非線性動態突變系統的多模型自適應執行器故障補償設計

2022-02-17 10:48:12文利燕

自動化學報 2022年1期

文利燕陶鋼姜斌楊杰

隨著科學技術的發展與進步,性能關鍵的新型應用系統相繼而出,如:航空器、航天器及智能電網系統等.由于新型應用系統自身結構特性及其復雜的工作環境,其系統動力學模型具有多變量、強耦合、快時變、強非線性等特點.特別地,當系統元部件發生故障時,系統會出現大幅度的參數或結構不確定,進而引起系統動態特性突變.若控制器無法有效應對系統的動態突變,則會導致系統性能下降,甚至不穩定,從而引發安全事故.例如:1986 年,大力神火箭因推進器破裂而發生爆炸;1989 年,聯合航空232 號航班因機件失靈致“蘇城空難”等.因此,如何增強控制系統有效處理動態突變的能力,以提高系統的安全性能尤為重要.

目前,為了提高實際系統的安全性和可靠性,在系統容錯控制領域出現了諸多研究成果[1?5].典型的方法有:基于故障診斷與估計的方法[6?14]、基于自適應控制的方法[15?19]、基于魯棒控制的方法[20]、基于滑模變結構控制的方法[21]、基于模糊控制的方法[22]、基于最優控制的方法[23?24]、基于概率的控制方法[25]等.這些方法往往可以應用于執行器故障補償、傳感器故障補償、結構性損傷故障補償等,且在一定程度上解決了因系統故障而產生的系統不確定性問題.文獻[26]基于近空間飛行器的T-S 模糊模型,分別采用自適應控制和滑模控制技術,研究執行器故障補償控制方法.文獻[27]針對含執行器故障的切換多胞模型的飛行器系統,設計自適應補償控制策略;文獻[28]針對高超聲速飛行器飛行中遇到的部分作動器故障問題,提出基于非線性觀測器與控制器一體化設計的自適應反演容錯控制方法.文獻[29]針對含不匹配執行器故障和擾動的系統,研究了一種基于滑模控制的容錯控制方法.然而,當系統參數或結構出現大幅度不確定變化而導致系統動態突變時,卻很難快速精確地實現系統的可靠控制.

作為一種處理系統不確定性的有效工具,自適應控制得到廣泛研究[2?3,30?32],且用于解決各種實際工程問題.如:文獻[33]針對具有參數大范圍變化的高超聲速飛行器系統,設計一種新型強魯棒自適應控制器.然而,對于常規的自適應控制設計而言,系統的跟蹤誤差通常會出現振蕩特性,這一特征往往導致常規的自適應控制方法很難直接應用于解決許多復雜的且對于系統性能要求很高的控制系統的控制問題.此外,就復雜的控制系統而言,系統中多種不同類型的故障可能導致系統模型結構特征的改變,從而導致系統由一種模態跳變到另一種模態.基于此,我們仍需要研究更加有效的容錯控制方法,以有效應對因控制系統結構和參數的不確定性而導致系統動態突變的問題,從而提高系統應對突變的能力,同時實現更快更準確的輸出跟蹤.

目前,為了處理系統多重大不確定故障問題,如:執行器故障、結構性損傷故障以及傳感器故障,已取得了一些初步的研究成果,包括多模型自適應控制[34?36]、多設計融合控制[37]等.文獻[38]針對具有不確定控制方向和無限數目不確定執行器故障的非線性系統,設計一種新的自適應補償控制方法.文獻[39]針對含多重執行器故障的不確定非線性系統,設計一種基于切換的自適應學習控制方法.文獻[40]針對一類嚴格反饋的非線性大系統,設計一種基于自適應模糊的分散容錯控制方法.文獻[41]針對一類具有不確定參數和執行器故障的非線性系統,提出一種基于切換策略的自適應容錯控制方案.文獻[42]針對一類下三角非線性系統,設計一種基于自適應模糊的執行器失效補償控制器.與現有成果不同,本文針對一般的不確定非線性系統,考慮系統因發生多重不確定執行器故障(故障發生的時間、故障值、發生故障的執行器數量及哪一個執行器發生故障均不確定)而引起不確定的系統動態突變問題時,如何設計一種自適應補償控制策略,以提高系統應對動態突變的能力,同時實現快速準確的不確定執行器故障補償和期望的漸近輸出跟蹤.

