微積分的內核裂變與“后微積分范式”的數學教育價值

黃秦安

微積分的內核裂變與“后微積分范式”的數學教育價值

黃秦安

（陜西師范大學 數學與統計學院，陜西 西安 710119）

微積分理論作為人類歷史上偉大的知識創造之一，自誕生之后在相當長一段時期內被奉為描繪宇宙與自然運行強有力的數學語言與模型．20世紀以來，作為具有典型革命性意義的知識創新，誕生了分形幾何學、混沌理論和復雜性科學等多種新興學科．這些重要的數學知識創造構成了后微積分時代的主流數學知識形態并凝聚成為一種新的數學范式——“后微積分范式”．作為微積分范式的一種內核裂變，它實現了對原有范式的顛覆、突破和遷越，具有非確定性、混沌性和復雜性等顯著的當代科學革命特征．“后微積分范式”已經構成了大學數學課程的重要組成部分和必要內容，也必將成為未來高中甚至義務教育數學課程的基本內容．因此，“后微積分范式”的數學教育意義以及如何開展教學的話題需要予以充分的論證和關注．

微積分；內核裂變；后微積分范式；混沌理論；復雜性科學；數學課程

微積分是人類歷史上最偉大的數學創造之一，它在數學發展過程中的地位和在人類文明進程中的重要性是無論如何估計都不會過高的．然而，如同人類任何其它的知識創造一樣，微積分也有自己固有的思想、知識與方法的局限性．在肯定其價值的同時，有必要對其范式的內在局限性進行若干分析．與20世紀的科學進步相互輝映，持續的數學知識創新與革命構成了后微積分時代絢麗多彩的科學畫卷，書寫了數學哲學的新觀點和新方法．突破傳統的微積分范式，既是數學發展的要求，也是數學教育改革需要特別加以關注的．

1 微積分的知識價值與范式局限性

這里用“微積分范式”來表示自微積分誕生以來，以微積分的內容、思想與方法為主導，以微積分的理論體系為知識本體，以微積分理論為數學模型的所有數學類型和分支的整體．包括微積分的基本思想、精神、方法、內容、體系和應用．在微積分范式中具有典范性知識特征的學科有：數學分析（包括微分學、積分學和級數論等）、常微分和偏微分方程、微分幾何、實變函數和復變函數、泛函分析、拓撲學、微分代數、黎曼幾何、微分流形、微分動力系統、積分方程和非標準分析等．概括起來看，微積分的思想與知識價值主要表現在以下方面：

第一，在數學知識范式上，微積分完成了數學歷史發展的一次極其重要的范式轉換，即常量數學范式向變量數學范式的轉換．雖然在古希臘數學中直至微積分誕生之前，已有一些變量數學的思想萌動，如古希臘著名數學家阿基米德在沒有使用極限概念的情況利用窮竭法（the method of exhaustion）求出了諸如球面和球體等許多著名幾何圖形的面積和幾何體的體積[1]．在17世紀初，卡瓦列里（F. B. Cavalieri）對不可分概念的澄清并使之成為求面積和體積的有用技術，還有費馬（P. D. Fermat）設計的求多項式曲線切線的方法[2]，等等．但上述工作尚沒有構成范式轉換的全部必要條件．經過數代數學家的努力，特別是牛頓和萊布尼茲兩位著名數學家的工作，微積分的初步知識構型得以建立．正如微積分（calculus）的另一個叫法“無窮小分析”（infinitesimal analysis）一樣，微積分的思想核心是對于“無窮小”和“極限”這些新的數學概念的引入和處理．微積分的思想及方法，超越了對于數學對象的靜態分析和單純方法，并且構成了許多后續學科的知識基礎．從數學的歷史發展看，微積分作為整個連續數學范式的先導，是一系列后續數學知識的基礎．在高等數學中，數學分析的系列知識內容都是建立在微積分的理論基礎之上的，例如常（偏）微分方程、微分幾何、實（復）變函數、積分方程，以及微分流型、泛函分析、拓撲學、黎曼幾何，等等．

