高速列車精確停車的魯棒自觸發預測控制

劉曉宇 荀 徑 高士根 陰佳騰

高速鐵路作為一種大運量、低能耗、高效率的綠色出行方式,在公共交通體系中占有重要地位.列車自動運行(Automatic train operation,ATO)系統是進一步提升高速鐵路安全、高效、舒適、節能的技術手段之一[1?2].列車自動停車控制是ATO 的一項核心功能,其目標是保證列車能夠在預定位置安全、精確停車,同時保證停車過程中乘客的舒適度[3?4].隨著站臺屏蔽門在高速鐵路系統中的應用(如:京張高速鐵路站臺屏蔽門),為保證乘客在裝有屏蔽門的站臺上下車不受影響,對高速列車停車精度提出了更高的要求.

與智能交通系統中“路徑速度規劃?路徑速度跟蹤”的兩級式控制結構[5?6]相似,列車停車控制多采用“制動曲線生成?制動曲線跟蹤”的兩級式控制結構.ATO 系統首先根據當前速度和停車點信息生成推薦速度曲線,進而通過速度控制實時跟蹤該曲線實現精確停車.列車運行過程中的沖擊率(加加速度)是影響舒適度的重要因素[7],在保證跟蹤精度的同時應盡量減少控制輸出的變化,從而減少加速度的變化、降低沖擊率以提高舒適度.同時,高速列車運行環境復雜,停車控制過程還會受到運行阻力等外部環境的干擾[8],控制方法設計過程中應綜合考慮這些影響.

目前,工程實際中常采用比例?積分?微分(Proportional?integral?derivative,PID)控制器進行跟蹤控制[2].實際控制器設計過程中需要針對不同的列車、線路等情況通過大量試驗和反復調試獲得PID 參數,工作強度大、經濟成本高.同時,控制輸出的頻繁切換還會影響制動設備生命周期和乘客舒適度[8].

Yasunobu 等[9?10]最早對列車停車控制問題進行研究,并綜合乘客舒適度、停車精度、運行時間等因素,提出了一種模糊預測控制算法.Hou 等[3]基于終端迭代學習控制思想提出了三種控制算法,該算法能夠利用歷史數據提升當前的控制效果.Jin等[4]在此基礎上提出了最優終端迭代學習控制方法,并分析了終端跟蹤誤差的單調收斂性,但是上述方法的分析和設計過程中未考慮控制系統的時延等性質.Chen 等[11]分別用線性模型、廣義回歸神經網絡模型和基于自適應網絡的模糊推理模型估計初始速度位置與列車停車誤差間的關系,但該方法沒有從控制策略本身的角度考慮提高控制效果.進而,Chen 等[8]對比了基于專家經驗的啟發式在線學習算法、基于梯度下降的在線學習算法和基于強化學習的在線學習算法的控制效果,但該方法的效果依賴應答器提供的定位信息.

于振宇等[12]分析了城軌列車制動模型的特點,將制動過程用一階時延系統近似,確定了城軌列車制動模型.基于此模型,Wu 等[13]將廣義預測控制應用于停車控制器的設計,并引入參數在線辨識提高算法對模型參數變化的自適應能力.羅仁士等[14]設計了城軌列車自適應停車控制方法,該控制方法可以根據模型參數變化的情況進行自適應調整.王青元等[15]引入滑模控制將列車運行阻力作為擾動進行處理,并從減少控制輸出頻繁切換的角度考慮了舒適度,提出了自適應終端滑模控制方法,使方法對模型參數和外部干擾都具備自適應性.現有的列車停車控制研究多基于城軌列車進行,然而高速列車的停車過程多在露天環境下完成,且不同停車車站間的空間跨度大,運行環境更加復雜,迫切需要提出對外部干擾魯棒性更強的停車控制方法.

模型預測控制(Model predictive control,MPC)是處理有約束控制問題的有效方法,已經在理論和應用領域受到廣泛重視[16?17].MPC 在高速列車運行控制[18]和城軌列車運行控制[19?20]中也有相關應用.Liu 等[21]將MPC 用于高速列車停車控制中,并通過仿真結果驗證了方法的有效性.基于狀態空間模型的MPC 算法可以充分應用現代控制理論的研究成果,是MPC 的重要方向[22?24].Tube MPC 作為一種魯棒模型預測控制方法能夠有效地處理外部附加干擾的影響,該方法能夠降低開環預測的保守性,同時不增加額外的在線計算量[25?26].

