；Ni={vj|(vj,vi)∈E}，表示節點vi的鄰居集合。定義符號圖G的拉普拉斯矩陣L=[lij]N×N的元素為

定義1對于無向圖G，如果存在兩個集合V1和V2，使得其滿足：

則稱無向圖G是結構平衡的。

考慮離散時間多智能體系統的狀態方程為

式（1）中：A、B為系數矩陣；

xi(k)為多智能體系統中第i個智能體的狀態變量；

x0(k)為領導者的狀態變量；

ui(k)為智能體i的間歇控制輸入。

定義系統的狀態誤差為

ei(k)=xi(k)-si x0(k),

若i∈V1，則si=1；若i∈V2，則si=-1。

下面給出系統達到二部一致性的定義。

定義2 若G是結構平衡的，當系統滿足：

則稱系統實現了二部一致。

假設1G是無向連通的，且領導者全局可達。

假設2(A,B)是可正定的。

假設3G是結構平衡的。

引理1[13]若假設2 成立，則存在唯一的正定矩陣P，滿足如下代數Riccati 方程：

P=ATPA-ATPB(BTPB+I)-1BTPA+I。

注1根據上述引理，不妨設ATPA-P≥0，否則當ATPA-P<0 時，A的所有特征值都在單位圓內，這說明系統會趨于穩定。因此，有λmax(ATPA-P)>0。

2 主要結果

考慮如下間歇控制協議：

式中：K為增益矩陣；

sgn( )為符號函數。

間歇控制協議中，若aij>0，則表示第i個智能體與第j個智能體之間存在合作關系；若aij<0，則表示第i個智能體與第j個智能體之間存在競爭關系；若aij=0，則表示第i個智能體與第j個智能體之間不存在信息交流。h>0，表示一個周期內的間歇控制寬度；T>0，為系統的控制周期，且0

定理1考慮到帶有間歇控制協議的離散時間多智能體系統（1），在系統滿足上述假設的前提下，取，λ1為的最小特征值，當系統滿足以下兩個條件：

則系統實現了二部一致性。

從而可得

當λmax(P)>1 時，

當λmax(P)<1 時，

即當λmax(P)>1 時，

當λmax(P)<1 時，

因此，當λmax(P)>1 時，

將上述不等式迭代m次，可得

對上式兩邊取對數，可得

則有ha+(T-h)b<0，即。

當λmax(P)<1 時，

將上述不等式迭代m次，可得

由于1-λmax(P)>0，，所以只要保證

對上式兩邊取對數，可得

3 數值仿真

為了驗證以上結論，給出如下的仿真實驗。考慮由5 個智能體和1 個領導者組成的多智能體系統（1），其拓撲結構如圖1所示。

圖1 包含5 個跟隨者和1 個領導的多智能體系統通信拓撲結構Fig.1 Multi-agent system communication topology with five followers and one leader

由前文論述可知，圖1所示符號圖的加權鄰接矩陣為

選取

求出λmax(P)=0.595 9<1，則有

從而可以設計間歇控制的控制周期為T=6 s，周期的控制寬度h=4 s。設xi(k)=(xi1(k),xi2(k))T，其中xi1(k),xi2(k)為系統的兩種狀態變量，并給定如下初始條件：

將數據輸入設計好的Matlab 程序，即可得到系統初始條件的狀態軌跡圖，見圖2。

圖2 多智能體系統中各節點的狀態軌跡Fig.2 Trajectories of xi1 and xi2，i=1, 2, ···, 5 in the multi-agent system

由圖2所示多智能體系統中5 個節點兩種狀態變量的狀態軌跡可知，在間歇控制器的作用下，經過一段時間后，系統達到穩定。因此，說明針對離散時間多智能體系統所設計的間歇控制協議對系統穩定具有有效性。

4 結語

本文研究了離散時間多智能體系統的間歇二部一致性問題。在固定拓撲下，基于圖論、Lyapunov 穩定性理論、矩陣不等式等得到了系統實現間歇二部一致性的充分條件，當在系統滿足一定假設的前提下，即系統滿足：1）λmax(P)>1，；2）λmax(P)<1，兩個條件時，系統將會實現間歇二部一致性。并通過數值仿真實驗，驗證了所設計的間歇控制協議對離散時間多智能體系統的穩定具有有效性。同時，利用間歇控制，有效降低了網絡通道的信息傳遞負載。后期，將針對事件觸發的間歇控制一致性展開研究。