基于最后逃逸時間的隨機(jī)退化設(shè)備壽命預(yù)測方法

張建勛 杜黨波 司小勝 胡昌華 鄭建飛

受震動沖擊、工況切換、機(jī)械磨損、化學(xué)侵蝕、負(fù)載變化以及能量消耗等因素影響,設(shè)備的健康性能水平將不可避免地劣化,最終導(dǎo)致其失效,甚至引起系統(tǒng)故障與事故,造成人員與財產(chǎn)的損失[1?3].作為預(yù)測與健康管理的關(guān)鍵技術(shù)之一,壽命與剩余壽命(Remaining useful life,RUL)預(yù)測技術(shù)能夠?yàn)樵O(shè)備維修管理提供有效的信息支持與理論支撐[4?5].因此,準(zhǔn)確地預(yù)測設(shè)備壽命及剩余壽命具有重要的理論研究和工程應(yīng)用價值.

隨著傳感技術(shù)與監(jiān)測方法的進(jìn)步,系統(tǒng)的健康水平可通過狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù),也就是退化數(shù)據(jù)來體現(xiàn).另外,由于運(yùn)行環(huán)境、測量誤差、樣本差異性以及固有隨機(jī)性等影響,退化過程往往具有隨機(jī)性與不確定性[6?7].因此,基于隨機(jī)退化過程建模的設(shè)備壽命與剩余壽命預(yù)測方法在近些年得到了廣泛關(guān)注,并成為國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)問題,如Gamma 退化過程模型、Wiener 退化過程模型、逆高斯退化過程模型等[8?9].相比于Gamma 過程與逆高斯過程等單調(diào)退化過程模型,Wiener 退化過程模型不僅能夠描述非單調(diào)的退化數(shù)據(jù),還具有良好的數(shù)學(xué)計算特性[8?11].鑒于此,本文主要關(guān)注基于Wiener 過程的退化建模與壽命預(yù)測問題.

目前,對于非單調(diào)退化過程模型,其壽命及剩余壽命往往定義為隨機(jī)退化過程首次達(dá)到失效閾值的時刻,即首達(dá)時間(First passage time,FPT)[8?9,12].也就是說,退化過程一旦達(dá)到給定的失效閾值,便認(rèn)為該設(shè)備發(fā)生了失效.這種壽命定義方式雖然適用于一些安全性要求較高的關(guān)鍵設(shè)備,但是相對保守.例如,當(dāng)退化過程具有較大的隨機(jī)性與波動性時,基于首達(dá)時間的定義方式可能就會導(dǎo)致退化過程較早達(dá)到給定閾值而引起設(shè)備提前終止運(yùn)行,造成較大的浪費(fèi).迄今為止,鮮有文獻(xiàn)考慮了這一實(shí)際問題.

實(shí)際上,退化數(shù)據(jù)是設(shè)備健康狀態(tài)水平的內(nèi)在變化的外在表現(xiàn).具體來說,設(shè)備的性能水平與健康狀態(tài)會隨使用次數(shù)以及時間的累積而不可避免地發(fā)生退化,表現(xiàn)為退化數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出遞增或者遞減的變化趨勢,例如電池的電容量減少[13]、陀螺儀漂移系數(shù)的增長[14]、軸承振動幅度的變大[15]等.這些退化數(shù)據(jù)會隨著時間或使用次數(shù)的累積,最終超過并遠(yuǎn)離所給定的閾值.眾所周知,首達(dá)時間表示退化過程首次達(dá)到閾值的時刻,而最后逃逸時間(Last exit time,LET)則表示退化過程最后一次離開閾值的時刻[16?17],反映了設(shè)備最后一次恢復(fù)到正常狀態(tài)的時刻,也就是說從此以后退化過程徹底遠(yuǎn)離了失效閾值.首達(dá)時間對數(shù)據(jù)的動態(tài)隨機(jī)性十分敏感,相比之下,最后逃逸時間具有更強(qiáng)的魯棒性,能夠避免由于退化過程動態(tài)隨機(jī)性與數(shù)據(jù)波動性所導(dǎo)致的設(shè)備過早終止運(yùn)行.