第二，微積分所開創的現代數學理論與應用體系適應了第一次工業革命的要求，解決了大量的科學、工程和技術問題，為近代文明的創立以及從近代文明走向現代文明發揮了重要的推動作用．17世紀以來，大量的科學技術與工程問題都遭遇到了理論解決方案的瓶頸，按照著名數學史家M·克萊因的研究，有4種主要類型的問題必須尋求理論上的突破．第一類是，已知物體移動的距離表為時間的函數的公式，求物體在任意時刻的速度和加速度；反過來，已知物體的加速度表為時間的函數的公式，求速度和距離．第二類的問題是求曲線的切線．第三類問題是求函數的最大值和最小值．第四類問題是求曲線長；曲線圍成的面積；曲面圍成的體積；物體的重心；一個體積相當大的物體（例如行星）作用于另一物體上的引力[3]．而微積分理論的建立，為上述4類問題的解決提供了絕佳的方法．

第三，微積分作為一種新的數學語言和工具，為自然科學的發展奠定了必要的語言基礎和理論模式．從更廣泛的意義講，微積分理論提供了相當一大類自然現象的定量模型．例如在偏微分方程理論中，三大類典型的偏微分方程：雙曲型偏微分方程、拋物型偏微分方程、橢圓型偏微分方程分別對應著不同的自然現象．波動現象或振動現象，如聲波、水波、光波、弦振動和桿振動等，可以用雙曲型偏微分方程來描繪．各種傳導現象，如熱傳導，則可以用拋物型偏微分方程來刻畫．而對各種場，如靜電場、磁場則可以用橢圓型偏微分方程來表示．

第四，微積分范式的局限性．一般來看，20世紀誕生的許多數學新理論表明，用連續變化的觀念去對自然做出一種刻畫，在許多情況下是否只是一種簡單化和理想化？微積分的知識范式就假設了研究對象的許多理想屬性，如連續、可微、光滑、收斂、可積等．如果對象不具有這樣的屬性，微積分思想方法就會出現散焦現象，即難以對這些對象進行很好地刻畫．形象地說，微積分是喜歡那些可以具有連續性、可以求導、可以微分、可以積分等諸如此類的“理想”性質的函數．而對于那些不連續、不可微、發散、不可積和不收斂的對象，如大量的隨機現象、模糊現象、突變現象、離散現象和混沌現象等，就顯得勉為其難或無能為力了．隨著對自然刻畫的深化，微積分范式的局限性必須予以突破．為了更真實地描繪自然現象，就需要創造更為精致復雜的數學理論，對既有的理論模式予以超越．

2 微積分知識的內核裂變與當代數學的知識創新與超越

20世紀以來，數學的知識進步呈現出新的特征，它從單純的知識量的積累轉變為一系列具有革命性意義的知識變革．而克服微積分知識范式及其解釋理論的固有局限性并予以超越也正是20世紀數學發展的一個鮮明和突出的特點．許多新的數學進展和分支都是從突破微積分的范式視閾開始的．下面以分形幾何學和混沌理論等幾個領域中的典范例子對相關論點予以論證．

2.1 “病態函數”的新生與分形幾何學

按照微積分的知識直覺，處處連續的函數雖然可以在某些有限的點上不存在導數，但似乎不可能在其定義域內沒有一個點上都是不可求導的．然而，這一似乎毫無瑕疵和理所應當的數學直覺卻并不正確．推翻這一直覺的反例有很多．其中的一個例子是著名數學家魏爾斯特拉斯首先構造出來的．如下是這個處處連續、但卻處處不可微的函數：

這一發現極大地震驚了數學界，因為它重度沖擊了經典的微積分觀念．這類具有奇特甚至怪異性質的函數曾一度被斥為“病態函數”而被主流數學所貶抑．而恰恰是這些具有似乎相當怪異性質的“病態函數”，卻構成了數學新學科和新知識的生長內核．

