數(shù)形結(jié)合，讓體驗(yàn)充盈課堂

喻菊

一、教學(xué)分析

（一）內(nèi)容與學(xué)情的契合

“數(shù)與形”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角的知識(shí)內(nèi)容。兒童思維以具體形象思維為主，數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)階段得到廣泛應(yīng)用，它使很多抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，將抽象思維以形象思維的方式呈現(xiàn)與應(yīng)用，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。

六年級(jí)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合其實(shí)并不陌生，數(shù)形結(jié)合思想一直伴隨著他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，并已經(jīng)積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。本節(jié)課的學(xué)習(xí)不在于掌握某個(gè)具體知識(shí)內(nèi)容，而是要進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想，理解數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合的方法，有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問(wèn)題，逐步發(fā)展學(xué)生抽象思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教師要從數(shù)學(xué)思想的角度把握教材內(nèi)容的本質(zhì)，更加深入地解讀教材，從關(guān)注技能轉(zhuǎn)向關(guān)注能力。

（二）教學(xué)目標(biāo)

1.讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納等活動(dòng)，以形助數(shù)，以數(shù)輔形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。

2.通過(guò)動(dòng)手?jǐn)[小方塊表示數(shù)，感悟以形助數(shù)、以數(shù)輔形的重要性，積累數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3.體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值，感受數(shù)學(xué)的魅力。

（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

由“數(shù)”思“形”，由“形”表“數(shù)”，借助數(shù)形結(jié)合思想方法，多角度地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，深化數(shù)學(xué)思維。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）計(jì)算挑戰(zhàn)——引出課題

師：聽(tīng)說(shuō)咱們班同學(xué)的計(jì)算能力都不錯(cuò)，敢接受我的挑戰(zhàn)嗎？

（課件依次出示：1+3、1+3+5、1+3+5+7、1+3+5+7+9+11+13+15+17，學(xué)生計(jì)算的速度由快到慢，答案也由確定慢慢地不確定起來(lái)。在計(jì)算最后一道題時(shí)，學(xué)生給出的答案有的是49，有的是81。計(jì)算方法有的是不斷連加，有的是湊整）

師：老師這里還有一個(gè)好方法，只要看一眼這個(gè)算式，就能立馬知道答案，你們相信嗎？

師：我們先來(lái)觀察這類題有怎樣的共同特點(diǎn)？

生：都是連續(xù)的奇數(shù)。

師：而且都是從幾開(kāi)始的？

生：1。

（教師板書(shū)：從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)的和）

師：誰(shuí)來(lái)給老師出題？有計(jì)算器的同學(xué)負(fù)責(zé)驗(yàn)證，看看老師是否算對(duì)了？

生：1+3+5+7+9+11+13+15+17+……+99=？

（教師快速報(bào)出結(jié)果2500，學(xué)生驗(yàn)證無(wú)誤）

師：對(duì)于剛剛這樣的計(jì)算，老師這樣的速度，你們有什么想說(shuō)的嗎？

生：太快了！

師：其實(shí)，老師剛剛看到這些算式、這些數(shù)時(shí)，腦中想到的是一些圖形。將數(shù)和形相結(jié)合，就能很快地幫助我們找到答案。你們肯定很好奇，老師腦中想的是一個(gè)什么樣的圖形呢？這就是我們今天要研究的內(nèi)容。（板書(shū)：數(shù)與形）

【思考】在“計(jì)算挑戰(zhàn)”中，問(wèn)題從易到難，學(xué)生解答問(wèn)題由快到慢。當(dāng)已有的知識(shí)技能不能更好、更快地解決問(wèn)題時(shí)，教師的“表演秀”就輕松地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，這時(shí)再介紹解決問(wèn)題的新途徑——數(shù)形結(jié)合，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

（二）活動(dòng)操作——發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：我們就從簡(jiǎn)單的1開(kāi)始。看到1，你們能想到什么圖形？

生：1個(gè)長(zhǎng)方形、1個(gè)正方形……

師：我們用1個(gè)正方形來(lái)表示1。

1.活動(dòng)探究：1+3

活動(dòng)要求：利用小正方形拼成一個(gè)大一點(diǎn)的圖形來(lái)表示這個(gè)算式，并且有利于算出總數(shù)。先獨(dú)立思考，再把自己的想法和同桌進(jìn)行交流。

學(xué)生取出學(xué)具袋，可以把小正方形貼在黑色卡紙上，學(xué)生獨(dú)立操作，教師巡視并找出具有代表性的作品進(jìn)行交流評(píng)價(jià)（如圖1）。

大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為第（4）個(gè)圖形不僅可以直觀地表示出算式，而且有利于計(jì)算出正方形的個(gè)數(shù)。

師：現(xiàn)在1+3可以怎么算？

生：2的平方。

師：很有意思。原來(lái)我們看這樣的一個(gè)算式就只是一個(gè)算式，看這樣的一個(gè)圖形就只是一個(gè)圖形，這節(jié)課我們用不同的眼光，發(fā)現(xiàn)算式借助圖形的表達(dá)找到了新的計(jì)算方法，這就是數(shù)形結(jié)合思想。