鑒于此,本文提出一種基于最后逃逸時間的隨機(jī)退化設(shè)備壽命與剩余壽命定義方式.在新框架下,以線性Wiener 過程模型為研究對象,首先建立了首達(dá)時間與最后逃逸時間之間的關(guān)系,然后推導(dǎo)得到了最后逃逸時間下壽命與剩余壽命分布的表達(dá)形式.此外,通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了所得結(jié)論的理論正確性,并進(jìn)一步完成了模型參數(shù)敏感度分析.最后,通過實(shí)例說明了最后逃逸時間描述隨機(jī)退化設(shè)備壽命具有一定可行性與有效性.

1 問題描述

1.1 首達(dá)時間與最后逃逸時間

首達(dá)時間與最后逃逸時間的定義均來自隨機(jī)過程理論中的概念,反映了非單調(diào)隨機(jī)過程首次通過和最后一次離開某一給定邊界的時刻[16?19].受隨機(jī)過程的不確定性與動態(tài)隨機(jī)性影響,隨機(jī)過程的軌跡可能多次往返于某一個給定邊界,如圖1 所示.

圖1 為仿真生成的一組非單調(diào)隨機(jī)退化軌跡.從圖中可以發(fā)現(xiàn),受模型的隨機(jī)性與不確定性影響,相同數(shù)學(xué)模型下的隨機(jī)過程其退化軌跡也會存在明顯的差異,這會導(dǎo)致首達(dá)時間與最后逃逸時間存在差異.因此,以下幾點(diǎn)需要注意:

1) 對于連續(xù)時間隨機(jī)退化過程,首達(dá)時間與最后逃逸時間均是一個隨機(jī)變量,反映了其取值范圍的各種可能性;

2) 對于隨機(jī)過程產(chǎn)生的某一退化軌跡而言,如果首達(dá)時間和最后逃逸時間已出現(xiàn),那么其首達(dá)時間和最后逃逸時間則是一個具體的特定時刻;

3) 如果該隨機(jī)過程具有馬爾科夫性,那么其首達(dá)時間、最后逃逸時間與過去狀態(tài)無關(guān),僅與當(dāng)前狀態(tài)相關(guān).

1.2 問題來源

圖2 表示某一軸承振動退化數(shù)據(jù)的均方根值(Root mean square,RMS).從圖中可以看出,受退化過程的隨機(jī)性與波動性影響,退化過程在超過某一給定閾值后,仍可能會回到閾值之下,并經(jīng)過較長時間后才會最終離開閾值.因此,若直接用首達(dá)時間來定義該軸承的壽命與剩余壽命,預(yù)測結(jié)果對退化過程的隨機(jī)性和波動性十分敏感,得到的結(jié)果過于保守,將導(dǎo)致設(shè)備提前終止運(yùn)行或過早維護(hù),造成較大浪費(fèi).

以西安交通大學(xué)雷亞國教授[15, 20]課題組所完成的全壽命周期軸承退化實(shí)驗(yàn)為例,若按照文獻(xiàn)[15]中所給出的軸承壽命定義方式(即令軸承最大振動幅值小于20 g),首達(dá)時間下得到的壽命會明顯小于實(shí)際壽命,如表1 所示.相比之下,最后逃逸時間下得到的壽命則更加接近軸承的實(shí)際壽命.

表1 軸承真實(shí)壽命對比(min)Table 1 Comparison of bearings＇ actual lifetime (min)

1.3 模型描述

本文主要研究基于最后逃逸時間的壽命與剩余壽命預(yù)測問題.假設(shè)設(shè)備的退化過程為X(t),那么首達(dá)時間下的壽命與在tk時刻處的剩余壽命表示如下

其中,ξ表示給定的閾值,x0表示退化過程的初值,lk表示剩余壽命在tk時刻處的取值,xk表示在tk時刻處的退化值,inf 表示下確界.