本文將考慮采用常規自適應控制與多模型切換控制相結合的策略,旨在設計一種穩定、快速、準確的控制算法,以提高系統應對因不確定執行器故障而引發的系統動態突變的能力.基本思路為:1) 針對一般的非線性系統,考慮所有可能的系統執行器故障模式,以構造執行器故障模式集;2) 針對所有可能的執行器故障模式,分別設計與其匹配的自適應控制器,以構造自適應控制器組;3) 設計一種新的控制切換機制,用于從所設計的自適應控制器組中選擇與實際運行系統執行器故障模式最匹配的控制器,用于控制非線性系統,以達到期望的控制系統性能.下面,將具體給出本文的主要創新點和貢獻:

1) 針對因多重不確定執行器故障而引發系統動態突變的非線性系統,采用基于多模型切換的控制策略,設計了一種自適應執行器故障補償控制方案,其不僅可以應對系統的動態突變,而且可實現快速準確的執行器故障補償和輸出跟蹤.

2) 所考慮的多重不確定執行器故障是指系統運行中執行器故障發生的時間、故障值、發生故障的執行器數量及哪一個執行器發生故障都是未知的.為此,將常規自適應控制與“多模型”、“控制切換”相結合,設計了一種基于多模型切換的自適應控制算法,其不僅可解決執行器故障值的不確定性問題,而且可有效解決執行器故障模式的不確定性問題,從而大幅度提高了非線性系統的快速精確故障補償和輸出跟蹤的能力.

3) 將基于多模型切換的自適應控制算法用于解決非線性系統中發生有限數目多重不確定執行器故障模式和無限數目多重不確定執行器故障模式(持續間歇性執行器故障)的補償問題;進而分析了兩種情況下非線性閉環自適應控制系統的穩定性和漸近輸出跟蹤性能.

本文的結構安排為:第1 節給出非線性系統模型及相應的控制問題.第2 節考慮系統參數已知的情況,設計與任意一種確定執行器故障模式相對應的標稱控制器.第3 節考慮系統參數均未知的情況,設計基于多模型切換的自適應執行器故障補償控制方法,并分析有限數目執行器故障下的系統性能.第4 節考慮系統存在持續間歇性執行故障時的自適應控制設計及性能分析.第5 節采用雙水獺飛行器動力學模型,進行仿真驗證.第6 節給出主要結論.

1 問題描述

本節給出含有不確定執行器故障的非線性系統模型,同時給出本文所要解決的控制問題.

1.1 系統模型和執行器故障模型

考慮如下含不確定系統參數的非線性系統模型:

其中,x ∈Rn為系統狀態向量,y ∈R 為系統輸出,uj(t),j=1,2,···,m,為系統輸入,其在系統運行過程中可能會發生未知的執行器故障(執行器故障模式、故障發生時間及故障值均是不確定的),從而導致所設計的控制信號無法作用于被控系統中;此外,fi(x)∈Rn,i=0,1,···,l,gj(x),j=1,2,···,m和h(x) 均為已知的光滑函數,而θi,i=1,2,···,l和μj,j=1,2,···,m均為未知的系統常值參數.

本文所考慮的執行器故障是指執行器卡死在某一未知的固定位置或者某一未知的時變位置,且一旦發生執行器故障,所設計的控制信號將無法影響執行器的偏轉.基于此,我們考慮一個實用的執行器故障表達式:

1.2 含執行器故障的系統模型

當系統發生執行器故障時,系統的控制輸入u(t)可表示為如下形式:

其中,v(t)=[v1(t),v2(t),···,vm(t)]T∈Rm是待設計的控制信號,且

需要注意的是,σ表示執行器的故障模式,用于表征所有執行器的當前工作狀況(故障狀態或正常狀態),即:σj=1 表征第j個執行器發生故障,而σj=0表征第j個執行器正常工作(無故障),其中,j ∈{1,2,···,m}.將控制輸入(4)代入系統模型(1)中,則對于一個固定的執行器故障模式σ而言,含執行器故障(2)的非線性系統模型可表示為

其中,

由式(7)可知,在單一執行器故障模式下,系統所發生的不確定執行器故障不僅會帶來不確定的系統擾動,同時也會引起系統模型結構的改變(系統動態函數突變),進而誘發系統動態結構特征的突變,比如:系統相對階結構突變.

1.3 系統故障模式的集合

為了保證非線性系統(1)發生執行器故障后仍能正常運行,則在任一特定時間段內,至少有一個執行器正常工作或者最多有m ?1 個執行器發生故障.由此,就含m個輸入的非線性系統(1)而言,理論上最多會存在N0=個可能的執行器故障模式,然而在實際工程中往往只發生其中的幾種常見的執行器故障模式.下面,將考慮幾種常見的執行器故障模式,定義執行器故障模式集合 Σ,即:

此外,針對每一種執行器故障模式矩陣σ(k),我們定義一些執行器故障指示數用于表征發生故障的執行器,即

式中,σj=1 表示第j個執行器發生故障.需注意的是整數j=稱為執行器故障指示數,用于表征執行器故障模式σ(k)下發生故障的執行器.

