2021年高考試題數學建模素養考查情況探析

吳凌菲 胡典順

摘? ? 要：數學建模是連接數學世界和現實世界的橋梁，是高中數學的六大核心素養之一.基于綜合難度模型，從情境、運算、推理、建模工具和建模層次五個維度，對2021年高考全國甲卷（理科）、全國乙卷（理科）、新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷考查數學建模素養的試題進行統計與分析，有助于明確高中階段對學生數學建模素養的培育程度.而采用融合試題與情境以發展學生應用意識、整合知識主題以建構完整知識體系、設置創新型情境以展現建模完整過程三個策略，可以有效考查并提升學生的數學建模素養.

關鍵詞：2021年高考數學試題;數學建模;素養考查

高考作為我國選拔人才的主要方式，其作用不應局限于檢測學生對理論知識的掌握情況，還應考查學生是否能夠靈活運用所學知識，解決實際生活中的問題. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“《課程標準》”）提出了高中數學的六大核心素養——數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析，并將“數學建模活動與數學探究活動”作為一個單獨的主題，強調它是“高中階段數學課程的重要內容”. PISA 框架也強調學生運用數學應對個人生活、職業生涯以及公民生活等情境中的問題的能力[1].因此，作為連接數學世界和現實世界的橋梁，數學建模理應受到足夠的重視.以下，筆者從數學建模素養的角度對2021年高考數學全國甲卷（理科）（以下簡稱“全國甲卷”）、全國乙卷（理科）（以下簡稱“全國乙卷”）、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷這四套試卷（以下簡稱“四套試卷”）進行分析，以期得到一些啟示.

一、分析框架的建立

《課程標準》從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個方面將學生的數學建模素養分為三個水平，但沒有提供評價試題中數學建模素養水平考查的方式.因此，筆者根據《課程標準》對數學建模素養的闡述，參考鮑建生提出的試題綜合難度模型，即用探究、背景、運算、推理、知識含量五個因素分析數學題目[2]，提煉出五個分析試題的維度——情境、運算、推理、建模工具和建模層次，并對每個維度的不同水平賦予數值，進行量化分析.其中，運算和推理兩個維度的水平劃分與鮑建生綜合難度模型一致，故不再贅述.下面具體介紹情境、建模工具和建模層次三個維度的水平劃分依據.

（一）情境維度的劃分

由于數學建模是圍繞現實問題進行的，故本文根據PISA框架對情境的劃分，將情境維度分為個人、職業、社會和科學四種.個人情境與學生的日常生活關系密切，是學生最為熟悉的情境.職業情境聚焦勞動，涉及測量、成本計算、調度庫存、工作決策等學生難以親歷的問題[3].社會情境基于社會公共生活，包括投票、公共交通、公共政策等一系列活動.科學情境著眼于自然科學領域，例如氣候、生態、醫學等，往往出現學生難以理解的理論知識，最不貼近學生的實際生活.根據學生對以上四種情境的熟悉程度，筆者分別對個人情境、職業情境、社會情境、科學情境的水平賦值1，2，3，4.

（二）建模工具維度的劃分

基于高中數學的五大主題——預備知識、函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動，結合高中數學建模可能使用到的數學理論知識，筆者將建模工具劃分為幾何，不等式、函數與方程，數列，導數，概率與統計五個子維度.由于知識本身的難易程度難以劃分，所以對每個子維度的水平賦值均為1，并根據試題涉及的建模工具的數量進行累加賦值.

（三）建模層次維度的劃分

學生的數學建模素養可以通過解題過程反映出來，不同難度的試題也可以映射出要考查的素養水平.根據喻平對數學核心素養劃分的三種水平——知識理解、知識遷移、知識創新，筆者將建模層次分為理解模型、應用模型、建構模型，分別賦值1，2，3.其中，理解模型指的是考查學生能否直接調用曾經學過的、熟悉的模型解決簡單的數學問題，應用模型指的是考查學生能否篩選出合適的模型解決需要運用多種知識的常規性問題，建構模型指的是考查學生能否靈活運用或組織所學的定理、公式、法則等建構新的數學模型來研究問題、解決問題并進行模型檢驗.