與式(1)、式(2)類似,基于最后逃逸時間的壽命T與在tk時刻處的剩余壽命Lk可表示為

其中,sup 表示上確界.需要注意的是,不同于首達(dá)時間,即使xk大于閾值ξ,最后逃逸時間仍可能存在.

此外,對于單調(diào)退化過程(如Gamma 過程模型、逆高斯過程模型等),X(t+?t)>X(t) 恒成立.因此,單調(diào)退化過程首達(dá)時間下壽命與剩余壽命和最后逃逸時間下一致,即有

目前,已有很多文章(如文獻(xiàn)[21?22])給出了單調(diào)退化過程的壽命與剩余壽命預(yù)測方法.因此,本文主要以Wiener 過程為例,研究最后逃逸時間下非單調(diào)退化過程的壽命與剩余壽命預(yù)測問題.

2 壽命分布與剩余壽命分布推導(dǎo)

2.1 基于最后逃逸時間的壽命分布推導(dǎo)

一般來說,傳統(tǒng)線性Wiener 過程模型可表示為

其中,表示在t時刻的退化狀態(tài),表示退化過程的初值,μ>0和σB >0分別表示漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù),B(t)ξ >表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動,令退化過程的閾值為 0.

不同于傳統(tǒng)基于首達(dá)時間下的壽命分布推導(dǎo)方法,最后逃逸時間下的壽命與剩余壽命分布難以通過直接求解式(3)與式(4)得到.因此,為求解式(3)與式(4),本文先給出以下定義X(t)x0

其中,T0為一個隨機(jī)變量,用于描述首達(dá)時間下壽命與最后逃逸時間下壽命之間的差異,也就是

這樣,便可通過T0建立最后逃逸時間下壽命分布與傳統(tǒng)基于首達(dá)時間下壽命分布之間的聯(lián)系,如式(9)所示.需要注意的是,T0為一個非負(fù)隨機(jī)變量.那么,根據(jù)式(9)可知,首達(dá)時間下的壽命分布期望和方差均會小于最后逃逸時間下的結(jié)果.為求解T的表達(dá)形式,首先給出T0的求解方式,如定理1 所示.

定理 1.若退化過程如式(7)所示,且退化初值等于給定閾值,即x0=ξ,那么T0的概率密度函數(shù)(Probability density function,PDF)有如下形式

其中,s表示T0的最大取值范圍,即T0≤s;Erf 表示誤差函數(shù).

證明.首先定義一個新的隨機(jī)變量如下所示

其中,B(0)=h(0)=0.那么則表示在時間s前,標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動B(t)通過一個時變邊界h(t)的逃逸時間.

那么,令h(t)=?μ/σBt,式(12)等價于式(8),即有因此,可以通過計算式(12)來求解T0.接下來,根據(jù)h(t)的函數(shù)形式和式(15),p(t;0,h(t))的表達(dá)形式很容易得到,即

進(jìn)一步,將s ? t代入式(17)可以得到式(13)中函數(shù)的具體表示形式如下

其中,

進(jìn)一步,根據(jù)定理1 的結(jié)論以及式(9),便可得到最后逃逸時間下的壽命分布PDF 表達(dá)形式如推論1 所示.

推論 1.若退化過程如式(7)所示,其閾值為ξ以及退化初值為x0=0,同時給定壽命的取值范圍為(0,Tmax),那么基于最后逃逸時間的壽命分布PDF 為

這樣,便得到了基于最后逃逸時間的壽命分布表示形式.需要注意的是,推論1 中Tmax需要事先給定,當(dāng)且僅當(dāng)Tmax趨于無窮大時,式(21)完全等價于式(3).

2.2 基于最后逃逸時間的剩余壽命分布推導(dǎo)

假設(shè)退化過程如式(7)所示,且當(dāng)前退化時刻為tk,退化量為xk.不同于首達(dá)時間下剩余壽命的求解,基于最后逃逸時間的剩余壽命需要分以下三種情況進(jìn)行討論.

