基于多徑信道模型研究時間反演腔的反演特性

陸希成 邱揚? 田錦 汪海波 江凌 陳鑫3)

1) (西安電子科技大學(xué)機電工程學(xué)院,西安 710071)

2) (西北核技術(shù)研究院,西安 710024)

3) (中國工程物理研究院電子工程研究所,綿陽 621999)

基于時間反演腔的電磁波時間反演技術(shù)在許多方面有著潛在的應(yīng)用,如脈沖壓縮、功率合成、微擾探測、波束成形等.其中,時間反演腔通常采用具有多徑傳輸特征的微波混沌腔.利用衍射理論,雖然可以證明這類腔體在時間反演過程中具有時空聚焦特性并可用于脈沖壓縮,但是它不能用于分析腔體的反演性能.為了得到一個合適的分析方法并可用于指導(dǎo)時間反演腔設(shè)計,本文基于信道理論,分析電磁波傳播的散射、擴散和衰減特性,構(gòu)建了時間反演腔的多徑信道模型,并詳細研究了路徑之間的串?dāng)_特征,給出反演重構(gòu)信號的時間旁瓣產(chǎn)生機理、時移特征以及對主瓣的干擾情況.另外,根據(jù)隨機平面波假設(shè),還分析了空間焦斑的分布特征.實際焦斑大小不但受限于衍射極限而且還與初始焦斑大小有關(guān).這些理論分析結(jié)果與實驗和數(shù)值仿真結(jié)果基本一致.

1 引言

時間反演方法是將系統(tǒng)響應(yīng)信號進行時間翻轉(zhuǎn)后形成反演信號,然后再輸入到系統(tǒng)中,并在初始位置重構(gòu)出原始波形的一種方法,該方法具有時空同步聚焦特性.早在20世紀(jì)六七十年代,人們就提出了時間反演的概念[1],主要用于研究聲波在時間和空間上的聚焦[2].在數(shù)學(xué)上,聲波的傳播方程與電磁波的傳播方程是一致的,均為雙曲型擴散方程.因此,理論上可將聲學(xué)中的時間反演技術(shù)引入到電磁學(xué)領(lǐng)域.直到2000年之后,隨著高頻數(shù)字采樣技術(shù)的成熟,時間反演技術(shù)才開始引入到電磁學(xué)領(lǐng)域.第一個電磁反演系統(tǒng)由單個收發(fā)天線和高Q值混響室(即時間反演腔)組成[1].該系統(tǒng)采用的時間反演腔(time reversal cavity,TRC)不但可以提高時間反演中的多徑效應(yīng),而且還克服了收發(fā)天線的時空覆蓋限制,具有很好的反演性能.對于TRC,一些研究人員利用衍射理論和格林函數(shù)證明了時間反演的時空聚焦特性[3,4].

近年來,許多研究人員開展了TRC的時間反演技術(shù)在脈沖壓縮及功率合成[5?7]、保密通信[8?10]、反演成像[11,12]、波束成形及定位[13?17],微擾探測[18,19]等方面的理論和實驗研究.為了進一步推進實際應(yīng)用,還需要建立合適的物理模型和方法,用于分析TRC的反演性能并指導(dǎo)TRC的優(yōu)化設(shè)計.但目前還缺少這方面的深入研究.當(dāng)前主要是采用無線信道理論中的統(tǒng)計建模和確定性建模的仿真方法開展分析.例如,文獻[20]基于樣本參數(shù)信息采用遺傳算法優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型方法去獲得質(zhì)量較好的反演系統(tǒng);文獻[21]利用數(shù)值仿真分析了無線信道的時間反演多徑特征.但在TRC的優(yōu)化設(shè)計中,改變參數(shù)就需要重新仿真計算.該方法不但耗時長,而且也很難指導(dǎo)獲得最優(yōu)結(jié)構(gòu).

本文將基于多徑信道理論,分析路徑之間的串?dāng)_特征,建立TRC的多徑信道模型,并用于分析TRC重構(gòu)信號的時間主瓣與旁瓣特征.此外,假設(shè)路徑上傳播的電磁波為隨機平面波,進一步分析重構(gòu)信號的空間分布.這些可為TRC優(yōu)化設(shè)計和實際應(yīng)用提供理論支持.

2 多徑信道模型

2.1時間反演腔

當(dāng)電磁波傳輸介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率張量均為實對稱矩陣時,電磁系統(tǒng)具有時間反演對稱性,也稱為時間反演不變性[22].基于這種對稱性,文獻[1]中構(gòu)建了一個TRC系統(tǒng),并開展了電磁波的時間反演實驗,其典型結(jié)構(gòu)如圖1所示.其中,系統(tǒng)中的TRC滿足電大條件(電大條件是指腔體特征尺寸遠大于傳播波長的情況);Port 0和Port 1為系統(tǒng)的輸入或輸出端口.另外,上部藍線為普通的響應(yīng)過程,下部紅線為反演過程.

