以數學深度學習推動學生思維進階

摘 要：高階思維是指發生在較高認知水平層次上的心智活動和認知能力。深度學習與學生思維進階有著相輔相成的關系。深入學科知識本質必定伴隨著較高認知水平的思維活動，包括解決問題、批判性思維和創造性思維等，才能深度理解和深度體驗。教學中，通過溝通比較建立聯系、逐步優化方法、重組數學素材、分層學習指導、故事情境體驗等策略，可以有效促進學生在深度學習中推動思維進階，為學生核心素養的提升助力。

關鍵詞：數學高階思維;方法優化;認知分類;復雜情境

“高階思維”的概念源于布盧姆的教育目標分類學。其2001年的修訂版本將認知過程從低到高、從簡單到復雜，分為記憶、理解、運用、分析、評價、創造六個層次。其中，記憶、理解和運用主要是在已經知道如何做的情況下進行的，屬于數學低階思維;分析、評價和創造主要是在不知道如何做的情況下進行的，屬于數學高階思維。數學高階思維要求在新穎的條件下，運用信息和概念去解決新的問題、完成較高難度的任務。然而，日常教學中教師往往停留在淺表學習上，注重知識的記憶、技能的反復訓練，對學生數學高階思維能力的關注不夠。那么，在教學實踐中，如何重組教學素材、優化教學設計、推動數學思維進階呢？

一、溝通比較，在建立聯系中促進思維由此及彼

深度學習的“深”體現在觸及數學知識本質的程度上。雖然小學數學教學內容相對比較簡單，尤其是中低年級的數學教學內容，但并不意味著教學無法觸及數學知識的本質、無法進行高階思維的培養，因為數學是一個充滿聯系的整體，再簡單的數學知識背后都蘊藏著深刻的數學思想，也都有著值得我們引導學生進行思維進階的素材與契機。教師在引導學生探究得出答案后，再“向前深入一步”，進行溝通比較，在數學之間的聯系中發展高階思維，走向對數學知識的深刻理解。

例如，在教學蘇教版小學數學一年級上冊的“2～5分成”時，教師組織學生思考：把4個桃放在2個盤子里，每個盤子里怎么分？學生操作展示將4分成2和2、3和1之后，教師追問：還有其他分法嗎？學生補充回答將4分成1和3的情況。接著，教師引導學生將不同的分法進行排序，得出3種分法，4分成1和3、4分成2和2、4分成3和1。

此時，教師并沒有滿足學生得出3種分法的結果，而是結合圖形啟發學生思考：3種分法之間有沒有聯系？（學生發現從右邊拿一個桃到左邊，就有了一種新的分法）3種分法中有沒有兩種是一樣的？（學生發現，4分成1和3，4分成3和1，其實是一樣的）進而學生發現，找到其中一種分法，就能想到另一種分法。

事實上，與單純地追求“動手操作”相比較，教師更應強調“數形結合”，通過引導學生進行比較、分析，發現不同分法之間的聯系，異中求聯，異中求同，進而對“4的分成”建立更為整體性的數學認知。同時，與簡單地追求對數的分成的熟練掌握相比較，教師應更加重視學生思維的深化，即通過適當的提問將學生的思維引向深入，而不是簡單地滿足于熟練掌握。案例中，教師精心設計了兩次追問：4的分成有3種分法，3種方法之間有沒有聯系？3種分法中有沒有兩種是一樣的？這樣，學生對4的分成有了更為深入的理解，對其內在的規律有了新的認識。同時，學生對這一內在規律的發現和理解還可以遷移至5、6、7等數的分成之中，對學生的后續學習起到了方法指引作用。在聯系中理解，在遷移中創造，推動學生的數學思維進階。

二、逐步逼近，方法優化促進思維由表及里

優化是不斷逼近知識本質、認識不斷深刻的體現，在此過程中，伴隨著批判、分析以及創造性學習活動。在教學過程中，教師一方面要充分地展示各種方法，讓學生充分創造;另一方面要引導學生充分地展示交流，分析各種方法，學會質疑，在“自己—他人—自己”的這種社會文化性的循環中促進思維進階。

比如，在教學“圖形的平移”時（如圖1），如何引導學生準確判斷小船平移的距離是多少？一位教師在教學時是這樣設計的：

1.方法初探：組織學生自主嘗試研究小船平移了幾格，然后組織匯報。（學生可能出現的答案：4、9、10）

2.實驗比較：小船到底向右平移了幾格？我們一起讓小船再走一遍，一起數一數。（出示小船圖片，在實物展臺上演示，指導學生每移動一格數一下）

師：如果不用小船怎么數？這個同學并沒有指著小船數，為什么？除了指一格數，還可以指哪里數？（點）從這一個點要數到哪一個點？還可以找什么？（找對應的線段）你更喜歡哪種方法？