情況 1.當(dāng)前退化量xk小于閾值ξ,當(dāng)前時刻下剩余壽命可等價于求解初值為xk的壽命,那么可根據(jù)推論1 中壽命預(yù)測的結(jié)果直接得到,結(jié)果如下所示

其中,L表示給定Tmax條件下剩余壽命分布的PDF.

情況 2.當(dāng)前退化量xk等于閾值ξ,剩余壽命直接等于T0,其分布可由定理1 直接計算得到,結(jié)果如式(10)所示.

情況 3.當(dāng)前退化量xk大于閾值ξ,需要分別討論兩種可能性,并分別計算概率分布,具體結(jié)果如下.

1)退化過程再也不回到閾值,前一次達(dá)到閾值的時刻即是最后逃逸時間,這意味著壽命早已終止.假設(shè)最后一次達(dá)到閾值的時刻為ωk,那么有剩余壽命Lk為ωk ?tk,其概率等于退化過程回不到閾值的概率

2)退化過程會回到閾值,最后逃逸時間下的剩余壽命Lk大于0.此時可根據(jù)情況1 的方式進(jìn)行求解,結(jié)果如下

其中,

從上式中可以看出,當(dāng)退化量超過閾值后,存在兩種可能的情況,即退化過程回到閾值之下與退化過程徹底遠(yuǎn)離閾值.需要注意的是,這兩種情況均有可能發(fā)生,可通過式(25)計算得到退化過程回不到閾值的概率為 Pr{Lk=ωk ?tk},而能回到閾值的概率等于1?Pr{Lk=ωk?tk}.

綜上,基于最后逃逸時間下的剩余壽命預(yù)測結(jié)果便已經(jīng)推導(dǎo)得到.由于退化過程的隨機(jī)性,退化過程即使超過閾值后仍有可能返回閾值之下.因此,不同于首達(dá)時間下剩余壽命預(yù)測問題,最后逃逸時間下的剩余壽命預(yù)測需要考慮退化量是否大于閾值,進(jìn)而需分以上三種情況進(jìn)行討論.

2.3 考慮隨機(jī)效應(yīng)影響下的壽命分布推導(dǎo)

在實(shí)際工程中,受樣本間差異性的影響,退化過程的初值往往存在差異性,即x0取值不同.為描述樣本差異性所帶來的影響,通常在退化過程中引入隨機(jī)效應(yīng),也就是假設(shè)x0服從某種隨機(jī)分布.鑒于高斯混合模型能夠近似逼近任意分布,本文假設(shè)x0服從高斯混合模型,其中每個高斯分布間相互獨(dú)立,且第i個高斯分布期望為ui,標(biāo)準(zhǔn)差為σi,以及權(quán)重為?i.那么這種情況下的壽命分布如定理2所示.

定理 2.若退化過程如式(7)所示,其閾值為ξ,給定壽命的取值范圍為 (0,Tmax),且退化初值為x0存在隨機(jī)效應(yīng),服從期望為ui,標(biāo)準(zhǔn)差為σi,以及權(quán)重為?i的高斯混合模型(i=1,2,···,N),那么基于最后逃逸時間的壽命分布PDF 為

證明.與第2.1 節(jié)中推導(dǎo)過程類似,可以得到T0=因此首先計算T0的表達(dá)形式.根據(jù)T0的定義可知,式(8)等價于

由式(30)可以發(fā)現(xiàn),T0的取值與退化初值以及閾值無關(guān),其分布形式僅取決于退化過程的漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù).因此,T0的概率密度函數(shù)仍為式(10)所示.

另一方面,受隨機(jī)初值的影響,式(1)可以等價為初值為0 的退化過程通過一個隨機(jī)閾值的首達(dá)時間問題,即

為便于求解式(32),根據(jù)文獻(xiàn)[23]給出如下引理1.

引理1[23].若Z ～N(α,β2),且C ∈R+,ω1,ω2,A,B ∈R,則有

其中,EZ[·] 表示關(guān)于Z的期望.