本文所考慮的多重不確定執行器故障是指系統中執行器故障發生的時間、故障值、執行器發生故障的數量及哪一個執行器發生故障都是未知的.由此,所帶來的另一個問題是:在系統運行過程中,執行器故障模式不是固定不變的,而是伴隨著新的不確定執行器故障的發生,執行器故障模式也發生不確定的變化.因此,非線性系統的動態結構特性也將伴隨著不確定執行器故障模式的改變而發生不確定的改變.

1.4 控制問題描述

本文所考慮的控制問題一個主要特征是:在進行控制器設計時,非線性系統所發生的執行器故障模式、執行器的故障時間、及故障值均是未知的.由于系統參數θ和μ是不確定的、所發生的執行器故障模式σ ∈Σ 以及執行器故障值(t) 也是不確定的,非線性系統模型(7)的系統結構可能會產生突變.為了有效處理不確定的多重執行器故障及其所引發的系統結構特性突變,本文將基于多模型的控制思想,設計一種基于多模型的自適應控制方法,以實現理想的故障補償和輸出跟蹤性能.

1) 控制目標.針對含多重不確定執行器故障的不確定非線性系統(7),設計一種基于多模型的自適應控制器,以產生一個自適應控制輸入v(t),從而保證閉環控制系統的所有信號均是有界的,且系統輸出y(t) 漸近跟蹤參考輸出信號ym(t) .

2) 參考模型.參考輸出信號由參考模型產生,即

其中,Pm(s)=sρ+α1sρ?1+···+αρ是一個穩定的多項式,r(t) 是一個選定的已知有界信號,符號ρ為非線性系統(1)的控制相對階.因為Pm(s) 為穩定的多項式,且輸入信號r(t) 有界,故參考輸出信號ym(t) 及其各階導數k=1,2,···,ρ,均有界.

此處,我們給出一個基本假設條件,其可以保證控制信號的存在性.

假設 1.當任意m ?q(1≤q ≤m) 個執行器發生故障時,其余正常工作的執行器都可以保證非線系統系統(1)實現期望的控制目標.

3) 多模型自適應控制的基本框架.a) 構造執行器故障模式集:考慮實際系統中可能發生執行器故障的情況,構造式(13)中所定義的執行器故障模式集合 Σ .b) 設計自適應控制器組:針對每一種執行器故障模式σ ∈Σ 下的非線性系統模型(7),分別設計一種與之匹配的自適應控制器,實現執行器故障補償和輸出跟蹤;進而,考慮所有可能的執行器故障模式,則可得到自適應控制器組(共N個控制器).c) 設計控制切換機制:在系統運行過程,控制器組中的所有控制器均同時運行,然而只有其中的一個控制器作為當前控制器被應用于控制系統中;為了合理選擇實際應用于控制系統中的控制器,將設計一個有效的控制切換機制,選擇與當前系統執行器故障模式最為匹配的控制器作為當前控制器.

4) 執行器驅動策略.為了處理具有相似物理特性執行器的冗余問題,選擇下面的執行器驅動策略以產生每一個有效的控制輸入信號vj(t) :

其中,v0(t) 為所設計的控制器中產生的控制信號,bj(x)是關于狀態x的非線性函數,用于表征第j個正常工作執行器的控制作用.此處,需選擇bj(x) 以保證對于所有的x ∈Rn,均有其中,具體可見第2.1 節中式(22).

2 任意確定故障模式的標稱(Nominal)控制器設計

本節針對系統參數θ,μ及執行器故障信息均已知的情況,設計一個標稱控制器.執行器故障信息已知是指執行器故障發生的時間、故障值、執行器發生故障的數量及哪一個執行器發生故障都是已知的.

考慮任意一種確定的執行器故障模式σ=σ(k)∈Σ(σ(k)是已知的),此時非線性系統模型可表征為

為保證有效的執行器故障補償,針對非線性系統模型(18)給出基本的系統相對階條件1針對單輸入單輸出的非線性系統:則此非線性系統的控制相對階為 ρ;若對所有的0, 則此非線性系統的擾動相對階為 ν. 關于李導數的定義參見腳注2..

假設 2.控制輸入信號v0到系統輸出y的相對階ρ小于或等于到y的相對階νj,即:對所有的j=均有ρ ≤νj.

