角平分線模型及應(yīng)用

陳詩(shī)玉 鄒興平

[構(gòu)建模型]

幾何問(wèn)題中有角平分線，可根據(jù)圖1所示的輔助線引法，構(gòu)建基本模型.

模型1：如圖2①，在△ABC 中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，BC = 6，BD = 4，則點(diǎn) D到直線 AB 的距離等于BC - BD.

模型2：如圖2②，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，則AP平分∠BAC.

學(xué)法指導(dǎo)：如圖2③，過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC，AC的垂線.

模型3：如圖3①，AC平分∠DAB， BC = CD，則∠ADC + ∠B = 180°.

學(xué)法指導(dǎo)：以角平分線為對(duì)稱軸進(jìn)行翻折，其原理是軸對(duì)稱性質(zhì)，可利用截取或作垂直等方式進(jìn)行操作. 如圖3② ，以AC為對(duì)稱軸，作△ABC的軸對(duì)稱圖形△AEC;如圖3③，以AC為對(duì)稱軸，作△ADC的軸對(duì)稱圖形△AEC;如圖3④，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，CG⊥AD于點(diǎn)G.

模型4：如圖4，P 是∠MON的平分線上一點(diǎn)，過(guò) P 作 PQ[?]ON，交 OM 于點(diǎn)Q，則△POQ 是等腰三角形.

模型5：如圖5，P 是∠MON 的平分線上一點(diǎn)，AP⊥OP，A在OM上，延長(zhǎng)AP交ON于點(diǎn) B，則△AOB 是等腰三角形.

1.（1）如圖6①，AD是△ABC 的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A 的任意點(diǎn)，比較 PB + PC 與 AB + AC 的大小，并說(shuō)明理由;（2）如圖6②， AD 是△ABC 的角平分線，其他條件不變，比較PC - PB 與 AC - AB 的大小，并說(shuō)明理由.

學(xué)法指導(dǎo)：（1）聯(lián)想模型3，如圖6③，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使AE = AC，連接EP，得 PB + PC > AB + AC;（2）聯(lián)想模型3，如圖6④，在AC上取一點(diǎn)E，使AE = AB，連接EP，得 PC - PB < AC - AB.

2.如圖7，已知等腰直角三角形 ABC中，∠A = 90°，AB = AC，BD 平分∠ABC，CE⊥BD，垂足為 E. 求證：BD = 2CE.

學(xué)法指導(dǎo)：聯(lián)想模型3，延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F.

3.（1）如圖8①，△ABC 中，EF[?]BC，D 在 EF 上，BD，CD 分別平分∠ABC，∠ACB，寫出 EF 與 BE，CF 的數(shù)量關(guān)系;（2）如圖8②，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACG，DE[?]BC，交 AB 于 E，交 AC于 F，寫出 EF 與 BE，CF 的數(shù)量關(guān)系;（3）如圖8③，BD，CD分別為∠CBM，∠BCN 的平分線， 過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線，交AB的延長(zhǎng)線于E，交 AC的延長(zhǎng)線于F，寫出 EF與 BE，CF 的數(shù)量關(guān)系.

學(xué)法指導(dǎo)：聯(lián)想模型4，得出結(jié)論：（1）EF = BE + CF;（2）EF = BE - CF;（3）EF = BE + CF.