自觸發控制能夠自主確定當前控制輸出和下次控制輸出變化的時間,降低對實際系統采樣和通信能力的要求[27].該方法能有效抑制控制輸出的頻繁變化,提升列車停車控制過程中的舒適度.Berglind 等[28]提出了線性約束二次型性能指標的自觸發模型預測控制(Self-triggered model predictive control,SMPC)方法,并分析了方法的穩定性.Xun等[29]將SMPC 用于高速列車協同控制中,取得了較好的效果.進一步,有關學者提出了魯棒自觸發模型預測控制(Robust self-triggered model predictive control,RSMPC)方法以提高SMPC對外部附加干擾的魯棒性[30?32].

本文基于模型預測控制在精確停車問題中的研究思路[21],結合高速列車停車控制過程的特點,考慮提高列車在復雜運行環境下的停車精度和舒適度,設計了基于魯棒自觸發預測控制的精確停車控制器,并對控制器的性能進行分析.該方法能夠綜合考慮跟蹤誤差和控制輸出切換頻率,且能保證外界阻力干擾下運行狀態的可行性.同時,該方法不需要在每個采樣時間都基于列車當前狀態求解優化問題,降低了對系統采樣和通信能力的要求,提高了工程實用性.

1 列車動力學模型

目前很多高速列車運行控制的理論研究圍繞多質點模型進行,以考慮高速條件下列車內部各車廂之間的車鉤力以及控制的一致性[33].然而,在高速列車停車過程中,由于車站限速等因素,列車運行速度較低(通常,v ≤80 km/h).實測數據表明,單質點模型能夠用于描述高速列車停車階段的動態.單質點模型包含參數少,同類算法在應用中計算效率更高、可調整參數更少,更容易用于工程實際中.

列車實際制動過程(如圖1)中,由司機或ATO產生制動指令,制動控制單元(Braking control unit,BCU)接到制動指令后,會自動為列車內部各車廂分配所需制動力,各制動裝置(制動器)進而做出響應動作,并通過列車動力學產生相應的運行狀態(速度、加速度等).因此,在現有列車運行控制系統中,ATO 通常不能直接控制各車廂的制動力,所以采用單質點模型設計控制器更符合現階段的應用條件.在此背景下,許多高速列車運行控制模型的相關研究圍繞單質點模型進行[34?35].

圖1 列車制動控制過程Fig.1 Diagram of train braking control process

高速列車停車過程中,列車制動模型可以由一階時延系統表示:

在時域內表示為:

其中,t為時間,ac(t) 是由制動系統作用而使列車產生的加速度,at(t) 表示目標加速度,τ是系統響應時間常數,Td是系統時延.

加速度at(t) 是制動系統的目標加速度,由司機或ATO 的制動指令u(t) 產生:

式中,u(t) 是制動指令,F(·)是 u(t)到at(t)的變換函數,在列車停車控制過程中,F(·)可以近似作為線性函數處理:

其中,c為固定常數[12].

列車的實際加速度為:

其中,a(t) 為列車實際加速度,ac(t) 是制動系統產生的加速度,ar(t) 表示列車運行阻力產生的加速度.

上述過程可以由圖2[12]表示.

圖2 列車制動模型Fig.2 Train braking system model

列車運行阻力根據產生原因可以分為附加阻力(包括坡道阻力、曲線阻力等)和基本阻力.列車運行阻力產生的加速度可表示為:

式中,aw(v) 是基本阻力產生的加速度,ag(s) 是坡道阻力產生的加速度,v和s分別表示速度和位置.曲線阻力等附加阻力可以轉換為坡道阻力來表示.

列車基本阻力受多種因素的影響,常用Davis經驗公式[36]表示:

式中,β0和β1表示由線路條件、輪軌耦合等阻力的加速度參數,β2表示空氣阻力的加速度參數.

2 高速列車精確停車預測控制

列車停車初始速度為v0,初始位置為s0,推薦制動曲線由預定停車時間和到停車點的距離反推得到,推薦加速度為a0.高速列車精確停車控制問題可表述為:在上述制動系統模型和相關約束下,控制列車跟蹤推薦速度曲線,實現精確停車,使停車精度在±50 cm 以內,并保證停車過程中的舒適度.

2.1 基于狀態空間的預測控制

列車停車控制過程的動態模型可以用如下狀態空間方程表示:

式中,v(t),s(t) 分別表示列車實際速度和位置.

將上述單輸入多輸出系統的狀態空間模型進行離散化,并寫成控制增量 ?u的形式,以顯式描述控制輸出的變化:

其中

式中,T為采樣時間,是離散狀態空間方程中的時延項,w(k) 為阻力干擾項.沖擊率(加速度的變化率,加加速度)是影響舒適度的重要因素,抑制加速度的變化能從減少沖擊率的角度提高舒適度.制動加速度與控制輸出成線性關系,因此抑制u(k)的變化可以改善舒適度.將 ?u(k) 顯式表示可以更好地處理控制量的頻繁切換.