在微積分范式下不受人待見的種種知識型中，有些開始了新的生長并逐漸碩果累累．其中最為引人矚目的成就之一就是“分形”這一學科的創立．分形（fractal）一詞，是法國數學家曼德勃羅（B. B. Mandelbrot）于20世紀70年代創造出來的，其原意是不規則、支離破碎等．起源于如何刻畫自然界大量的諸如云朵、山峰、海岸線和閃電等經典微積分無法很好描述的物態和形狀，曼德勃羅提出了分形幾何學的基本思想，它是一門以非規則幾何形態為研究對象的幾何學．曼德勃羅曾經為分形下過兩個定義．（i）滿足條件Dim()>dim()的集合，稱為分形集．其中，Dim()為集合的Hausdoff維數（或分維數），dim()為其拓撲維數．一般說來，Dim()不是整數，而是分數．（ii）部分與整體以某種形式相似的形，稱為分形．

由于不規則現象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又被稱為描述大自然的幾何學．分形幾何建立以后，很快就引起了許多學科的關注，這是由于它不僅在理論上，而且在實用上都具有重要價值．因為分形在所有的大小尺度下都顯得相似，所以通常被認為是無限復雜的（在不嚴謹的用詞意義下）．自然界里一定程度類似分形的事物有云朵、山脈、閃電、海岸線和雪片，等等．而著名的分形圖形有皮亞諾曲線、科契雪花曲線、康托集、曼德勃羅集、朱麗葉集、謝賓斯基毯、無限二進制樹等（見圖1）．

圖1 幾種典型的分形圖形

隨著分形理論的誕生，人們逐漸發現了越來越多的處處連續、處處不可微的函數，如著名的魏爾斯特拉斯–曼德勃羅分形函數：

（0

圖2 魏–曼分形函數的兩種圖形

這一函數的特點是連續，不可微，無標尺．圖2顯示了這一函數在兩種不同取值下的圖形．從中可以看出，當值逐漸變大時，圖形的幅度變化加劇，呈現出更加密集的分布．

2.2 混沌理論的開創：洛倫茲吸引子與KAM定理

更廣泛地看，分形是構成了更為一般的混沌理論的一個重要分支．混沌理論的開創者之一是美國麻省理工學院教授洛倫茲（E. N. Lorenz）．1963年，洛倫茲在《大氣科學》雜志上發表了題為“決定性的非周期流”的文章，其中闡述了在氣候不能精確重演與長期天氣預報者無能為力之間必然存在著非周期性與不可預見性之間的關系．其中一個主要結論就是“隨著一個小的改變非周期的解通常變得不穩定，因此初始狀態的微小改變可以演化成相當不同的狀態”[5]．該論文的發表被認為是一個劃時代和具有里程碑意義的杰作，被科學界看作是對牛頓的古典物理學所確立的一直未受挑戰的決定論的一個致命打擊[6]．洛倫茲在計算機上用他建立的微分方程（被稱為洛倫茲方程或洛倫茲系統）：

這里，表示對流強度；是上升氣流與下降氣流的溫度差；表示垂直方向溫度分布的非線性強度．系統參數、、分別表示普朗特數、瑞利數和與對流縱橫比有關的外形比．）模擬氣候變化的時候，偶然發現當輸入的初始條件發生極微小的差別之后，居然會引起模擬結果的巨大變化，這一奇異的運動結果被稱為“洛倫茲吸引子”．

“洛倫茲吸引子”被稱為混沌的范式．“洛倫茲吸引子”具有這樣幾個特性：“（1）它是復雜的和混沌的，但不是雙曲型的；（2）無論是從拓撲學還是遍歷理論的觀點，其動力學可以很好且合理地描述；（3）它承認某些雙曲性質；（4）它是穩健的，任何一個洛倫茲模型的攝動會形成另一個洛倫茲模型．”[7]1972年，洛倫茲在一次講座中曾比喻說，在南半球巴西某地一只蝴蝶翅膀的拍打所引起的微小氣流，可能會在幾周后演變成席卷美國得克薩斯州的一場陸龍卷[8]．這就是著名的“蝴蝶效應”（butterfly effect），是對“洛倫茲吸引子”的一個通俗解釋．