需要注意的是,隨著系統執行器故障模式的改變,系統控制子系統相對階ρ及故障子系統相對階μj可能會發生改變,但是假設1 是始終滿足的.這一假設條件對于執行器故障補償設計是很關鍵的.

下面將基于假設2,針對故障模式σ(k)下非線性系統模型(18),采用反饋線性化的方法,設計標稱控制信號

2.1 反饋線性化

基于假設2,可以得到系統輸出y(t)的ρ階時間導數為2若

從而得到如下線性化的系統模型

對于ξ ∈Rρ和η ∈Rn?ρ,存在微分同胚[ξ,η]T=T(x)=[Tc(x),Tz(x)]T可將非線性系統轉化為線性化的系統模型.所選定的ξ(x)和η(x) 為

采用上式中的微分同胚關系可將非線性系統(18)轉化為線性化的系統模型

其中

且矩陣A,B,C為

并且

此處需指出,參考輸出ym(t) 為參考系統模型ym(t)=Wm(s)[r](t)的輸出.為了使系統輸出y(t)漸近跟蹤參考輸出ym(t),將設計線性反饋控制策略下面先給出一個基本假設,以保證期望的閉環系統的穩定性能.

假設 3.本文所考慮的系統在任意的故障模式?σ(k)∈Σ下均為最小相位系統,即:對于任意的故障模式σ(k),零動態子系統(31)的狀態相對于輸入ξ和均是輸入狀態穩定的(Input-to-state stable,I SS).

2.2 線性反饋控制設計

基于上文中線性化的輸入?輸出模型(27),設計一個線性反饋信號

其中,α1,α2,···,αρ,均為參考模型(16)中穩定多項式Pm(s) 的已知系數.下面給出定理1 證明所設計的線性反饋信號可以保證系統的輸出跟蹤性能.

定理 1.基于假設2 和假設3,對于存在故障模式σ(k)的系統(18),基于標稱反饋線性化的故障補償控制設計式(24)和式(40)可以保證閉環系統穩定以及系統輸出y(t) 漸近跟蹤參考輸出ym(t),即

證明.將控制器(24)和(40)代入模型(21),可得

其中,e(t)=y(t)?ym(t) .因為Pm(s)=sρ+α1sρ?1+···+αρ是指數穩定的,故limt→∞e(t)=0,且 limt→∞e(i)(t)=0,i=1,2,···,ρ.因為ym(t),是有界的,則y(t),也是有界的,進而基于假設3,ξ和η有界.□

從上述控制器設計可知,對于任意確定的執行器故障模式σ(k),式(24)及式(40)中所設計的標稱控制器均可實現期望的故障補償及輸出跟蹤性能.下面將設計基于多模型的自適應控制策略.

3 基于多模型的自適應控制設計:有限數目執行器故障

本節針對系統參數θ,μ及執行器故障信息未知的情況,將設計一種基于多模型切換的自適應控制器.執行器故障未知是指執行器故障發生的時間、故障值、執行器發生故障的數量及哪一個執行器發生故障都是不確定的;同時也意味著系統運行中執行器故障模式σ會發生不確定的改變.

首先考慮發生有限數目執行器故障的情況,即:系統運行過程中執行器故障模式σ將會發生不確定改變,但在一個有限的時間T之后,執行器故障模式σ將不再改變,即:經過有限時間T之后,σ為未知常值矩陣.

3.1 自適應控制器組

基于上文所設計的標稱控制器(24)和(40)的結構,設計一組自適應控制器

下面將推導閉環系統的誤差模型并且對其進行參數化,進而設計自適應參數估計器.此為自適應控制的關鍵.

3.2 閉環系統的誤差模型及其參數化

將所設計的自適應控制信號(42)和式(43)代入系統輸出的ρ階導數式(21)中,可得閉環系統的輸入?輸出模型(控制信號v?0(k)(t) 與執行器故障模式σ(k)相匹配的情況):

式(47)可進一步寫成

進而可推導出其參數化的模型

下面在設計自適應參數估計器前,先給出一個基本假設,其對自適應參數估計器組設計尤為重要.

假設 4.對于每一個故障模式σ(k)∈Σ,閉環誤差系統模型(49)均具有參數化形式(50).

3.3 自適應參數估計器組設計

本節將設計自適應參數估計器以獲得未知參數的估計值,從而有效設計首先,假設非線性系統當前的執行器故障模式為σ(k),則在自適應控制信號作用下,可得系統跟蹤誤差模型(50).

1) 增廣誤差模型.基于參數化誤差系統模型(50),可得如下表達式

基于此,定義增廣誤差為

將誤差模型(51)代入增廣誤差(52)中,可得

定義?k(t)=Wm(s)[ωk](t),可得增廣誤差方程為

顯然,增廣誤差模型(54)是一個完全參數化的模型.基于此參數化的增廣誤差系統模型,將設計自適應律以估計系統中的未知參數.