坡道阻力等線路參數均為已知量,基本阻力可以根據惰行數據進行辨識[37],進而將w(k) 作為前饋項進行處理,得到線性化模型

定義在k時刻的預測值:xi|k=x(k+l+i),?ui|k=?u(k+i),ui|k=u(k+i),預測時域和控制時域均取為N,預測控制問題為在每一步求解如下線性約束二次型優化問題PN(?u) :

PN(?u)的約束為:

式中,xk表示k時刻的實際值;X表示跟蹤誤差的可行集,可由預測狀態xi|k的可行集結合得到;N[0,N?1]表示從 0 到N ?1 的整數;Xf為終端不變集.

PN(?u)為二次型性能指標、線性約束的凸優化問題,可以找到很多快速求解算法,求解PN(?u)可得最優控制增量向量.

2.2 精確停車魯棒預測控制器設計

問題PN(?u) 為外部阻力完全已知情況下的預測控制,沒有考慮阻力干擾存在的情況下列車狀態是否仍然滿足約束X和Xf,因此不能保證MPC的可行性和穩定性[25].此外,實際停車過程中,外部阻力干擾不可能完全已知.本文將外部阻力作為有界外部干擾w ∈W,設計基于Tube MPC[25?26]的列車停車控制方法.

Tube MPC 在每一步的優化問題中仍假設N步以后采用反饋控制策略,并以此來計算終端集和終端代價函數,以及預測干擾的影響:

其中,K ∈Rn且能保證Acl:=A+bK為H u rwitz 矩陣.停車控制過程中,初始位置和速度分別為s0,v0,推薦加速度為a0,推薦速度曲線滿足此時狀態跟蹤誤差為:

考慮干擾的條件下,式(12)中的約束變為[25]:

式中

其中,?表示Pontryagin 集差,⊕表示Minkowski集和,表示從j=0到j=i的Minkowski 集和.Σ為保證N步之后遞推可行性的魯棒不變集.

干擾不變集為:

對于本文的停車控制問題,在反饋控制率下,Z為多面集,且可以用文獻[38]的方法經過有限次計算得到合適的外部估計.

可知:

Z為最小不變集,即魯棒不變集Σ應滿足,

式中,Σ0為最大跟蹤誤差容許集,可由文獻[39]中的方法計算得到.

目標函數仍為式(11),考慮時延、初始狀態均為已知量,則J(k) 為 ?u的函數,記N步控制增量?U的可行集為

由上文,優化問題中假設N步預測后系統采取反饋控制率 ?u=K(x ?xs),則k+1 時刻的一組可行控制策略為:

?Uk+1的可行性可由約束式(14)保證.此時對應的性能指標為:

因此,要使J(k+1)

應用Schur 補,可得求解P的線性矩陣不等式(Linear matrix inequality,LMI):

k+1時刻性能指標的最優值J?(k+1)

需要指出,對于k時刻的任一可行控制序列,在k+1 仍按上述方法設計可行控制序列,只要式(19)滿足,仍可得到穩定的控制器設計,即穩定性不依賴最優性,這有利于減少在線計算量[40].

由此,基于Tube 的魯棒預測控制(Robust model predictive control,RMPC) 即為將原始MPC 問題 式(11)中的約束直接換為式(14)得到.約束的變化可以離線進行,不增加在線計算量[25?26].

3 精確停車魯棒自觸發預測控制

列車精確停車預測控制在滾動時域優化的每一步都要基于當前運行狀態求解線性二次型優化問題,這對列車的采樣、通信能力等提出了極高的要求.每次求解獲得新的控制量還會使控制輸出頻繁切換,影響舒適度.自觸發控制[27]能夠自主確定當前控制輸出和下次控制輸出變化的時間,是進一步降低控制輸出的頻繁變化,提升舒適度的有效方法.Berglind 等[28]提出了線性約束二次型性能指標的自觸發模型預測控制(Self-triggered model predictive control,SMPC)方法,并分析了方法的穩定性.

為了更有效地處理外部干擾,Brunner 等[32]系統地研究了基于Tube 的魯棒自觸發模型預測控制(Robust self-triggered model predictive control,RSMPC)方法,該方法通過引入Tube 內的附加變量保證了無限時域下狀態變量的閉環魯棒穩定性,但是該方法使滾動優化過程的變量數量增加了一倍.本文基于文獻[32]的思路,直接在RMPC 中引入自觸發機制,得到高速列車精確停車魯棒自觸發預測控制方法.