根據(jù)引理1,便可得到如下結(jié)果

注 2.需要注意的是,Wiener 退化過程模型的參數(shù)估計問題在很多文獻(xiàn)中已經(jīng)得到了廣泛研究,例如文獻(xiàn)[9?11],受篇幅所限本文不再討論.

3 數(shù)值仿真

3.1 壽命分布

首先根據(jù)定理1 和定理2 中所得結(jié)論驗(yàn)證壽命分布的正確性.為驗(yàn)證定理1,假設(shè)退化過程的漂移系數(shù)μ與擴(kuò)散系數(shù)σB分別為1 和2,閾值ξ為5,退化初值x0為0,最大取值范圍Tmax=500.那么便可得到壽命分布的PDF 如圖3 所示.

圖3 壽命分布PDFFig.3 PDF of the lifetime distribution

從圖3 中可以發(fā)現(xiàn),本文所得理論結(jié)果與蒙特卡洛得到的仿真結(jié)果一致,說明了本文方法在理論上的正確性.此外,與首達(dá)時間下的結(jié)果進(jìn)行對比可以發(fā)現(xiàn),最后逃逸時間下壽命期望和方差都要明顯大于首達(dá)時間下的結(jié)果,這也和第2.1 節(jié)中分析結(jié)果一致.

若分別令Tmax為20 和50,得到結(jié)果如圖4 所示.由圖4 可見,若Tmax的取值過小,得到壽命分布在接近Tmax的取值部分存在明顯的誤差.為了更好地對比Tmax的取值對壽命分布的影響,圖5 展示了4 種Tmax下壽命分布PDF.從圖5 中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)Tmax取值較小時,估計得到壽命分布與式(3)所定義壽命分布之間的誤差隨著壽命取值的增大而增大,而Tmax的取值越大越接近式(3)中所定義的壽命分布.

圖4 不同Tmax 取值下壽命分布PDFFig.4 PDF of the lifetime distribution with different Tmax

圖5 4 種Tmax 取值下壽命分布PDFFig.5 PDF of the lifetime distribution with four different Tmax

對于定理2 的驗(yàn)證,假設(shè)退化過程的漂移系數(shù)μ與擴(kuò)散系數(shù)σB分別為1 和2,閾值ξ為5,最大取值范圍Tmax=500,退化初值x0服從期望為u1=1,u2=2,u3=3,標(biāo)準(zhǔn)差為σ1=1,σ2=1/2,σ3=1/3,以及權(quán)重為?1=0.2,?2=0.6,?3=0.2 的高斯混合模型.那么便可得到壽命分布的PDF 如圖6 所示.從圖6 中可見,本文方法能夠很好地擬合蒙特卡洛得到的結(jié)果,證明了本文方法理論正確性.

圖6 隨機(jī)效應(yīng)影響下壽命分布PDFFig.6 PDF of the lifetime distribution with random effects

3.2 敏感度分析

實(shí)際上,退化過程的參數(shù)不同,也會導(dǎo)致得到的壽命分布存在較大差異性.為更好地體現(xiàn)模型參數(shù)對壽命分布的影響,進(jìn)一步分析模型參數(shù)的敏感性.假設(shè)退化過程模型如式(7)所示,模型參數(shù)漂移系數(shù)μ與擴(kuò)散系數(shù)σB分別為1 和2,閾值ξ為5,退化初值x0為0,最大取值范圍Tmax=500.

首先,改變漂移系數(shù)μ的取值,并得到了不同取值下壽命分布PDF 如圖7 所示.在圖7 中,柱狀圖表示通過蒙特卡洛數(shù)值仿真得到的壽命分布,實(shí)線和虛線分別表示最后逃逸時間下和首達(dá)時間下的壽命分布PDF.從圖7 中可以發(fā)現(xiàn),μ取值越大,壽命分布的期望和方差越小,并且越接近首達(dá)時間下壽命分布.