圖1 典型的TRC系統(tǒng)Fig.1.Classical TRC system.

該系統(tǒng)中的電磁波從一個端口經(jīng)腔體傳播到另一個端口.根據(jù)信息論,該通道能夠傳送信息(電磁波),可認(rèn)為是一條完整的信道.由此,本文利用信道的概念和理論來分析TRC系統(tǒng)的時間反演問題,并將Port 0,Port 1和TRC構(gòu)成信道的沖激響應(yīng)函數(shù)利用h(t) 表示.

為了簡化分析,本文以電場信號為例分析電磁時間反演的特性.并且,進一步將電場矢量信號簡化為標(biāo)量信號,記為s(t) .在這種情況下,如果初始信號sori(t) 在Port 0輸入,則在Port 1的響應(yīng)信號sres(t) 可表示為

式中,?為卷積算符.將響應(yīng)信號進行時間反演變換可得到反演信號srev(t) 為

并將其在Port 0(或Port 1)輸入到系統(tǒng)中.由此,可以得到時間反演重構(gòu)信號srec(t) 為

為了研究反演重構(gòu)信號的特征,需要重點分析沖激響應(yīng)函數(shù).由此本文定義它的自相關(guān)函數(shù)κ(t) 為

它是決定系統(tǒng)時間反演性能的一個核心參數(shù).在理想條件下,系統(tǒng)的自相關(guān)函數(shù)滿足

式中,δ為奇異函數(shù).此時,重構(gòu)信號等于初始信號,即srec(t)sori(t) .

但在實際情況下,電磁波傳播的擴散、散射和衰減特性將會導(dǎo)致自相關(guān)函數(shù)并不等于奇異函數(shù).也就是說,實際情況下反演重構(gòu)信號并不完全等于初始信號,如圖2所示.該重構(gòu)信號是基于圖1中的幾何模型通過實驗方法獲得的,具體反演過程也可參見圖1.

圖2 實驗測量的時間反演腔重構(gòu)信號Fig.2.Reconstructed signal of TRC.

另外,從數(shù)學(xué)上看,時間反演過程等于系統(tǒng)分別進行了一次卷積和一次反卷積運算.因此,時間反演系統(tǒng)也可稱為卷積系統(tǒng).

2.2 多徑串?dāng)_

對于電大的TRC,腔體內(nèi)電磁波的傳播滿足程函近似條件,即波長變化緩慢并且振幅的變化遠小于相位的變化,可近似認(rèn)為是無窮多個相互獨立的射線形式傳播[23].因此,TRC系統(tǒng)可看成是一個多徑信道,沖激響應(yīng)函數(shù)h(t) 可通過多徑信道理論來建模.信道中的多徑可能包括了直射路徑、散射路徑(鏡面散射和漫散射)、衍射路徑、繞射路徑等.他們有長有短,信號到達接收端的時間會不同,將會出現(xiàn)多徑時延現(xiàn)象,即時間色散特征.

如果僅從空間上看,信道內(nèi)每條路徑都是相互獨立的,具有獨立的沖激響應(yīng)函數(shù).在線性條件下,信道的沖激響應(yīng)函數(shù)h(t) 可表示為信道內(nèi)每條路徑的沖激響應(yīng)函數(shù)hi(t)之和,即h(t) 可表示為

式中,m表示信道的所有路徑數(shù)量.

雖然在空間上腔體內(nèi)的路徑是相互獨立的,但是由于電磁波在傳播過程中的擴散特性和散射特征,將會導(dǎo)致不同路徑上傳播的電磁波出現(xiàn)串?dāng)_(互耦)現(xiàn)象,如圖3所示,即獨立路徑上的電磁沖激響應(yīng)函數(shù)hi(t) 不再獨立.由此,本文重新定義多徑信道的沖激響應(yīng)函數(shù)為

圖3 散射和擴散對路徑串?dāng)_影響 (a) 散射情況;(b) 擴散情況Fig.3.Crosstalk of scattering and diffusion on paths:(a) Scattering;(b) diffusion.