綜合上述分析，可以得到2021年高考數學試題所考查的數學建模素養水平的分析框架，如表1.本文采用以下方法計算整套試卷某一維度的總體水平值：[di=jnijdijn]，其中，[di]代表第[i]維度的總體水平值，[nij]代表第[i]維度第[j]水平的試題數量，[dij]代表第[i]維度第[j]水平的賦值，[n]代表數學建模試題總數.

二、數據統計與分析

（一）數學建模試題統計

篩選四套高考試卷中考查數學建模核心素養的試題，統計試題題型、情境、分值等信息，得到表2.

根據表2可知，四套試卷中考查數學建模素養的試題的總分占比差距不大，但其占比總體來說都偏小，新高考Ⅰ卷更少.從試題類型上看，數學建模試題集中在選擇題，且每套試卷都會有一道解答題考查學生對數學知識的應用能力.從試題情境上看，數學建模試題涵蓋了個人情境、社會情境、職業情境和科學情境，大多以實際生活為背景，也有部分試題與數學史有關，如全國乙卷考查《海島算經》中的測量方法.

（二）數學建模素養的考查水平

根據表1的分析框架對表2中的試題進行統計，可得到表3.需要說明的是，由于一道試題可能涉及多種建模工具的使用，對某一試卷使用某一類型的建模工具的試題數量所占百分比采用如下計算方式：[pj=mjjmj×100%]，其中[pj]代表使用第[j]種建模工具的試題數量所占百分比，[mj]代表第[j]種建模工具使用的次數.

下面根據表3的統計結果，對四套試卷在情境、運算、推理、建模工具、建模層次五個維度進行對比分析，最后對各維度的總體水平值作對比說明.

1.情境維度

由于考查數學建模素養的試題在試卷總題量中占比不高，四套試卷均只涉及兩類或三類情境.全國甲卷和乙卷的情境集中在職業情境，而新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷的情境則相對分布得更加均勻.具體而言，個人情境僅出現在全國甲卷，科學情境僅出現在新高考Ⅱ卷.四套試卷均涉及職業情境，考查的背景多以測量和產品質量的比較為主.除全國甲卷外，其他三套試卷均含有社會情境的試題，以我國社會經濟發展與科技進步的重大成就為素材，例如新高考Ⅰ卷中的“一帶一路”知識競賽，在考查學生的數學建模素養的同時，引導學生關注社會發展，增強民族自豪感和自信心.

2.運算維度

四套試卷數學建模試題考查的運算能力均只涉及中間兩個水平，不涉及無運算和復雜符號運算的試題，整體來說運算難度中等.相對而言，全國甲卷和新高考Ⅱ卷有更多的試題考查簡單符號運算，而全國乙卷和新高考Ⅰ卷則更多地涉及數值運算，運算難度偏低.

3.推理維度

四套試卷數學建模試題在推理維度上表現出一致性，基本上以簡單推理為主，對學生的邏輯推理能力要求不高，極少數試題處于復雜推理水平，沒有不需要推理的試題.全國甲卷、全國乙卷和新高考Ⅰ卷的建模類試題僅考查簡單推理，新高考Ⅱ卷則有33.33%的試題考查了復雜推理.

4.建模工具維度

四套試卷的數學建模試題涵蓋了五種類型的建模工具，但它們所占的比例有明顯差別.概率與統計模型的試題出現次數最多，每套試卷均有所涉及，不等式、函數與方程模型次之，在三套試卷中出現，幾何、數列、導數模型雖有出現但占比較少.具體來看，全國甲卷和新高考Ⅱ卷涉及的模型類型有三種，比全國乙卷和新高考Ⅰ卷多.全國甲卷第8題考查學生能否正確運用線線關系、線面關系等幾何知識將已知量轉化到一個三角形中，涉及幾何模型的應用，新高考Ⅰ卷第16題計算對折后的圖形面積之和涉及數列模型的應用，新高考Ⅱ卷第21題考慮函數的單調性涉及導數模型的應用.概率與統計模型的試題涉及的知識點非常豐富，全國甲卷考查排列組合、頻率的計算和獨立性檢驗，全國乙卷考查平均數與方差的計算和應用，新高考Ⅰ卷考查隨機變量的分布列和期望的應用，新高考Ⅱ卷考查正態分布和隨機變量的分布列.不等式、函數與方程模型的試題存在和其他模型交匯考查的情況，例如新高考Ⅱ卷第21題需要學生綜合運用概率與統計，不等式、函數與方程以及導數的知識，這與函數在高中數學的核心地位密不可分.