類似地,圖8 顯示了不同擴(kuò)散系數(shù)σB取值下壽命分布的PDF.從圖8 中可以發(fā)現(xiàn),σB的取值越小,越接近首達(dá)時間下的結(jié)果.

圖8 不同 σB 取值下壽命分布PDFFig.8 PDF of the lifetime distribution with different σB

由此可見,漂移系數(shù)μ與擴(kuò)散系數(shù)σB的比值越大,最后逃逸時間下的壽命分布PDF 越接近首達(dá)時間下的結(jié)果;反之,則偏差越大.需要注意的是,漂移系數(shù)μ與擴(kuò)散系數(shù)σB的比值反映了退化過程的動態(tài)特性與波動性.也就是說,退化過程的動態(tài)特征和波動性越強(qiáng),最后逃逸時間下壽命結(jié)果與首達(dá)時間下的結(jié)果差異越大.實(shí)際上,退化過程的動態(tài)特征和波動性越強(qiáng),退化過程越容易在早期超過給定閾值,在這種情況下,若仍采用首達(dá)時間來定義壽命或剩余壽命,很可能導(dǎo)致預(yù)測得到的壽命遠(yuǎn)小于實(shí)際壽命.

4 實(shí)例驗(yàn)證

本節(jié)將通過滾動軸承與激光器的兩組實(shí)際退化數(shù)據(jù),分別說明本文方法在數(shù)據(jù)波動較大與較小兩種情況下的有效性.需要注意的是,由第2 節(jié)可知,本文僅考慮了線性Wiener 退化過程模型的壽命預(yù)測問題.因此,在本節(jié)中主要將本文所得到結(jié)果與首達(dá)時間下基于線性Wiener 過程模型的壽命預(yù)測結(jié)果(見文獻(xiàn)[9,24?25])進(jìn)行對比.

4.1 滾動軸承實(shí)例

滾動軸承是一種典型的退化元件,其廣泛應(yīng)用于武器裝備、航空航天、生產(chǎn)制造等關(guān)鍵系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備中.研究表明滾動軸承的退化失效是引起旋轉(zhuǎn)機(jī)械發(fā)生故障的重要原因[26].通常采用其振動信號的最大振幅或均方根來反映滾動軸承的健康性能狀態(tài).因此,本文采用軸承最大振幅數(shù)據(jù)來描述其退化狀態(tài).

本文采用西安交通大學(xué)雷亞國教授[15, 20]課題組的軸承全壽命周期數(shù)據(jù)對本文方法進(jìn)行驗(yàn)證.由第2節(jié)可知,受算法復(fù)雜性和計算復(fù)雜度所限,本文僅考慮了線性退化模型的壽命與剩余壽命分布求解問題.因此,本文僅對具有線性特征的退化數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,3_5 軸承的最大振幅退化軌跡如圖9 所示.從圖9 中可以發(fā)現(xiàn),該退化過程具有較為明顯的線性趨勢,且該數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的動態(tài)隨機(jī)特性.為更好地進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn),本文采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法(Empirical mode decomposition,EMD)對該軸承數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理,圖9 中虛線即為濾波后的軸承退化數(shù)據(jù),可以發(fā)現(xiàn)濾波后的數(shù)據(jù)更加平穩(wěn),也更具有線性特征.

圖9 軸承退化軌跡Fig.9 Degradation path of a bearing

根據(jù)線性Wiener 過程模型的特性,采用極大似然估計算法即可得到退化模型的參數(shù)估計值.接下來,根據(jù)文獻(xiàn)[20]中軸承失效定義方式,給定失效閾值為ξ=20 g,采用第2.1 節(jié)中所得到的結(jié)論便可計算出首達(dá)時間和最后逃逸時間下剩余壽命分布PDF.基于原始退化數(shù)據(jù)和濾波后數(shù)據(jù)的預(yù)測結(jié)果分別如圖10 (a)和圖10 (b)所示.