與傳統微積分科學所擅長處理的線性科學不同，混沌學的研究對象是非線性科學，比如非線性動力系統．“一般而言，動力學是關于時間進化過程研究的一個術語，而對應的描繪這一進化的方程組，叫做動力系統．其中，非線性系統即可以指具有一個物理存在的動力過程，也可以指這一過程模型的方程．”[9]非線性系統理論的奠基者是彭加萊、李雅普諾夫和伯克霍夫．在非線性動力系統的理論發展中，一個具有重要里程碑意義的成就是著名的KAM定理（KAM由3位數學家名字的首字母構成，由科爾莫戈諾夫提出，1960年代早期被阿諾德和莫澤所證明）．在非線性系統的研究進程中，人們開始意識到即使是一個極小的非可積攝動都會導致困難的分析問題．在KAM定理誕生之前的很長一段時間，這樣一種攝動是否會即刻導致一種可積的系統混沌性是一個未解決的問題．這一問題可以更為形式化地表述為當一種非可積的攝動被添加到可積系統中后，是否存在一種平滑和即刻的從規則到混沌的運動轉換（在攝動的強度下）？KAM定理回答了這個問題．KAM定理表明，在微小的攝動下規則結構的存在性，非線性系統中出現混沌具有普遍性．

混沌打破了確定性方程由初始條件嚴格確定系統未來運動的常規模式，會出現所謂各種“奇異吸引子”現象等．而如何從數學上研究混沌一直是數學家孜孜以求的目標．當代英國著名數學家阿迪亞寫道：“孤立子和混沌是微分方程理論兩個非常不同的方面，在本世紀已經成為極其重要和非常著名的研究課題．它們代表著可供選擇的極端．孤立子代表非線性微分方程的不可預料但有組織的行為，而混沌代表的是不可預料且無組織的行為．”[10]與20世紀中葉之前的數學分支不同的是，混沌理論的數學表示既是獨立于應用性和可觀察的現象的，同時又很難與從一般科學角度研究混沌中分離開來[11]．

3 當代數學知識的遷越：走向復雜性科學與后微積分范式

“復雜性科學”是對各種顯示了與傳統科學范式明顯不同的具有復雜性科學知識形態的多門學科的總稱．盡管目前對復雜性科學尚沒有完全一致的看法，但有一些觀點已逐步成為學者的共識．在Springer出版社出版的復雜性叢書的前言中，對復雜系統性的定義是：“復雜系統是包含許多相互作用的部分組成的系統，這些部分具有產生宏觀集群行為的新特性，這些新特性的顯現是暫時的、立體的或功能型結構所自發形成的．”[12]

富特（R. Foote）曾在著名的《科學》雜志上撰文，提出了“復雜系統”（complex system）所描繪的現象、結構、集合、組織和問題所具有的4個共性：“（1）它們都是內在復雜或纏繞的；（2）它們很少被完全確定的；（3）系統的數學模型通常是復雜的并包含著非線性、不適定的（ill-posed）或混沌的行為；（4）系統易受意外結果（所謂的‘突現行為’）的影響．”[13]諸如突變理論、非線性科學（如非線性動力系統）、模糊數學、隨機數學和計算復雜性等都是具有復雜性科學特征的學科．其中，復雜關聯度（即與其它學科的交叉度高，難以完全析出知識的獨立指標性）、內隱性（即難以完全刻畫和窮盡的）和邊際模糊性構成了這些學科的知識特點．

復雜性科學不是一門單一的學科，而是具有內在復雜性的一系列學科的集合．這些學科之間存在著學科對象、內容和思想方法的交叉、重疊和復雜的關聯性．借助于計算機圖形學，分形成為探索復雜性現象的一個有力工具，如朱麗葉集．（朱麗葉集由一個復變函數的迭代生成．在復平面上，像這樣一個帶有常數c的簡單函數，由很簡單的迭代過程，就能生成非常復雜的集，或者說具有奇異形狀的分形．）

圖3顯示的是計算機在某些給定條件下做出的c取兩種不同數值時所得到的朱麗葉集的圖形．分形誕生以來，人們從不同的數學理論視角對之進行了更為深入廣泛的研究．例如從度量拓撲學的角度對分形進行的研究；還有從測度論角度對分形開展的研究；進而產生了分形維度、多重分形、超級分形等概念．由此，分形被納入了當代數學復雜的學科間性之中，并成為復雜性科學的標志性科學之一．