2.活動(dòng)探究：1+3+5

活動(dòng)要求：利用手中的小正方形再拼搭成一個(gè)大一點(diǎn)的圖形來(lái)表示這個(gè)算式，并列出算式計(jì)算出結(jié)果。

學(xué)生再次拼搭，教師選擇兩組具有代表性的作品進(jìn)行交流（如圖2）。

學(xué)生先匯報(bào)拼搭的過(guò)程，一致認(rèn)為②號(hào)圖形的拼搭很有規(guī)律。②號(hào)圖形按“┐”形拼搭逐漸變成更大的正方形。

師：現(xiàn)在看著這個(gè)大一點(diǎn)的正方形，你們能列一個(gè)加法算式嗎？

生：1+3+5。

師：它的結(jié)果可以怎么計(jì)算？

生：3的平方。

師：剛剛是2乘2，現(xiàn)在是3乘3，2和3是怎么確定的？

生：小一點(diǎn)的正方形邊長(zhǎng)是由2個(gè)小正方形邊長(zhǎng)組成的，所以邊長(zhǎng)是2;大一點(diǎn)的正方形邊長(zhǎng)是由3個(gè)小正方形邊長(zhǎng)組成的，所以邊長(zhǎng)是3。

生：原來(lái)是2個(gè)加數(shù)，所以它的邊長(zhǎng)是2;現(xiàn)在有3個(gè)加數(shù)，所以它的邊長(zhǎng)是3，就（比原來(lái)）增加了一層。

師：順著思路繼續(xù)想，我想在此基礎(chǔ)上拼搭一個(gè)更大一點(diǎn)的正方形，需要增加幾個(gè)這樣的小正方形？

生：7個(gè)。

師：增加在哪里？比畫(huà)一下。

（學(xué)生書(shū)寫(xiě)“┐”）

師：看到這樣的一個(gè)圖形，可以幫我們解決一個(gè)怎樣的加法問(wèn)題？

生：1+3+5+7。

師：它的結(jié)果怎么算呢？

生：看作4乘4等于16。

師：4是什么意思？

生：4是加數(shù)的個(gè)數(shù)。

生：4是正方形的邊長(zhǎng)。

師：我們從數(shù)的角度來(lái)看1+3+5+7=16，4×4=16，所以1+3+5+7=4×4。從形的角度來(lái)看，也可以發(fā)現(xiàn)1+3+5+7=4×4。

3.鞏固提升：1+3+5+7+9

師：不拼搭，你腦中能想象出一幅圖嗎？是一幅怎樣的圖？

生：能想象出一個(gè)5乘5的正方形。

師：算式的結(jié)果可以怎樣算？

生：5乘5，5的平方是25。

師：通過(guò)剛才的探究，你們找到解決這類算式的辦法了嗎？

生：從1開(kāi)始連續(xù)奇數(shù)的和等于這些奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方。

（師生進(jìn)行舉例驗(yàn)證）

師：“1”能寫(xiě)成這樣的算式嗎？（板書(shū)：1=12）

師：他們的總結(jié)，給我們找到了解決這一類問(wèn)題的訣竅：從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)的和等于這些奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方。

【思考】人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形”中的例題編排是先呈現(xiàn)一組“形”，再輔以“數(shù)”來(lái)發(fā)現(xiàn)圖形變化中蘊(yùn)含的規(guī)律，從而達(dá)到數(shù)形結(jié)合的點(diǎn)睛之處。在教學(xué)這節(jié)課時(shí)我們反其道而行之，先有數(shù)，從“數(shù)”到“形”，借“形”表“數(shù)”，通過(guò)思考“怎么擺算得結(jié)果最快？”引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“形”進(jìn)行優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)“形”的規(guī)律，即幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和用小方塊按“┐”形逐層擺放可以拼搭成一個(gè)大正方形，不僅能清楚地表達(dá)數(shù)，而且計(jì)算總數(shù)也很方便。發(fā)現(xiàn)“數(shù)”的規(guī)律，原來(lái)求幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和除了可以用加法計(jì)算，還可以用奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方進(jìn)行計(jì)算。在這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生在不知不覺(jué)中就借助“形”來(lái)思考“數(shù)”的問(wèn)題，而“數(shù)”的問(wèn)題在“形”的輔助下又產(chǎn)生了新的解決方法。

（三）實(shí)踐嘗試——問(wèn)題解決

1.1+3+5+7+9+11+13+15+17=？

師：回到口算挑戰(zhàn)的最后一題，你們腦中有圖嗎？它是一個(gè)什么樣的圖？

生：是邊長(zhǎng)為9的正方形。

師：可以快速地算出總數(shù)嗎？是多少？

生：9×9=81。

師：和之前“湊整法”比較，你們覺(jué)得有什么想說(shuō)的？

生：更簡(jiǎn)單了。

2.1+3+5+7+5+3+1=？

學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)，可以將算式分成1+3+5+7和5+3+1兩部分，想象出圖3，再運(yùn)用結(jié)論進(jìn)行計(jì)算。