從圖10 (a)中可以發(fā)現(xiàn),首達(dá)時間下的剩余壽命分布PDF 與最后逃逸時間下的剩余壽命分布PDF 存在明顯差異.由圖10 (a)估計當(dāng)退化時間接近35 min 時,退化過程能夠達(dá)到給定閾值,說明首達(dá)時間下的剩余壽命已經(jīng)接近為0 min,這遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于真實(shí)壽命114 min.圖10 (b)則反映了濾波后的剩余壽命預(yù)測結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)通過濾波的方法可以降低數(shù)據(jù)的波動性(如圖9 所示),使得計算得到的首達(dá)時間下結(jié)果與最后逃逸時間下結(jié)果幾乎一致.

圖10 不同測試時間處剩余壽命分布PDFFig.10 PDF of the RUL distribution at different testing time

為更好地對比,圖11 給出了兩種不同定義方式下剩余壽命期望的對比.在圖11 中,分別給出了實(shí)驗(yàn)室獲取的真實(shí)壽命以及基于原始數(shù)據(jù)、濾波數(shù)據(jù)下根據(jù)兩種不同壽命定義方式計算得到的剩余壽命預(yù)測值.從圖11 中可以發(fā)現(xiàn),首達(dá)時間下的壽命預(yù)測值為35 min,與真實(shí)壽命相差79 min,而基于最后逃逸時間計算得到的壽命為97 min,更加接近全壽命周期實(shí)驗(yàn)中得到的實(shí)際壽命.相比之下,通過濾波后數(shù)據(jù)得到的結(jié)果,仍然遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離真實(shí)剩余壽命,并不能有效改善剩余壽命預(yù)測的準(zhǔn)確度.

圖11 不同測試時間處剩余壽命期望Fig.11 Means of the RUL at different testing time

通過以上對比可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)退化的隨機(jī)性和波動性比較強(qiáng),退化過程很容易在退化的初始階段就超過閾值,若仍采用首達(dá)時間來定義壽命與剩余壽命,則可能會導(dǎo)致設(shè)備提前終止運(yùn)行或過早維護(hù),引起不必要的浪費(fèi).與之相反,基于最后逃逸時間的定義,可以克服這一局限性,具有較好的魯棒性與適應(yīng)性.另外,通過與濾波后結(jié)果對比可以發(fā)現(xiàn),雖然采用濾波、平滑等方法可以減小數(shù)據(jù)的隨機(jī)性與波動性,但并未有效改善剩余壽命預(yù)測結(jié)果;此外,通過濾波、平滑等方法也可能會消除退化以及數(shù)據(jù)本身的隨機(jī)性與不確定性,可能會導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果出現(xiàn)偏差.

需要注意的是,由于其他幾組軸承數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)非線性而不適用于線性Wiener 過程模型,因此未采用第2.1 節(jié)中所提方法進(jìn)行分析.但是從表1中可以看出,其他幾組軸承數(shù)據(jù)首達(dá)時間下壽命明顯短于實(shí)際壽命,相比之下,最后逃逸時間下壽命更加接近真實(shí)值.

4.2 激光器實(shí)例

注意到,軸承退化數(shù)據(jù)的波動性與隨機(jī)性較強(qiáng),導(dǎo)致兩種定義下剩余壽命預(yù)測結(jié)果存在較大差異.接下來,本文以激光器的公開退化數(shù)據(jù)說明當(dāng)退化過程隨機(jī)性與數(shù)據(jù)波動性較小時,兩種定義方式的剩余壽命預(yù)測情況.

圖12 描述了文獻(xiàn)[27]中15 組激光器的退化軌跡,其中虛線為給定的失效閾值.本節(jié)中采用第8 組數(shù)據(jù)予以說明,其退化軌跡如圖13 所示.類似地,根據(jù)極大似然估計得到,退化模型的參數(shù)為=0.0015 以及=0.0068.給定失效閾值ξ=6,那么可以得到剩余壽命預(yù)測結(jié)果如圖14 所示.