（左圖為f(z)=z2-1的圖象；右圖為f(z)=z2+i）的圖象[14]）

“量子混沌”研究的是在量子水平上的混沌現象．維姆伯格（S. Wimberger）在《非線性動力學與量子混沌》一書中討論了兩種定義量子混沌性的方式，一種是用半古典的強有力方法去刻畫動力量子系統，第二種是從量子力學的最核心處，即量子譜及其性質出發[15]．“在一個量子系統中，如果允許以一種自洽的方式與其邊界相互作用，就會出現混沌．”[16]與經典混沌運動不同，“在現實中，一個量子系統不像在經典混沌中那樣軌道通常是多樣的，它對初始條件的依賴并不強”[7]．

綜上就可以歸納出“后微積分范式”的概念．其基本含義是在若干關節點上突破了傳統微積分的理論框架，尤其是對于那些在微積分范式下被輕視或被看低的研究對象與性質（如不連續（離散）、不可導、不可積、初始條件和最終解之間的關系是漸變平衡的對象等等）予以重新認識并獲得新生的理論叢和學科群的一個總體的概括．其中以混沌理論和復雜性科學為主要學科標志．在后微積分范式中，新的問題會被不斷提出并激發有生命力的新學科的萌生和生長．其基本理論對各種現象的解釋力要高于舊的理論體系．這些新的理論叢和學科群在數學界和科學界獲得了專家系統高度和普遍的認可和好評，并與自然科學和社會科學的最新進展有著更好的親和力．

4 后微積分范式下數學課程與教學改革的開創與前瞻

從哲學的視域看，后微積分范式是20世紀后半葉以來整體科學革命圖景的一個突出的亮點．它的確立意味著自伽利略以來西方現代性科學的整體范式（即基于確定性、決定論、還原論和機械論的世界觀念及其思想框架）正在遭受前所未有的挑戰并逐步解體．亞瑟（W. B. Arthur）等學者認為“預測性數學”（即以微積分理論為標志的，特別是以經典的常微分與偏微分方程為基礎的數學）是以一種平衡態的假設為前提的，而諸如分散化的相互作用、沒有全局的控制者或原因、多重水平的組織、連續修正適應性和遠離平衡態等經濟特征是“預測性數學”難以描繪的[17]．而后者正是復雜性科學所著力刻畫的對象和現象．

雖然復雜性科學的學科范圍要大于或超出數學的理論框架，但數學對于復雜性科學等一系列新興科學的發展無疑有一種“數學視野”的敏感性．面對相對論、量子力學、非線性科學、復雜性科學、耗散結構、自組織和協同學（上述學科之間許多是相互交叉和相互包含的）等新科學的出現和挑戰，數學自然不會示弱．對此，富特的預測是：“數學與物理的發展將會深刻地超越它們的歷史源頭．在更大的意義上，數學自身的研究，正在不斷地超越研究者‘用手’驗證的能力，將會是根本的復雜系統．”[13]可以期待的是，隨機過程、混沌理論、非線性科學和計算復雜性（包括生物計算、膜計算、量子計算和云計算等新的計算方法和類型）等具有復雜性科學特征的領域將成為后微積分時代數學知識的重要形態，并將對未來科學的形態和走向產生持續而深刻的影響．

在后微積分范式下，數學教育會面臨怎樣的機遇與挑戰？事實上，20世紀后半葉以來，已經有越來越多的研究者開始重視與后微積分范式相關的課程設置和教學問題．需要指出的是，雖然后微積分范式是數學知識進步的一場革命，但它與微積分范式并不是對立的和截然分離的關系．后微積分范式是微積分范式的一種超越和突破，強調后微積分范式的價值，并不是以完全取代微積分范式為代價，微積分的知識價值和教學價值依然是不可替代的．只是后微積分范式是在原有的范式上更進一步，在觀念、視角、方法和應用等維度上予以開拓，以適應科學技術創新、社會發展和教育改革的需要．具體來看，后微積分范式將會在以下幾個方面對數學教育形成影響和推動力．