3.1 魯棒自觸發預測控制器設計

由式(18)可得:

進一步有:

進而可得精確停車預測控制器的次優性,且性能指標存在次優性上界.同時,隨著時域的不斷前移,次優上界隨著滾動優化的過程不斷減小[22?23].

由式(21)可以得到[28]:

式中,β ≥1 為系統次優性和自觸發控制計算次數的平衡參數.

在自觸發預測控制的框架下,只需在采樣時間{tl|l ∈N}?N 獲取列車運行狀態,并計算在區間[tl,tl+1)的控制輸出,在區間內控制輸出保持不變:

將式(23)寫成控制增量的形式:

對所有的l ∈N,在每個時間tl,自觸發預測控制的目標是計算控制增量 ?utl和距更新時間tl+1的間隔M ∈N[1,N),使得在保證控制效果次優性(式(22))的基礎上,M取盡量大,以減少控制輸出的頻繁切換.在時刻tl,tl+1,···,tl+1?1,控制器將采用同樣的控制量l,所以在時刻tl+1,···,tl+1?1系統不需要進行采樣和計算.

在k時刻求解優化問題,考慮假設k+N時刻以后采用反饋控制策略,則RSMPC 每一步的優化問題可寫為:

式中,M ∈N[1,N?1]為控制輸出不變的步數.

在i

式中,N≥M+1為大于等于M+1 的整數.

式中

其中,Σ應同時滿足式(16)及式(27).

目標函數JM(k) 為?u的函數,記M步RSMPC問題中,N步預測控制增量 ?U的可行集為

列車精確停車魯棒自觸發預測控制問題可寫為:

式中

當β=1,M=1 時,RSMPC 問題退化為原RMPC 問題.可以選擇適當的β使系統在保證控制效果前提下,盡量減少控制量的切換次數,以提升舒適度.

3.2 魯棒自觸發預測控制器的穩定性

原Tube MPC 問題N步預測控制的遞推可行性由約束式(14) 保證,這與M=1 時的RSMPC問題對應,RMPC 的遞推可行性能夠保證,可知保證RSMPC 遞推可行性的解存在.

根據式(22)有:

以t=∞表示停車控制完成,此時預測狀態的代價函數J?(∞) 趨近于零,于是上式累加可得:

由此可知RSMPC 性能指標在滿足約束的條件下存在有限的上界和下界,預測狀態穩定列車實際狀態可保持在魯棒不變集 Σ 內.

高速列車精確停車RSMPC 方法的步驟如下:

步驟1.確定列車制動系統相關參數,輸出參數A,b,確定K使得Acl為Hurwitz 矩陣,選擇合適的Q,R,由式(26)計算引入RSMPC 后的約束.初始化k=0,i=0,ti=k.

步驟2.采集列車當前的速度、位置等狀態xk.

步驟3.求解優化問題式(29),得到:

?uti=,和M?(xk) .

步驟4.將用于列車實際控制.由M?(xk)確定列車下一時刻的采樣和計算時間:

步驟5.判斷:若k

4 仿真研究

本節基于高速列車實際運行數據對列車精確停車控制方法的有效性進行仿真驗證,ATO 的停準停車窗為±50 cm.主要仿真參數設置如表1.

表1 仿真參數設置Table 1 The simulation parameters

坡度(‰)設置為:

為驗證方法的有效性,本文將PID 算法、阻力完全已知的理想MPC 算法、基于Tube 的RMPC 算法、RSMPC 算法的仿真結果進行對比.

調整PID 參數使得控制器能達到規定的停車精度,PID 停車控制的曲線如圖3 所示.為更好地體現控制輸出變化情況,控制輸出百分率u(k) 以右側縱坐標表示.PID 控制的停車誤差為28.98 cm.

圖3 PID 列車停車控制的速度?位置曲線Fig.3 PID speed-distance profile of train stopping

在MPC 中將阻力干擾作為已知項進行前饋處理,得到停車控制曲線如圖4,控制輸出百分率u(k)以右側縱坐標表示.理想MPC 的停車精度為5.95 cm,但此時將阻力作為已知項進行前饋,實際應用中很難實現.

圖4 MPC 列車停車控制的速度?位置曲線Fig.4 MPC speed-distance profile of train stopping

為驗證不同預測時域下的RMPC 和RSMPC的控制性能,分別選取了預測時域N=5 和N=10進行停車控制,并得到仿真結果,對應制動控制命令輸出百分率u(k) 也分別在圖中給出.