2) 自適應參數估計器組.基于此參數化的誤差模型(54),采用改進的梯度算法,設計一組自適應參數估計器(自適應參數投影算法)為

其中,κ>0 是一個待設計的參數.

下面介紹修正項f(k)m(t) 的設計.首先根據先驗知識,定義已知的參數區間j=1,2,···,nθ,此區間具有如下性質:

基于此,設計自適應參數投影修正項為

3) 性能分析.就基于多模型的自適應控制設計而言,在任何時刻t,盡管當非線性系統的執行器故障模式為σ(k) 時,僅有一個最匹配的自適應控制器及自適應參數估計器即式(55),已應用于非線性系統的執行器故障補償;然而,其他的不匹配自適應控制器 (N ?1 個控制器)也都處于工作狀態.因此,在任意時刻,研究兩類自適應參數估計器的性能:匹配的自適應參數估計器的性能和不匹配的自適應參數估計器的性能.

a) 匹配的情況.當系統的故障模式為σ(k)時,選擇v0(k)(t)作為當前的自適應控制器,則有引理1成立[30].

引理 1.自適應參數更新律(55)具有如下性質:

b) 不匹配的情況.當系統的故障模式為σ(k)時,所運行的控制器為v0(j)(t),盡管t時刻控制器均處于工作狀態,但是可能該控制器并不適用于具有當下的故障模式的系統.

在這種情況下,系統的跟蹤誤差方程可改寫為

其中,δj(t) 表示因運行的控制器與系統當前故障模式σ(k)不匹配而產生的誤差.基于此,可得增廣誤差方程為

3.4 控制切換策略

在上面的研究中,基于“多模型”的思想,已經設計了一個自適應控制器組(N個自適應控制器).下面,將設計一個控制切換策略以選擇實際作用于系統的控制信號,即:如何從運行的自適應控制器組中,快速有效地選擇一個與當前控制系統故障模式相匹配的控制器,以實現非線性系統執行器故障的快速補償及漸近輸出跟蹤.

針對自適應控制器組中的每一個控制器,分別引入相應的系統性能指標,以構成性能指標集;進而基于所定義的性能指標,設計相應的控制切換機制.考慮到引理1 中標準估計誤差具有L2的性質,定義一組新的性能指標函數:

其中,k=1,2,···,N,λ>0 是一個待設計的常值.由引理1 可知,當執行器故障模式與選定的自適應控制器(含自適應參數估計器)相匹配時,L2,此信號的L2的性質,可以保證limt→∞J(k)(t)=0.這一性質有利于實現控制信號的快速切換,對于實現不確定非線性系統的快速故障補償至關重要.

在任意時刻t,計算所有性能指標函數J(k)(t),k=1,2,···,N的值,進而定義k=argmink=1,2,···,NJ(k)(t).基于此,將選擇當前的控制信號v0(t) 為

即在任意時刻,分別計算每個性能指標函數的值,以確定性能指標函數值中的最小值;進而,選擇與最小性能指標函數相對應的自適應控制信號作為當前系統的控制信號.預先設定一個任意小的量?0>0,當J(k)(t)≤?0時,控制切換停止(具體可參考文獻[36]),其保證了控制切換經過一個有限時間后停止.此外,為了防止任意的快速切換,每次切換時,均引入一個非零的等待時間Tmin>0,這一技術在基于多模型的自適應控制中很常見,可參見文獻[34?36].

3.5 閉環系統性能分析

下面將分析閉環系統的穩定性能,具體可見以下分析.

1) 常規自適應控制系統的穩定性分析.當所選擇的自適應控制信號v0(t)=與當前系統的執行器故障模式σ(k)相匹配時,則可以得到一個常規的非線性閉環自適應控制系統.此時,基于引理1中的性質,很容易證明閉環系統所有信號均是有界的,且系統輸出跟蹤誤差漸近收斂于零,即:limt→∞e(t)=0.具體證明可參見附錄A.