第一，后微積分范式將動搖并變革傳統數學課程體系．

在內容上，后微積分范式具有更大的知識體量和更加兼容的知識結構．法國數學家曼德勃羅曾對傳統幾何學的知識形態予以詬病：“為什么幾何學常被說成是冷酷和干澀的？一個原因就在于它不能描繪一朵云、一座山、一條海岸線或一棵樹的形狀．云朵不是球體狀的，山巒不是錐體狀的，海岸線不是圓形的，樹皮是不光滑的，甚至閃電都不是以直線行進的．”[18]擴大對幾何學內涵的認識就成為幾何教學改革的先決條件．與微積分范式不同的是，后微積分范式包含了微積分但不限于微積分，是一種集大成（連續與離散、純粹與應用）的綜合數學知識體．

美國的Seidman和Rice在“熔離散數學與連續數學觀念于一爐的高等數學基礎教程”一文中，介紹了把離散與連續觀念緊密結合的數學課程．這種課程的基本特點是，既能克服傳統單一的微積分課程的不足，又沒有用離散數學完全替代微積分，因為微積分的知識體系對于數學而言是必不可少的，并且能夠把離散數學的基本概念和方法與微積分的概念與方法相融合，讓學生能夠獲取更為寬闊的知識視野，顯示出更為靈活和優化的數學知識結構[19]．為了更好地開展后微積分范式的教學，中外教材的比較是很重要的工作．例如中國學者對中美微積分教材進行的有益的比較[20]．

中國數學新課程標準實施以來，數學教育界對后微積分范式中的離散數學內容，予以了越來越多的關注．《全日制義務教育數學課程標準解讀》中，對當代數學的許多趨勢給予了描述．“近年來，在通信業中發展起一門新的科學——安全技術，包括消息認證和身份驗證兩個方面．消息認證是檢查收到的消息是否真實的一種手段，應用十分廣泛……在當今通信事業以及軍事指揮中心、軍事監聽機構中都要有很好的消息認證系統，以使受假消息影響的程度為最小．身份驗證是檢驗消息的來源（發信者）是否正確，或者傳遞的消息是否到達正確目的地（收信者）的方法．”[21]“由于計算機的廣泛應用帶來的信息革命，適宜于計算機作離散化處理的離散數學日益顯示出其巨大的威力，并導致了在高等數學課程中微積分核心地位的動搖．”[22]

第二，在后微積分范式引導下的數學教育，將會帶來許多數學觀念的全新變革．例如，簡單性曾被包括彭加萊在內的數學大師視為數學知識和數學美的一個典型特征[23]，而在后微積分知識中，除了簡單性之外，復雜性則會成為基本的數學知識樣貌．不僅如此，傳統微積分理念中的許多舒適的假設都被顛覆了．例如前面談到的魏爾斯特拉斯所構造的存在處處連續，處處不可導的函數就與微積分的直覺相違背．雪花曲線則提供了一個面積有限、周長無限的非經典圖形的范例．在后微積分時代，一個重要的觀念轉換就是“從線性的、可逆的、可還原的動力學的數學模型向非線性的、不可逆的、功能上不可還原的復雜的動力學模型（特別是包括所有生命系統在內的復雜的適應系統）的轉換”[24]．

第三，在方法論層面，后微積分范式帶來數學方法論的許多變革．例如，模糊邏輯為不精確推理提供了理論基礎．“這種推理又稱為近似推理．近似推理引用精確推理的謂詞邏輯來處理部分真命題，因此它是經典命題演繹的推廣．”[25]再比如，“在離散數學中，猜測、算法、試錯和計算機實驗成為基本的方法，這是一個數學方法論的重大轉變，具有典型的方法論革命意義”[26]．計算機輔助化成為做數學的基本方法，如阿佩爾和哈肯運用計算機對四色定理的證明，就顛覆了傳統數學手工證明的觀念．計算機實驗也逐漸成為做數學的一種基本方式．進而，機器證明作為一種計算機與數學結合的新方法，將會對幾何教學帶來深刻的變革[27]．

第四，后微積分范式還將給數學建模等數學應用領域帶來新的生機，在計算機與數學教學日益融合的時代更是如此．比如，在混沌理論的研究中，計算機科學就扮演著十分重要的作用．計算機對于建立非線性系統的模型十分重要．與以往數學與物理學的緊密聯系不同，在混沌理論中，物理與數學模型的對應性不再是直接的，而是經過了計算和計算機模擬與實驗這一中介方式．