師：為什么有的同學的答案是小船平移了4格？有的同學的答案是小船平移了10格？可能是怎么數的？

在案例中，教師并沒有直接揭示圖形平移距離的判斷方法，通過反復訓練來強化學生形成數學技能，而是基于現實問題情境組織學生自主嘗試研究。在學生出現不同答案后，教師再給學生提供小船圖片，進行實物操作驗證。得出正確答案后，教師追問：如果不用小船怎么數？學生再次陷入沉思之中。有的找某一格對應的圖形去數，有的找某一個對應的點去數，還有的找某一條對應的線段去數。同時，教師引導學生比較不同的方法，思考哪一種方法更為便捷，從而實現數學方法的優化。這樣從朦朧中走向清晰，數學道理越辯越明。

任何真正的認識都是主體在已有的知識和經驗基礎上的主動建構，因此，盡管學生的相關想法可能是錯誤的或幼稚的，但仍然應當被看成具有一定的合理性，并構成了新的認識活動的直接基礎——我們對此不應采取簡單否定的態度，而應做出努力去理解它們的性質等，從而采取適當措施幫助學生糾正錯誤并做出必要的改進。在從舊知到達新知的過程中，教師需要關注學生對問題的思考，以及可能出現的錯誤或者片面認識，讓學生在不斷的自我思考中“擊碎”原有的錯誤認知，尋找到更簡單、更科學的方法解決問題。因而，學生在學習時需要有一種開放的、包容的心態，耐心地傾聽別人的觀點和見解，對他人表達的觀點有自己的分析和評價，或認同，或補充，或指出其中的偏差和錯誤。而學習的過程本身，也正是一個從零散、模糊甚至有偏差或錯誤的認識逐步逼近完整、精確、趨于理性的認識的過程。

三、習題組塊，在挑戰性問題中促進數學思維由點到面

亞里士多德曾說過：“思維是從疑問和驚奇開始的。”這說明，問題情境對于思維的催生激活作用。同樣，高階思維需要良好思維環境的激活。在教學中，圍繞核心問題，設計具有挑戰性的、開放的問題鏈，讓學生在解決一些非常規的問題中經歷頭腦風暴，深度學習，深度體驗，促進思維的進階。

在進行“長方體和正方體”的單元復習時，一位教師以“鐵絲圍長方體”“用紙板圍成長方體”“用木塊鋸成長方體”三個數學活動貫穿全課，在“用紙板圍成長方體”活動中，展開了如下教學：

用紙板圍成一個長方體，這是我們班幾個小組規定時間內完成的情況（如圖2呈現的是六個小組拿到的紙板情況）。

討論：哪幾個小組已經順利完成了任務？你們是怎么想的？（板書：面的特征）

沒有完成任務的小組，通過觀察他們的部分材料，你們能透視出他們想做的長方體還缺什么面嗎？

第（3）組和第（4）組如果就用現有的材料做出的長方體是什么樣的？由這個無蓋長方體學具模型，你們能透視出它可能是——（游泳池、水槽……）

要求用了多少材料，就是要求什么？任意選一個求表面積，小組互評，表面積的計算方法實際是依據了什么？

總結：剛才大家通過觀察局部的材料，看到完整的長方體;通過平面的長方形看到了立體的長方體;通過一個缺面的長方體模型，看到多個實物場景。通過具體情境，看到背后的知識點。透視，讓我們從局部看到了整體，從表面看到了實質。

在案例中，教師圍繞單元核心知識設計了挑戰性學習任務，尤其是在長方體表面積計算方面，并沒有簡單地出示不同的題型讓學生反復訓練，而是將表面積的相關類型有機“鑲嵌”于挑戰性活動中，這一活動融觀察、想象、分析、創造于一體，可以激發學生進行數學探究的欲望。細細品味，不難發現，六組不同的長方形紙板構造了一個開放的數學問題的情境，有的可以圍成長方體，有的不可以圍成長方體?？梢試砷L方體的，教師啟發學生觀察發現面的特征，以及還有怎樣的長方體和這組圖形是一類的。更為難得的是，教師嘗試引導學生進行“透視”思維，實則就是引導學生在頭腦中想象圖形的拼接過程，想象拼接后長方體的形狀。而對于像第（2）組和第（6）組這樣無法圍成長方體的圖形，教師則啟發學生展開創造性的思考：補上怎樣的長方形就可以圍成長方體呢？這樣的學習活動，需要學生借助于直觀的面在頭腦中搭建抽象的體，借助二維想象三維，借助局部透視整體，促進學生空間觀念的發展。