師：規(guī)律總結(jié)出來(lái)，還可以這樣靈活著用。

3.5+7+9+11+13+15+17=？

學(xué)生把算式看成1+3+5+7+9+11+13+15+17-（1+3），抽象出圖4，即從邊長(zhǎng)為9的正方形中減去一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形。

師：太了不起了，在短時(shí)間內(nèi)腦海中有了這么多的圖形幫助我們解決數(shù)的問(wèn)題。

4.2+4+6+8+10+12+14=？

師：一開(kāi)始我們研究的是連續(xù)奇數(shù)的和，現(xiàn)在應(yīng)該怎么思考？

生：我們可以將算式中的每個(gè)數(shù)減掉1，他們又回到了1+3++5+7+9+11+13，然后先算出7的平方，再加7，結(jié)果等于56。

師：還有沒(méi)有別的方法？

課件逐步演示正方形演變成長(zhǎng)方形的過(guò)程（如圖5）。

師：7個(gè)1就全部補(bǔ)在哪里？

生：正方形的下面。

師：現(xiàn)在你們看到的是一個(gè)什么圖形？

生：拼成了一個(gè)長(zhǎng)為7、寬為8的長(zhǎng)方形。

師：可以快速地算出它們的和是多少嗎？

生：長(zhǎng)方形中有56個(gè)小正方形，所以和是56。

師：真好，我們從連續(xù)奇數(shù)的探究到連續(xù)偶數(shù)的探究都給解決了，了不起。

5.1+3+5+7+9+11+13+15+17+……+51=？

師：有人覺(jué)得難了，它難在哪兒啊？

生：個(gè)數(shù)沒(méi)法確定。

師：咱們碰到難題時(shí)要知難而進(jìn)。

師：知難而進(jìn)，進(jìn)的確是一種勇氣。有的時(shí)候知難而退更是一種智慧，但是這個(gè)退不是不做，退一退，是從簡(jiǎn)單入手，找到它的突破口。

學(xué)生結(jié)合課件觀察算式1+3+5+7+9+11中加數(shù)的個(gè)數(shù)6與奇數(shù)11之間的關(guān)系，最終發(fā)現(xiàn)：（最外圈數(shù)+1）÷2=正方形邊長(zhǎng)（如圖6所示）。

師：現(xiàn)在咱們找到了解決問(wèn)題的關(guān)鍵步驟了。算式的個(gè)數(shù)怎么確定？

生：51加1再除以2，得26。

師：1+3+5+7+9+11+13+15+17+……+51=262。

【思考】本節(jié)課的練習(xí)中既有基礎(chǔ)訓(xùn)練，又有變式訓(xùn)練。教學(xué)中，教師有意識(shí)地追問(wèn)學(xué)生“腦中有圖嗎？”“腦中有什么樣的圖？”，學(xué)生腦海中的圖形也漸漸地隨著數(shù)的變化而發(fā)生變化。由1個(gè)正方形，到出現(xiàn)2個(gè)組合的正方形，再到有空缺的正方形;又從正方形到長(zhǎng)方形，從“形”中覓“個(gè)數(shù)”……學(xué)生在這樣的練習(xí)中，將數(shù)與形緊密地結(jié)合在一起，有數(shù)就有形，形中能見(jiàn)數(shù)，同時(shí)練習(xí)的精巧設(shè)計(jì)打破了學(xué)生對(duì)數(shù)與形的認(rèn)知局限，數(shù)變形亦變，數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生的腦海中生根發(fā)芽，學(xué)生對(duì)原有的概念認(rèn)知賦予新的理解。

（四）拓展延伸——溝通聯(lián)系

1.在以往的學(xué)習(xí)中，大家有沒(méi)有數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗(yàn)？（播放微視頻）

2.圖形判斷（如圖7）。學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形的表達(dá)要借助數(shù)據(jù)才更加精準(zhǔn)，從而感悟數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的魅力。

師：難怪?jǐn)?shù)學(xué)家華羅庚爺爺這樣說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。

【思考】本課的最后，教師通過(guò)舉例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合無(wú)處不在。在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們可以借助圖形來(lái)認(rèn)識(shí)自然數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，在圖形的幫助下學(xué)習(xí)加、減、乘、除四則運(yùn)算，在一些圖形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程中，數(shù)與形也是緊密相連的。在位置與方向的學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合能準(zhǔn)確定位，枯燥的數(shù)據(jù)用統(tǒng)計(jì)圖表直觀地表示出來(lái)，方便進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和決策。離開(kāi)課本，大自然里也有神奇的數(shù)與形。從含苞待放的花朵到玫瑰花瓣，再到植物的種子，數(shù)都無(wú)處不在。最后借助華羅庚的詩(shī)詞讓學(xué)生品味數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加有意思。

（作者單位：江西省南昌市灣里管理局教科體局教研室）

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