計算復雜性是計算機科學的復雜性理論和數值計算的復雜性理論的總稱．在大數據、云計算、互聯網+的技術背景下，計算復雜性的思想正扮演著越來越重要的角色．計算復雜性的概念源自于圖靈機（TM）在采用一種算法進行計算時的運算時間問題．有時候為了得到一個答案，即使TM運行得足夠快，也仍然會出現TM會花費不切實際的運行時間的可能．比如，假如你想去參觀遍布于世界各地的50個旅游目的地．并且你也知道從一個目的地到另一個目的地所需的費用．具體取決于你從哪一個地方開始，以及下一個目的地去哪里．這樣，你就有50!（即50的階乘）種旅游方案可供選擇．而各種不同可能性的數目將是一個巨大的數字，50!>10025．如果計算每次旅行這50個地點所需花銷的時間僅需十億分之一秒（這已是相當快的了），那么要確定那次旅行的費用最低，將用掉不少于1025次一個人一生的時間[28]．因此，僅僅滿足于算法可解性是遠遠不夠的，還需要考慮實際可解性．這就涉及到TM所采用的計算模式以及TM運行的時間和空間．這正是計算復雜性所要考慮的問題．

第五，教學改革的可行性與漸進性．

20世紀60年代風靡西方數學教育的新數學運動之所以沒有獲得成功，一個原因就是在課程體系中沒有充分考慮數學知識的整體性，偏于抽象數學之一隅而偏廢了應用數學．而后微積分范式則體現純粹與應用數學的統一，展現了數學的歷史連續性，完整地表達了現代數學的思想觀念和知識體系．后微積分知識可以在不同階段的課程設置和教育實踐中得以漸進地安排．其實，在高中數學教學中，不少后微積分的知識內容并非像天外來客那么遙不可及．如前面提到的雪花曲線的周長和面積問題，都是高中階段知識完全可以解決的．混沌理論中的“蝴蝶效應”在數學教育圈內則是家喻戶曉的文化常識．

可以期待的是，數學知識范式的演變將對數學課程的設置和數學教學產生持續深刻的革命性影響．應該指出的是，在當下，無論是大學教育階段，還是義務教育和高中教育階段，對后微積分范式的敏感度仍然是不夠的．改革的必要性還沒有被充分意識到．尤其是中國師范院校的數學課程體系，依然是微積分本位的．而以微積分為基底的大學數學知識形態，對于未來數學教師的知識準備和未來數學課程的展開而言是遠遠不夠的．從微積分范式向后微積分范式的轉換，前景可期，路程漫漫，數學教育工作者仍需努力．

[1] PAIPETIS S A, CECCARELLI M. The genius of archimedes-23 centuries of influence on mathematics, science and engineering [M]. New York: Springer, 2010: 3-7.

[2] KLEINER I. Excursions in the history of mathematics [M]. New York: Birkh?user, 2012: 69.

[3] 克萊因．古今數學思想（第2卷）[M]．上海：上海科學技術出版社，1982：49-51．

[4] BERRY M V, LEWIS Z V. On the weierstrass-mandelbrot fractal function [J]. Mathematical and Physical Sciences, 1980, 370 (1?743): 459-484.

[5] LORENZ E N. Deterministic non-periodic flow [J]. Journal of Atmospheric Sciences, 1963, 20 (2): 130-141.

[6] AMBIKA G. Ed Lorenz: Father of the “butterfly effect” [J]. Resonance, 2015, 20 (3): 198-205.

[7] DUPLANTIER B, NONNENMACHER S, RIVASSEAU V. Chaos: Poincaré seminar 2010 [M]. New York: Birkh?user, 2010: 46, 142.

[8] 洛倫茲E N．混沌的本質[M]．劉式達，譯．北京：氣象出版社，1997：171．

[9] MARINCA V, HERISANU N. Nonlinear dynamical systems in engineering [M]. New York: Springer, 2011: 1.

[10] ATIYAH M. Mathematics in the 20th Century [J].The American Mathematical Monthly, 2001, 108 (7): 654-666.