式中,k(t) 為路徑的衰減系數(shù)向量,其第i個系數(shù)ki(t)描述了第i條路徑上傳播信號的時間衰減特征;矩陣A(t) 為電磁波在每條路徑之間傳播的關(guān)聯(lián)矩陣,描述了路徑之間電磁波傳播的串?dāng)_特征,可表示為

其中,aij(t) 表示第i條路徑上的電磁波傳播到第j條路徑上的相關(guān)性.δ為奇異函數(shù)向量,可表示為

其中,τi為第i條路徑的響應(yīng)延遲時間(即路徑的飛行時間);T表示向量的轉(zhuǎn)置.

3 反演特性分析

根據(jù)多徑信道模型可知,路徑將會對反演信號進行時間補償,使得沿不同路徑傳播的信號同時到達接收端口,可重構(gòu)出初始信號.在這個過程中,電磁波出現(xiàn)了時間和空間上的匯聚,即具有時間壓縮和空間聚焦特征.這也是時間反演技術(shù)兩個最重要的基本特性.

但是,電磁波在路徑之間的傳播存在串?dāng)_使得反演重構(gòu)信號出現(xiàn)“噪聲”,導(dǎo)致重構(gòu)信號與初始信號并不完全相同.另外,從空域上看,由于電磁波的衍射特征,也會導(dǎo)致重構(gòu)信號的空間分布不可能與初始信號分布一致.由此,本文根據(jù)重構(gòu)信號分析它的反演特性.

3.1時域波形特征

3.1.1 主瓣與旁瓣

根據(jù)多徑信道模型,自相關(guān)函數(shù)κ(t) 和重構(gòu)信號srec(t) 可分別表示為

根據(jù)關(guān)聯(lián)矩陣特性,可將(10)式分成以下幾種情況討論.

1)當(dāng)ij時,有τiτj,自相關(guān)函數(shù)和重構(gòu)信號可表示為

式中,κi=j(t) 表示第i條路徑自身傳播電磁波的相關(guān)特性.由此可見,在ij時,重構(gòu)信號srec,i=j(t)與初始信號波形一致,只是幅度減小了.這種情況沒有考慮到串?dāng)_的影響.

2)當(dāng)ij時,若τiτj,自相關(guān)函數(shù)和重構(gòu)信號可表示為

此時,重構(gòu)信號的波形與初始信號波形也一致.由此,可將同時到達的路徑認(rèn)為是同一個路徑,這在路徑的時間分析中非常有利.

3)當(dāng)ij時,若τiτj,自相關(guān)函數(shù)和重構(gòu)信號可表示為

式中,κi=j(t) 表示第i條路徑和第j條路徑上電磁波傳播的相關(guān)性.在電磁波傳播的擴散和散射特性條件下,aij0和aji0.此時,重構(gòu)信號srec,i=j(t)的波形與初始信號波形基本一致,只是出現(xiàn)了時間偏移 (τi?τj) .

由此,重構(gòu)信號中發(fā)生時間偏移的信號被稱為“時間旁瓣”,而第一部分中沒有出現(xiàn)時間偏移的信號,則稱為“時間主瓣”.再根據(jù)電磁波傳播的對稱性可知,關(guān)聯(lián)矩陣中的單元相關(guān)系數(shù)應(yīng)滿足

這也反映出反演重構(gòu)信號的時間旁瓣具有對稱性,如圖2所示.

如果時間反演系統(tǒng)中沒有電磁散射,例如只有直射路徑,則路徑之間沒有信息(能量)交換.此時,重構(gòu)信號不會出現(xiàn)時間旁瓣,文獻[24]給出了實驗證實.由此可見,散射是重構(gòu)信號出現(xiàn)時間旁瓣的一個必要因素.但是,根據(jù)電磁場理論可知,系統(tǒng)散射是產(chǎn)生多徑的主要原因,電磁波的擴散才是引起路徑之間串?dāng)_的核心因素.因此,旁瓣應(yīng)是系統(tǒng)散射和波擴散的共同作用結(jié)果.

3.1.2 旁瓣時移

利用射線追蹤理論,路徑串?dāng)_主要發(fā)生在發(fā)射端口和接收端口.在這種情況下,旁瓣時移可利用不同路徑傳播的時間差表示,即 (τi?τj) .它能夠反映出主瓣和旁瓣、旁瓣與旁瓣之間的時間間隔,可用于區(qū)分主瓣的被干擾情況.

根據(jù)上述分析,旁瓣時移應(yīng)與路徑長度有關(guān),即路徑越長則串?dāng)_信號的時移就越大.對于一個TRC,從統(tǒng)計上可將路徑分為直接到達路徑、第一次反射到達路徑、第二次反射到達路徑、以及第n次反射到達路徑,即將其分成n+1類.在這種情況下,每類路徑的時移可用腔體內(nèi)射線的平均自由飛行時間τc(即平均自由程的射線飛行時間,也稱為腔體特征時間常數(shù))來表示.