2) 控制切換的影響.隨著執行器故障模式的改變,除了出現不確定的系統參數和不確定的執行器故障外,控制信號v0(t) 中也引入了不確定的切換變化.此外,在控制切換機制的設計中,J(k)(t) 收斂于零,同時引入?0和一個非零的等待時間Tmin>0,其保證了控制切換的平均頻率是小的3在自適應控制系統中,平均小(Small in the mean)是很常用的概念,其是保證閉環系統穩定的充分條件..假設非線性系統因執行器故障模式的改變,由J(j)(t)

其中,δ(t)為因切換而引起的系統攝動項

因為系統經過一個有限的時間T之后,其執行器故障模式將保持不變,進而控制信號也將最終不再切換.這就保證了因切換所引起的閉環自適應控制系統參數變化及信號ωj(t)?ωk(t) 變化的平均突變頻率是足夠小的,且當t>T時,此突變頻率將最終收斂到零.此外,

基于上述討論的閉環系統信號的L2和有界性及控制切換的收斂性,可以證明閉環系統是穩定的,且輸出跟蹤誤差能收斂到零,即limt→∞e(t)=0.

3) 在基于多模型的自適應控制中,盡管僅其中的一個控制信號被選擇用于實現非線性系統的快速執行器故障補償和輸出跟蹤,然而自適應控制器組中的其他N ?1個控制器也都處于工作狀態.因此,盡管已經證明了被選中的自適應控制信號可以保證期望的執行器故障補償和輸出跟蹤,但是仍需要進一步分析其他N ?1個自適應控制信號的有界性.對于自適應控制信號而言,所設計的自適應參數投影算法保證了中相關參數估計值的有界性,同時所選擇的自適應控制信號保證了系統所有信號的有界性,二者相結合進而可以保證其他N ?1 個自適應控制信號的有界性.

基于以上3 方面的研究分析,將建立定理2.

定理 2.針對含有限數目的多重不確定執行器故障的非線性系統(7),基于假設2～ 4,所設計的基于多模型的自適應控制器(42)和(43)、自適應參數更新律(55)以及控制切換策略(61)保證了所有閉環系統信號都是有界的,且系統輸出跟蹤誤差漸近收斂到零,即:limt→∞e(t)=0,其中,e(t)=y(t)?ym(t).

上面的研究主要考慮非線性系統中發生有限數目的不確定多重執行器故障的情況,也就說在經過一段有限的時間T之后,系統的執行器故障模式將不再發生改變.在接下來的研究中,將考慮系統發生無限數目的不確定多重執行器故障的情況,即系統發生持續間歇性的執行器故障.

4 基于多模型的自適應控制系統:無限數目的多重不確定執行器故障

本節將上述所提出的基于多模型的自適應控制應用于解決系統中發生不確定的持續間歇性執行器故障(無限數目執行器故障)時的補償控制問題.

與第3 節的情況不同,本節考慮發生不確定持續間歇性執行器故障的情況.此時,執行器故障模式σ將不可能固定于一個常值上,隨著執行器故障的持續間歇性發生,其值也將持續間歇性地改變.

4.1 不確定的持續間歇性執行器故障

由上述可知,當系統發生持續間歇性執行器故障時,執行器故障模式矩陣σ ∈Σ 將會發生持續間歇性的改變,但是滿足如下條件:

假設5.在任意時間 [ti,ti+T) 內,執行器故障模式的切換次數ni滿足ni ≤νT+c0,其中,c0>0是一常數,ν >0 是一個測度參數且其上限為足夠小.

此假設條件保證了上述基于多模型切換自適應控制的有效性,其將在下面的性能分析中具體研究.

4.2 基于持續間歇性切換的多模型自適應控制設計

由于系統運行過程中執行器發生持續間歇性故障,執行器故障模式值σ總是會發生改變.但就非線性系統(1)而言,其所有可能發生的執行器故障模式是不變的,也就是說式(13)所定義的執行器故障模式集 Σ 是固定不變的.因此,針對非線性系統發生持續間歇性故障的情況,采用基于多模型自適應控制進行控制器設計時,所設計的自適應控制器組及自適應參數估計器組與第3.1節和第3.3 節中的自適應控制器組設計和自適應參數估計器組設計是相同的.假設在時間區間 [ti,ti+1)內,非線性系統所發生的執行器故障模式為σ=σ(k),則通過第3.4 節所設計的控制切換策略,仍可以選擇相匹配的自適應控制器及式(55)所述的自適應參數估計器應用于系統.

然而,由于執行器故障模式σ∈Σ 發生持續間歇性改變,因此,為了選擇相匹配的自適應控制器作為當前系統的控制信號,則基于第3.4 節所設計的控制切換策略(60),控制信號v0(t) 也將發生持續間歇性的控制切換.假設5 也保證了控制信號不會因為執行器故障模式的頻繁改變而引起頻繁切換.

4.3 閉環系統性能分析

本節分析含持續間歇性故障的非線性自適應控制系統的閉環穩定性能和輸出跟蹤性能.