[11] EKELAND I. What is chaos theory [J]. Review (Fernand Braudel Center), 1998, 21 (2): 137-150.

[12] MAINZER K. Thinking in Complexity [M]. New York: Springer, 2007: Preface.

[13] FOOTE R. Mathematics and complex systems [J]. Science, New Series, 2007, 318 (5?849): 410-412.

[14] FASSETT J E. Eigenvalues in filled Julia sets [J]. Mathematics Magazine, 2011, 84 (3): 221-227.

[15] WIMBERGER S. Nonlinear dynamics and quantum chaos [M]. New York: Springer, 2014: 103.

[16] BLüMEL R, MEHL J B. Quantum chaos [J]. Journal of Statistical Physics, 1992, 68 (1): 311-319.

[17] MCKELVEY B. Toward a complexity science of entrepreneurship [J]. Journal of Business Venturing, 2004, 19 (3): 313-341.

[18] EMMER M. Imagine math between culture and mathematics [M]. New York: Springer, 2012: 6.

[19] 張奠宙．國際展望：九十年代的數學教育[M]．上海：上海教育出版社，1990：59-66．

[20] 王彩芬，曹榮榮，張麗，等．中美微積分教材內容建構比較與啟示——以“微分”為例[J]．數學教育學報，2021，30（4）：63-67．

[21] 教育部基礎教育司．全日制義務教育數學課程標準解讀（實驗稿）[M]．北京：北京師范大學出版社，2002：15．

[22] 黃秦安．20世紀以來數學發展的特點及其對數學教育的意義[J]．數學教育學報，2010，19（2）：3-7．

[23] 徐利治．數學方法論[M]．大連：大連理工大學出版社，2018：218．

[24] SIEGEL H. Hooker’s revolutionary regulatory realism [J]. Study in History and Philosophy of Science, 1998, 29 (1): 129-141.

[25] TIMOTHY J R．模糊邏輯及其工程應用[M]．錢同惠，譯．北京：電子工業出版社，2001：163-164．

[26] 黃秦安．“離散數學”的范式革命及其意義[J]．科學學研究，2019，37（2）：228-234．

[27] 張景中，彭翕成，鄒宇．幾何機器明證引發的思考[J]．數學教育學報，2020，29（1）：1-5．

[28] SINGH A. Elements of computation theory [M]. New York: Springer, 2009: 327.

Kernel Fission of Calculus and the Significance of Mathematics Education of “Post-Calculus Paradigm”

HUANG Qin-an

(School of Mathematics and Statistics, Shaanxi Normal University, Shaanxi Xi’an 710119, China)

Calculus theory, as one of the great knowledge creations in human history, has been regarded as a powerful mathematical language and model to describe the universe and natural operation for a long period of time since its birth. Since the 20th century, as a typical revolutionary knowledge innovation, a variety of emerging disciplines such as fractal geometry, chaos theory and complexity science have emerged. These important mathematical branches constituted the mainstream of mathematics knowledge form in the post-calculus era and condense into a new paradigm-“post-calculus paradigm”. As a kernel fission of the calculus paradigm, it realizes the subversion, breakthrough and transition of the original paradigm, and has the remarkable characteristics of contemporary scientific revolution such as uncertainty, chaos and complexity. “Post-calculus paradigm” has already constituted an important part and necessary content of college mathematics curriculum, and it will also become the basic content of mathematics curriculum in high school and even compulsory education in the future. Therefore, the significance of “post calculus paradigm” in mathematics education and the topic of how to use the post calculus paradigm to carry out teaching need to be fully demonstrated and paid attention to.

calculus; kernel fission; post calculus paradigm; chaos theory; complexity sciences; mathematics curriculum

G640

A

1004–9894（2022）01–00013–06

黃秦安．微積分的內核裂變與“后微積分范式”的數學教育價值[J]．數學教育學報，2022，31（1）：13-18．

2021–10–21

中央高校基本科研業務費專項資金資助——數學定理背后的發現細節及心理學解析（GK202105007）

黃秦安（1962—），男，陜西西安人，教授，博士生導師，主要從事數學教育、數學教育哲學和數學文化研究．

[責任編校：周學智、張楠]