四、學習分層，在對比思考中促進數學思維由低到高

數學教育家弗賴登塔爾曾指出，只要兒童沒能對自己的活動進行反思，他就達不到高一級的層次。思維的進階，離不開兒童自己的學習活動，包括內在的思維活動的反思。反思，促進兒童思維的提升與進階，也促進著兒童“元”思維力的培養。因此，教師應主動迎接這樣一項挑戰：通過引導學生進行對比反思，認識自己的思維現狀，幫助學生判斷自己對課上資料的理解處于布魯姆分類學的哪一個層次，以及如何提高評估與綜合的層次。

例如，在教學“解決問題的策略——轉化”這一內容時，教師可以結合某一道練習題做進一步的拓展延伸，并對應布魯姆分類學的各個層次，給出若干不同的答案。如圖3所示，教師可在第（2）題的基礎上再補充一道計算題：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=（ ），并嘗試做出不同的解答。第一種，直接用求和公式來計算，即等于（2+20）×10÷2，這反映的是知識層的內容;第二種，通過分組，把原式分成5組，每組兩個數的和都是22，這反映的是理解層的內容;第三種，與算式“1+3+5+7+9+11+13+15+17+19”相比，發現每一個加數都增加了1，因此和也就增加了10個1，這反映的是分析層、綜合層的內容，以此類推。

組織學生獨立完成練習后，教師再呈現以上不同解答的要點，并讓學生判斷自己的答案處于布魯姆分類學的哪個層次。同時，啟發他們思考，怎樣做才能提升到更高的學習層次上。

在學習了“解決問題的策略——轉化”這一內容后，教師還可以讓學生以學習小結的方式對所學的內容進行梳理，或提出一個開放性的問題讓學生簡明扼要地回答。問題可能是：“你認為通常在什么情況下需要進行轉化？”“你認為一般可以用哪些方法來進行轉化？”“所學的例題和習題中，哪些是同一種類型的？”教師根據學生即時提交的回答，分類進行評論。

五、故事體驗，于復雜情境中促進數學思維由學科到文化

對于“人們通常將布魯姆認知目標的記憶、理解、應用、分析、評價、創造六個層次的前三者指認為低階思維，后三者指認為高階思維”這一現象，以華東師范大學楊九詮教授為代表的一些專家認為這失之偏頗。以第一層“記憶”來講，如果它生成于復雜的情境，那么這樣的“記憶”就能成為發現問題和解決問題過程中信息篩選和提取的行動策略。因此，這種“記憶”就不再處于低階思維，而屬于高階思維。

以蘇教版小學數學三年級下冊“年、月、日”教學為例，這一內容教學的最大難點在于知識點繁多，要讓學生短時間內準確地記住各月并非易事，其根本原因是各月天數的規律性不夠明晰。如果仍以“兒歌記憶法”“拳頭記憶法”等外在手段來幫助學生記憶，從記憶的特點來看，其本質仍為機械型記憶;從認知目標來看，仍然處于低階層次。而如果以愷撒大帝修訂年歷的數學史故事（愷撒大帝出生在7月，繼任者奧古斯都出生在8月，2月是處決犯人的月份等）為線索，讓學生在有趣的穿越中，親身經歷一次年歷修訂的過程。其間反復多次的調整修改，讓學生主動建構起各月天數的認知，了解每一次調整的背后都源自歷史事件的發生。用這種生動的形式來幫助學生實現有意義的學習，讓學生在復雜的歷史情境中主動建構、記憶相關知識，它所培養的就是學生的高階思維。

高階思維孕育于復雜情境，具有顯著的整體性、發展性特征。提供相互匹配的復雜情境與高階思維，是推進學生從學科知識習得向學科素養養成轉變的可行路徑。數學的天空，彌漫著人類文化進程的探索氣息。以歷史故事為載體的數學課程，讓學生在故事中被賦予了一個參與者的身份，他認同這個身份，愿意為這個身份的進階（即從“邊緣”逐漸移向“中心”）而努力投入，學習與意義的理解就在這樣的認同和努力的過程中自然萌發了。

（作者單位：江蘇省南通市通州區教師發展中心）

參考文獻

[1]楊九詮.學科核心素養與高階思維[N].中國教育報，2016-12-21（9）.

[2]任衛兵.小學數學故事課程建設與實施[M].長春：東北師范大學出版社，2019.

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任衛兵，正高級教師，江蘇省特級教師，江蘇省教學名師，南通市中青年名師工作室領銜人。先后主持江蘇省“十五”“十一五”規劃課題、江蘇省“十二五”規劃重點資助課題。出版專著《把智慧點燃》《小學數學教學能力提升策略——引領學生走向智慧學習》《小學數學故事課程建設與實施》。