1) 根據第3.5 節中的分析1),我們知道每個自適應控制器對于一個特定的故障模式σ(k)是有效的,即閉環系統是穩定的,且跟蹤誤差e(t) 漸近收斂到零.這將確保在任意時間段 [ti,ti+1) 內,系統均是穩定的,且隨著時間的推移,系統輸出跟蹤誤差e(t) 逐漸收斂,并當t →∞時,e(t)→0.當然,在有限時間區間 [ti,ti+1) 內,通常可以得到誤差信號的振蕩幅度逐漸變小.

2) 控制切換的影響與上面的有限數目執行器故障的情況不同,當系統發生持續間歇性故障時,其執行器故障模式也相應地發生持續間歇性改變.因此,自適應控制信號v0(t)=也將出現持續間歇性地切換.與第3.5 節中類似,當系統中因執行器故障模式的改變而導致控制信號由切換為時,閉環誤差控制系統模型也發生了突變,其可表征為

其中,攝動項δ(t) 為

然而與第3.5 節有限數目執行器故障的情況不同,隨著系統發生持續間歇性執行器故障時,攝動項δ(t)也將發生持續間歇性的改變,即和ωj(t)?ωk(t) 持續間歇性的發生突變.基于假設5 (執行器故障模式改變的平均次數是足夠小的),可得δ(t) 的平均突變次數也是足夠小的.基于此,我們可以得到,在任意時間區間 [ti,ti+T) 內,基于多模型切換的自適應控制系統中因執行器故障模式改變而引起的控制切換所帶來的系統變化在平均意義下是小的.

基于上面的分析,結合系統在任意時間段[ti,ti+1)的系統的穩定性能和輸出跟蹤誤差的收斂特性,則仍然可以保證閉環自適應控制系統在整個時間段內是系統所有信號是有界的,且系統輸出跟蹤誤差在平均意義下是小的,即:存在一個ν?>0,當ν ∈(0,ν?)時,有

3) 關于未被選中的N ?1 個控制器的有界性分析與第3.4 節相同,此處不再重復.

基于上面的分析,可建立定理3.

定理 3.針對含持續間歇性多重不確定執行器故障的非線性系統(7),基于假設2～ 5,所設計的基于多模型的自適應控制器(42)和(43)、自適應參數更新律(55)以及持續間歇性的切換機制(61)保證了所有閉環系統信號都是有界的,且系統的輸出跟蹤誤差滿足(63),即輸出跟蹤誤差是在平均意義下是小的.

當非線性系統中出現持續性的執行器故障故障時,上述設計的基于多模型的自適應控制方案,除了保證定理3 中所述的閉環系統信號的有界性及跟蹤誤差平均小之外,還保證了系統的輸出跟蹤性能在任意執行器故障模式固定的時間區間 [ti,ti+1) 內將會持續改善,即:每次出現新的執行器故障模式后,系統的輸出跟蹤誤差將隨著時間的推移逐漸收斂,這一結論可由本節的分析1)中得出.

上面定理3中的結果是考慮非線性系統中出現持續間歇性執行器故障的情況.假設系統中是存在有限數目的執行故障,則攝動信號δ(t) 將在一個有限時間內變為0.此時,基于定理3中的結果,可進一步推導出定理2 的結果,即:limt→∞e(t)=0.顯然,定理3 是定理2 的一種推廣形式.

5 仿真研究

本節,將采用雙水獺飛機縱向運動方程進行仿真研究,以驗證所提出控制策略的有效性及可行性.

5.1 飛行器動力學模型

雙水獺飛行器的縱向運動方程[2]可以表示為

其中,V為飛行速度,α為攻角,θ為俯仰角,q為俯仰角速率,m為飛行器質量,Iy為轉動慣量,M為俯仰力矩.作用于飛行器的力和力矩分別表示為

其中,δe1和δe2表示兩片升降舵的舵面偏轉角度.具體的飛行器飛行參數參見文獻[2].

1) 飛行器系統模型的狀態空間描述.選擇V,α,θ,q為系統狀態,分別記為x1,x2,x3,x4.升降舵偏轉角δe1和δe2作為系統輸入u1和u2,則模型(64)表示為

選擇飛行器系統輸出為y=x3=θ.

2) 系統相對階.通過計算y=x3的時間導數,可得

顯然,u1到y的相對階等于u2到y的相對階.由此可知:無論是u1發生故障還是u2發生故障,假設1 中的相對階條件總是可以滿足.

3) 零動態.基于式(67)及式(69),可引入坐標變換η=[η1,η2]T=[T1(x),T2(x)]T,將零動態方程轉化為

其中,ξ=[x3,x4]T.需要指出,零動態的輸入輸出穩定性分析在文獻[2]中已經給出,此處不再贅述.