圖13 第8 組激光器退化軌跡Fig.13 Degradation path of the 8th laser device

從圖14 中可以發(fā)現(xiàn),兩種定義下的剩余壽命分布PDF 非常接近,這說明兩種定義下的剩余壽命預(yù)測結(jié)果幾乎沒有差別.也就是說,當(dāng)數(shù)據(jù)的波動性較小時,兩種定義下的壽命及剩余壽命沒有太大差別.如圖15 所示,T0的期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別為20 h 和29 h.而T? 的期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別為4 000 h和286 h,因此T0相對較小,由式(9)可知,

圖14 不同測試時間處剩余壽命分布PDF Fig.14 PDF of the RUL distribution at different testing times

圖15 T0 概率密度函數(shù)Fig.15 Probability density function of T0

綜上所述,從兩個實(shí)際案例中可以發(fā)現(xiàn),相比于首達(dá)時間下壽命及剩余壽命的定義,最后逃逸時間的定義方式具有更好的魯棒性.當(dāng)退化過程具有較強(qiáng)動態(tài)隨機(jī)特性時,能夠避免由于退化值偶然超過閾值而低估和誤算其實(shí)際壽命;當(dāng)退化過程動態(tài)隨機(jī)性較弱時,也能得到與首達(dá)時間下幾乎一樣的結(jié)果.這說明采用最后逃逸時間來描述隨機(jī)退化設(shè)備的壽命具有可行性與有效性,存在潛在的工程應(yīng)用價值.

5 結(jié)論

本文針對隨機(jī)退化設(shè)備的壽命預(yù)測問題中,傳統(tǒng)首達(dá)時間下的壽命與剩余壽命預(yù)測結(jié)果存在較為保守的缺陷,基于最后逃逸時間提出了一種新的壽命與剩余壽命定義框架.在這個新框架下,給出了基于線性Wiener 過程模型的壽命與剩余壽命分布解析表示,并進(jìn)一步擴(kuò)展至隨機(jī)效應(yīng)影響下的退化模型.最后分別通過數(shù)值仿真與工程實(shí)例證實(shí)了本文所提理論的正確性與有效性,說明了采用最后逃逸時間來定義壽命或剩余壽命具有一定的可行性.通過對比可以發(fā)現(xiàn),相比于傳統(tǒng)基于首達(dá)時間下的壽命預(yù)測方法,基于最后逃逸時間的壽命預(yù)測方法具有更好的魯棒性.但本文方法仍有一些問題值得進(jìn)一步研究.

1) 本文僅給出了線性Wiener 過程模型下的壽命與剩余壽命預(yù)測結(jié)果,但迄今為止國內(nèi)外學(xué)者已提出了很多新的退化模型,例如非線性Wiener 過程模型等.這些模型更具一般性與普適性,有待進(jìn)一步研究其最后逃逸時間下壽命分布推導(dǎo)方法.

2) 相比于首達(dá)時間定義的‘‘保守”,最后逃逸時間較為‘‘激進(jìn)”,對于一些高可靠性要求的關(guān)鍵設(shè)備,容易導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果大于真實(shí)壽命,如何在首達(dá)時間‘‘保守”與最后逃逸時間‘‘激進(jìn)”中選取一個‘‘折中”的方案是一個值得研究的問題.

3) 迄今為止,首達(dá)時間和最后逃逸時間主要用于基于隨機(jī)退化過程建模的剩余壽命預(yù)測方法中,目前基于機(jī)器學(xué)習(xí)的壽命預(yù)測方法考慮相對較少,有待進(jìn)一步研究.

4) 由于退化隨機(jī)性的影響,當(dāng)退化過程離開閾值時,無法立刻判定該退化過程之后是否能再次返回閾值之下,這會導(dǎo)致計算得到的最后逃逸時間與真實(shí)逃逸時間存在一定的滯后.

5) 由式(9)與前面分析可知,最后逃逸時間下的壽命分布方差大于傳統(tǒng)首達(dá)時間下的結(jié)果,這會給維護(hù)決策帶來一定的挑戰(zhàn),如何減小預(yù)測結(jié)果的方差也是一個值得研究的問題.