當(dāng)收發(fā)端口位于腔體兩側(cè)時,根據(jù)上述分析,第i類到達路徑的旁瓣時移τi可近似表示為

由此,時間旁瓣的相對時移Tij可近似表示為

式中,i和j是任意的整數(shù).由此可見,反演的時間旁瓣具有對稱性,如圖2所示.

根據(jù)上述分析,初始信號脈寬大于2倍的腔體特征時間常數(shù)時,旁瓣和主瓣將會產(chǎn)生疊加,從而影響主瓣波形,如圖4所示.仿真模型如圖1所示,其中TRC尺寸為600 mm × 400 mm,特征時間常數(shù)約為0.8 ns,初始信號為載波頻率10 GHz脈寬10 ns的方波脈沖.由此可見,主瓣受到了一定的干擾.根據(jù)腔體特征時間常數(shù)定義可知,旁瓣時移主要與腔體尺寸有關(guān).這在TRC的選擇和初始信號脈寬設(shè)計中具有很好的指導(dǎo)作用.

圖4 旁瓣對主瓣的干擾Fig.4.Interference of side lobe to main lobe.

3.2 空間分布特征

3.2.1 空間方向圖

由于電磁波的衍射特性,時間反演的空間聚焦不會形成一個理想點.由此定義時間反演空間方向圖來表示它的空間聚焦特性,即可利用相關(guān)函數(shù)的主瓣最大值(即t0)垂直于傳播方向上的分布表示.以單方向為例,有

式中,D(x) 表示x方向上的分布.

對于TRC,可假設(shè)每條路徑上傳播的電磁波為隨機平面波[25].在接收端口位置上的電磁場為這些平面波的線性疊加.根據(jù)中心極限定理,電磁場空間分布的相關(guān)函數(shù)可表示為

式中,J0為零階貝塞爾函數(shù);r1和r2表示空間任意兩點.該式反映出了系統(tǒng)反演空間聚焦特性,與文獻[3]中利用衍射理論得到的結(jié)果一致.

當(dāng)kn|r1?r2|→∞時,兩個空間位置的場相關(guān)函數(shù)趨近于零,即可認(rèn)為,在遠大于一個波長情況下,在點r1的重構(gòu)信號對點r2的重構(gòu)信號沒有影響.由此,可以得到系統(tǒng)時間反演的空間分辨率等于λ/2,即滿足經(jīng)典衍射極限.另外,如果重構(gòu)信號端口存在近場散射,則還可獲得時間反演的超分辨率特性[26?28].

3.2.2 焦斑分布

實際的空間聚焦尺寸,即焦斑,應(yīng)是初始信號分布和自相關(guān)函數(shù)的卷積.由此,初始信號發(fā)射時的分布dori(x) 與空間方向圖進行卷積,有

式中,d(x) 為重構(gòu)信號的焦斑分布.由此可見,如果初始發(fā)射信號的分布過寬,則會導(dǎo)致重構(gòu)信號的焦斑過大,不利于能量的空間聚焦.

圖5給出了利用(19)式的計算結(jié)果和相應(yīng)的數(shù)值仿真結(jié)果的比較.其中,仿真計算模型與圖1計算采用的模型相同.由此可見,理論分析結(jié)果和仿真計算結(jié)果基本一致.在系統(tǒng)不滿足反演超分辨率的情況下,反演重構(gòu)信號的焦斑不會小于λ/2 .這可為反演重構(gòu)信號的能量提取端口設(shè)計提供技術(shù)支持.

圖5 焦斑分布比較Fig.5.Comparison of focal spot distribution.

4 結(jié)論

本文根據(jù)電磁波傳播的散射和擴散特征分析了TRC的多徑路徑串?dāng)_,建立了時間反演腔的多徑信道模型.利用該模型,研究了重構(gòu)信號時間旁瓣的產(chǎn)生機理,給出了旁瓣對主瓣的干擾情況以及旁瓣時移與腔體尺寸(特征時間常數(shù))的關(guān)系,即時間反演腔的尺寸越大,則旁瓣時移就越大.該結(jié)論可用于指導(dǎo)選擇合適的初始信號脈寬或合適的腔體尺寸.另外,根據(jù)路徑上的隨機平面波假設(shè),同樣可以得到空間聚焦的最小衍射極限為λ/2 .但實際的反演焦斑不僅僅受限于衍射極限,還與初始端口的電磁場分布有關(guān).這些研究結(jié)果對接收端口設(shè)計和反演信號的能量提取有重要意義.