5.2 仿真結果:有限數目執行器故障的情況

針對上述飛行器模型,考慮下面的執行器故障:

選擇執行器驅動策略(17) 為bj(x)=1,其中j=1,2.此外,參考系統輸出為ym(t)=Wm(s)[r](t),其中,Wm(s)=1/(s2+5s+6),r(t)=sin(0.2t).

在仿真研究中,給定系統的初始狀態向量為x0=[10,0.1,0.01,0.01]T,自適應增益矩陣為Γ1=5I5,Γ2=5I6,常值參數λ=0.5,κ=1.自適應參數估計初值設定為其真值的90%.

基于以上設計的參數,可得到圖1～ 3 所示的仿真結果.圖1 給出了當參考輸入信號為時變信號r(t)=sin(0.2t)時的系統的響應,含控制信號u1(t) 和u2(t),系統輸出y(t) 及輸出跟蹤誤差信號e(t) 的響應曲線.圖3 給出了性能指標函數J1以及J2的仿真曲線,基于此,給出了控制切換指數k=argmink=1,2J(k)(t)隨時間的變化曲線.由圖1～ 3 知,基于多模型的自適應控制器可保證當系統發生不確定的執行器故障時,閉環系統可以保持穩定及期望的漸近輸出跟蹤.

圖1 系統輸入:有限數目的執行器故障Fig.1 System inputs:a finite number of actuator failures

圖2 系統輸出響應:有限數目的執行器故障Fig.2 System output responses:a finite number of actuator failures

圖3 控制切換機制:有限數目的執行器故障Fig.3 Control switching mechanism:a finite number of actuator failures

5.3 仿真結果:無限數目執行器故障的情況

針對上面的飛行器系統模型(64),考慮一種無限數目執行器故障的形式

其中,k=1,2,···.此故障的發生使得系統動態在無故障和故障兩種動態模態下無限依次跳變,隨之系統的相對階結構也相應的發生改變.在系統運行過程中,時間常數T是未知的,可任意選擇,此處選擇T=30.選擇上一節的設計參數仍可得仿真圖4～ 6.由圖4～ 6 知,所設計的控制方法可保證系統期望的穩定和跟蹤性能,且切換機制是有效的.

圖4 系統輸入:持續間歇性執行器故障Fig.4 System inputs:persistent actuator failures

圖5 系統輸出響應:持續間歇性執行器故障Fig.5 System output responses:persistent actuator failures

圖6 控制切換機制:持續間歇性執行器故障Fig.6 Control switching mechanism:persistent actuator failures

6 結論

針對一類含不確定的多重執行器故障的非線性系統,本文提出了一種基于多模型的自適應故障補償控制策略,其實現了執行器故障的快速補償及期望的系統輸出跟蹤.基于多模型參數估計,針對多個故障模式,設計了多個自適應控制器.為了在出現不同的故障時選擇最合適的控制器進行故障補償,還提出了一種控制切換策略進行控制信號的選擇.本文所設計的多模型故障補償策略能夠保證在出現有限數量的不確定執行器故障時,閉環系統是穩定的并且能夠漸近地跟蹤所選擇的參考系統輸出.此外,也能保證在系統出現持續間歇性故障時輸出跟蹤誤差是平均小的.最后,采用高超聲速飛行器模型驗證了所提控制策略的有效性及可行性.本文所提出的自適應控制方法主要解決了最小相位非線性系統的多重不確定執行器故障補償問題,而針對非最小相位非線性系統的多重不確定執行器故障補償控制問題,仍有待進一步研究.

附錄A 重要引理及其相關證明

A.1 重要引理

引理 A1 (BOBI (Bounded output and bounded input) 引理).令y(t)=H(s)[u](t),其中H(s) 是最小相位的傳遞函數真分式.若對所有的t ≥0,u,u˙∈L∞e,且u是正則的:∥u˙∥t ≤l∥u∥t+l,則∥u∥t ≤l∥y∥t+l,其中l為一有界常值.

引理 A2.令y(t)=H(s)[u](t),其中H(s) 是穩定的傳遞函數真分式.若∥u∥t ≤γ(t)∥q∥t+γ(t),則∥y∥t ≤γ(t)∥q∥t+γ(t),其中,γ(t)∈L2∩L∞.此外,若H(s)為嚴格真分式,則∥y∥t≤β(t)∥q∥t+β(t),其中β(t)∈L2∩L∞為一個可以趨于零的時間函數.

引理 A3 (Swapping 引理).若H(s)=C(sI ?A)?1B+D是傳遞函數真分式的最小實現,則