5.建模層次維度

總體上看，四套試卷的數學建模試題考查的建模層次處于中等水平，其中，理解模型和應用模型的試題占比最高，建構模型只出現在新高考Ⅱ卷中.全國甲卷以理解模型為主，例如第4題給出了具體的對數線性模型，用于描述五分記錄法數據和小數記錄法數據的關系，學生只要能讀懂題意，將數值代入表達式即可.全國乙卷以應用模型為主，例如第6題考查分組分配問題，需要學生明確題目為不等分組的分配問題，應該先分組后排列.新高考Ⅰ卷在理解模型、應用模型兩個水平分布均勻，新高考Ⅱ卷則在理解模型、應用模型、建構模型三個水平分布均勻.值得關注的是，反映建構模型水平的試題，不僅考查了學生將情境問題表達成數學問題的能力，還考查學生能否根據生命科學的真實情境對給出的數學結果作出解釋的能力，較之其他試題能更完整地體現數學建模的過程，展現數學的應用之美，讓學生體會理論與實際結合之妙.

6.各維度總體水平值

依據表3，可以得到四套試卷數學建模素養不同維度考查的總體水平值（圖略）.新高考Ⅱ卷考查的數學建模素養水平在五個維度都相對最高，新高考Ⅰ卷與全國乙卷考查的素養水平相差不大，全國甲卷在情境、建模層次、推理維度上考查水平偏低，建模工具維度上考查水平居中，運算維度上考查水平相對較高.但簡而言之，四套試卷各維度的水平都沒有保持一個近似平衡的五邊形，在建模工具和建模層次維度考查的水平偏低.究其原因，除了新高考Ⅱ卷第21題融合了三種建模工具以及全國甲卷第8題涉及兩種建模工具的使用外，其他試題都僅僅考查學生單一主題的模型使用能力，并且大約一半的試題呈現了解題所需的模型.

為了進一步分析四套試卷考查的整體的數學建模素養水平，可以根據公式[d=idiki]對各維度的水平值進行加權平均.其中，[ki]代表第[i]維度所占的權重，以“情境”權重為1.00作為參考標準，各維度所占權重依次為1.00，1.19，1.53，0.91，1.35[4].將表3中的數據代入公式，得到全國甲卷、全國乙卷、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷考查的數學建模素養的綜合水平分別為10.91、11.33、11.47、13.96.由此，可以更直觀地看出四套試卷考查的數學建模素養水平從高到低依次為新高考Ⅱ卷、新高考Ⅰ卷、全國乙卷、全國甲卷.

三、結論與啟示

（一）結論

從整體上看，全國甲卷、全國乙卷、新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷考查數學建模素養的試題均只有2～3題，占試卷總分值的11.33%～14.67%，四套試卷數學建模素養的綜合考查水平從高到低依次為新高考Ⅱ卷、新高考Ⅰ卷、全國乙卷、全國甲卷，但總體來說考查的內容都比較基礎，不會使學生產生對數學建模試題的畏難情緒.從情境的角度看，四套試卷涵蓋了PISA框架的四種情境，職業情境和社會情境相對較多，幾乎每套試卷都有這兩種情境.從運算的角度看，四套試卷的數學建模試題都僅涉及數值運算和簡單符號運算，運算難度處于中等水平.從推理的角度看，試題的推理難度不高，大多處于簡單推理水平，需要復雜推理的試題很少.從建模工具的角度看，概率與統計模型的試題占比最大，不等式、函數與方程模型次之，其他模型出現頻率很低，并且大多數試題都只涉及一種類型的模型的使用.從建模層次的角度看，四套試卷對學生建模能力的要求不高，絕大多數試題考查的是學生能否理解模型和應用模型.