由阻力已知的MPC 仿真結果(圖4)和RMPC 仿真結果(圖5、6)可以看出,相較于PID 控制,預測控制通過對 ?u的懲罰和預測時域的設置明顯降低了控制輸出的變化幅度,提高了舒適度.同時,MPC 在控制過程中引入對未來狀態的預測,跟蹤效果更好.

圖5 RMPC 列車停車控制的速度?位置曲線 (N=5)Fig.5 RMPC speed-distance profile of train stopping(N=5)

圖7 給出了RMPC 在預測時域N=5 和N=10下的速度跟蹤誤差.仿真結果表明預測控制可以實現較高的跟蹤精度.隨著預測時域的增加,優化過程中考慮的預測信息變多,控制器對外界環境未知變化的反應變快,由此造成的速度跟蹤誤差也很快變小,然而,隨著預測時域和控制時域的增加,滾動時域優化過程中未知參數也越多,計算時間也會明顯增長.因此,使用RMPC 進行停車控制時,應綜合考慮控制精度和求解速度的關系.

圖6 RMPC 列車停車控制的速度?位置曲線 (N=10)Fig.6 RMPC speed-distance profile of train stopping(N=10)

圖7 RMPC 不同預測時域下的速度跟蹤誤差Fig.7 RMPC speed tracking error of different horizons

圖5、6 表明,RMPC 在列車停車控制過程,尤其是在變坡點處控制輸出變化幅度較大,這會影響乘客舒適度,自觸發預測控制可以改善此問題.圖8、9 給出了預測時域N=5 和N=10 下的RSMPC停車控制曲線,可以看出,RSMPC 下控制量輸出的切換次數明顯減少.同時,自觸發控制框架下,算法不需要在每個采樣時間都采集列車運行狀態和求解優化問題,降低了控制算法對系統采樣和通信能力的要求,提高了實用性.圖10 給出了N=5 和N=10的RSMPC 速度跟蹤誤差,預測時域越長,RSMPC 控制切換頻率越低,但是這也會使跟蹤誤差變大,算法設計過程中應綜合考慮這些影響.

圖8 RSMPC 列車停車控制的速度?位置曲線 (N=5)Fig.8 RSMPC speed-distance profile of train stopping(N=5)

圖9 RSMPC 列車停車控制的速度?位置曲線 (N=10)Fig.9 RSMPC speed-distance profile of train stopping(N=10)

圖10 RSMPC 不同預測時域下的速度跟蹤誤差Fig.10 RSMPC speed tracking error of different horizons

對于高速列車,要求的停車精度是±50 cm,圖11 給出了預測時域變化時RMPC 和RSMPC的停車精度變化情況.仿真結果表明,RMPC 的停車誤差隨著預測時域的增加呈降低趨勢,但由于列車運行環境復雜,運行過程中受到多種不確定性干擾,這使預測時域繼續增加,停車精度誤差不再有明顯提高.對于RSMPC,自觸發機制使控制輸出的變化頻率降低,這也對跟蹤精度造成一定的影響,在預測時域 3≤N ≤15 時,仍能保證達到要求的停車精度,停車誤差在50 cm 以內.

圖11 不同預測時域下RMPC 和RSMPC 的停車精度Fig.11 Stopping error of different prediction horizons with RMPC and RSMPC

RMPC 和RSMPC 在列車精確停車控制問題上可以實現要求的停車精度.自觸發機制可以降低控制輸出的切換次數,系統無需在每個采樣時間都獲取列車實時的位置和速度并輸出控制量,這降低了對系統采樣和通信能力的要求,但這也使速度跟蹤誤差變大,停車精度降低,算法設計中應綜合考慮這些問題.同時,高性能的ATO 系統也是該方法有效應用的基礎.

5 結論

高速列車運行環境復雜,停車過程中外部阻力等不確定性干擾較大.本文將阻力作為干擾項,使用魯棒模型預測控制處理未知阻力干擾下的停車控制問題,魯棒控制的引入不增加額外的在線計算量,并且能夠達到要求的停車精度.進一步,結合高速列車自動停車控制過程的特點和需求,采用自觸發模型預測控制方法有效減少控制輸出的切換次數,在保證停車精度的同時提高了控制質量.本文中列車停車控制的滾動優化過程被轉化成為線性約束二次規劃問題,該問題的高效求解方法可以為算法的工程應用提供基礎.同時,自觸發機制下不需要在每個采樣時間都求解優化問題,降低了對系統采樣和通信的要求,提高了算法的工程實用性.

致謝

本文的研究得到了城市軌道交通北京實驗室、城市軌道交通自動化與控制北京市重點實驗室的支持和幫助.