（二）啟示

1.融合試題與情境，發展學生的應用意識

一方面，高考命題以數學核心素養為導向，情境的設計直接影響著數學核心素養的有效評價，數學建模核心素養作為六大數學核心素養之一，對其素養水平的評價與情境的復雜程度、真實程度密切相關[5].另一方面，數學建模過程需要將現實問題抽象為數學問題，將數學結果解釋成現實結果，依賴具體情境的建構.因此，在高考數學試卷中絕大多數試題都是無情境試題的情況下，可以適當增加情境化的試題.在試題中融入情境，可以根據學生的認知發展情況選取學生熟悉的材料，例如社會經濟發展過程中的熱點問題、我國古代優秀的傳統文化、簡單的學科交叉問題等，對其加以利用、改編，不僅可以考查學生對真實情境問題的解決能力，還可以開闊學生的視野，幫助學生感悟數學的獨特魅力，增強學生用數學知識解決問題的意識.但需要注意的是，將試題與生活結合，不僅要關注情境的真實性，還要考慮情境與試題結合的有效性，不能出現脫離情境也可以解決問題的情況.

2.整合知識主題，建構完整的知識體系

希爾伯特曾說：“數學科學是一個不可分割的有機整體，它的生命力正是在于各個部分之間的聯系.”數學知識之間存在深刻的內在聯系，《2019年普通高等學校招生全國統一考試大綱（理科數學）》（2021年沿用）也指出，命題設計要圍繞知識網絡的交匯點，使對數學基礎知識的考查達到必要的深度.教材中各章節內容相對獨立，學生在知識學習的過程中也可能出現學后忘前、不能整合的情況，因此局限于考查學生對于某一類主題知識的應用能力，難以實現高考的選拔性要求.此外，相對于高考數學建模試題的情境，現實生活中需要運用數學知識解決的問題往往要復雜得多，因此，高考試題特別是數學建模試題，應考查學生的綜合應用能力.通過試題的編制，將不同主題的知識聯系起來，有助于學生系統、全面地理解數學知識，提高遷移數學知識的能力，以及分析、解決現實問題的能力.

3.設置創新型情境，展現建模完整過程

一個完整的數學建模過程包括將現實情境簡化成現實模型，再將其數學化，形成數學模型，然后對數學模型進行求解得到數學結果，將數學結果解釋成現實結果，再對現實結果進行檢驗并改進模型，如此循環，不斷修正[6].在理想的情況下，一道結構良好的考查數學建模素養的試題，應涉及數學建模的全過程，但由于考試的局限性，數學建模試題往往聚焦于學生對數學知識的應用能力，以應用模型、求解模型為考試的重點.而讓學生經歷完整的數學建模過程，可以使學生積極思考、敢于質疑，培養數學思維和創新意識，積累數學活動經驗，實現“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界”的數學學習的最終目標.因此，考試試題的命制也應盡量考慮到數學建模的全過程，可以建構創新情境，每一題設置多個小問題，分別對應數學建模的每個子過程，從而更加有效地考查學生的數學思維和數學建模能力.考慮到數學建模的開放性，還可以設置開放性試題，適當滲入一些需要學生作出判斷的不確定性知識[7].

參考文獻：

[1][3]于國文，陳鵬舉，馮啟磊，等.PISA數學測評內容和情境演變及其啟示[J].數學教育學報，2019（4）：17-23.

[2]鮑建生.中英兩國初中數學期望課程綜合難度的比較[J].全球教育展望，2002（9）：48-52.

[4]武小鵬，張怡.中國和韓國高考數學試題綜合難度比較研究[J].數學教育學報，2018（3）：19-24，29.

[5]常磊，鮑建生.情境視角下的數學核心素養[J].數學教育學報，2017（2）：24-28.

[6]BLUM W， LEI D. How Do Students and Teachers Deal with Modelling Problems？[A]. HAINES C. et al.Mathematical Modelling： Education，Engineering and Economics. Chichester： Horwood， 2007：225.

[7]喻平.發展學生學科核心素養的教學目標與策略[J].課程·教材·教法，2017（1）：48-53.