數學文化融入中學教科書的內容與方法

王 嶸

數學文化融入中學教科書的內容與方法

王 嶸

（人民教育出版社 課程教材研究所，北京 100081）

數學文化在教科書中的融入在一定程度上決定著數學文化課程目標和課堂教學的實現．歷經三版教科書編寫研究，初步構建了數學文化融入教科書的理論框架：數學文化融入教科書的內容主要有“數學的形成和發展”“數學在人類文明中的貢獻和意義”“數學的人文價值”“中華民族數學成就”4類；數學文化融入教科書的方法主要有“片段式”“旁注式”“問題式”“短文式”4種．通過數據分析和案例分析，可以發現基于此理論框架的2019版高中教科書，初步實現了內容和方式融入的較為均衡的整體分布，并且特別關注了數學文化學習的活動性、傳遞數學文化的情感溫度、展現傳統數學的特點等

數學文化；教科書融入；數學文化融入內容；數學文化融入方法

在21世紀初的基礎教育改革中，《普通高中數學程標準（實驗）》（2003）首次將數學文化與數學探究、數學建模并列為高中數學課程內容，意在通過數學文化讓學生受到優秀文化的熏陶，感受數學的科學價值、應用價值、人文價值，領會數學的美，并列出了19個數學文化選題[1]．十幾年后，《普通高中數學課程標準（2017年版）》進一步指出了數學文化的內涵，并強調將數學文化融入數學課程，在日常學習中結合相應的數學知識滲透數學文化，提升學生的科學精神、應用意識和人文素養[2]．

作為課程內容重要載體和教學重要資源的教科書，如何實現數學文化的融入？數學文化既包含數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動[2]．由此可見，數學文化的內容是非常廣泛的，甚至有點包羅萬象．對于教科書而言，有益之處是素材豐富，不利之處是容易泛化．特別是對于中學教科書，數學文化是一種融入，而不是一本數學文化教材，因此首要的問題就是融入教科書的數學文化內容，如何選擇，選擇什么？當融入的內容確定后，接下來的問題就是這些內容以何種方式融入，才能讓數學文化和數學知識的學習渾然一體？歷經三版教科書[3-5]，20年的編寫研究，初步構建了數學文化融入教科書的理論框架，即數學文化融入教科書的內容與方法．

1 數學文化融入教科書的內容

1.1 內容選取原則

文化植根于人類心靈深處，是長期的歷史積淀[6]．因此，融入教科書的數學文化內容，無論是思想、方法、觀點還是精神和價值，不再包羅萬象，而是根據中學數學主題特點，具有一定的“歷史性”，即有一種時間發展的線索，反映出文化的“長期歷史積淀”的特點．例如一個具有購物情境的問題就不是數學文化內容的選擇，而一個弦圖情境的問題則是數學文化內容的選擇．

當然，除了這種基于“文化”本身特點的歷史性原則外，還要考慮到教科書的編寫研究是一個系統，這個系統往往劃分為知識內容和特色主題兩類研究，而數學文化屬于特色主題類，特色主題之間雖然無法避免交叉，但是追求交集最小化．例如問題情境主題和數學文化主題（人教版教科書的教科書前期編寫研究特色主題一般有問題情境、數學文化、訓練系統、信息技術等），情境中的科學技術類在一定程度上也可以看作數學文化中的科學價值內容，為了避免交叉，數學文化在科學價值內容選擇上就會更加注重具有歷史性的情境．

1.2 內容條目及具體表現

通常，數學文化的內容包括數學與數學、數學與生活、數學與科技、數學與人文藝術4個方面．在“歷史性”原則基礎上，從這4個方面的數學文化中，結合中學數學的課程目標、知識內容及特點，選擇了4種融入教科書的數學文化內容條目：（1）數學與數學、其它對數學的作用，這些構成了“數學的形成與發展”這個內容條目；（2）眾所周知，數學的工具性、方法性，使它成為了科學的語言，成為了人們認識世界和改造世界的工具，因此構成了“數學在人類文明中的貢獻和意義”這個內容條目；（3）數學的人文價值，既包括純粹數學的美，也包括創造它的數學家的精神以及數學本身的精神，還包括數學與人文藝術的互動，特別是哲學、美術、音樂等，這些構成了“數學的人文價值”這一內容條目；（4）與一般圖書不同的是，教科書本身承擔著傳播本民族優秀傳統文化的責任，因此將“中華民族數學成就”單獨作為一個內容條目．圖1直觀表明了融入教科書的數學文化內容與通常的數學文化內容之間的關系（由于數學的形成與發展、中華民族數學成就的內容均關注了4種關系，所以為了避免圖1中線條過密，采用從旁邊引線方式）．

對于每一條內容條目，再次細分，抓重點，明確了這些內容具體表現在哪些方面，以增強融入教科書的數學文化內容選取時的操作性，這樣就形成了融入教科書的數學文化內容的二級分類表（表1）．

圖1 數學文化與融入教科書的數學文化

表1 融入教科書的數學文化內容條目及具體表現

2 數學文化融入教科書的方法

2.1 內容融入原則

知識是文化的載體，沒有知識，就沒有文化[7]，可以說知識本身的學習就蘊含著數學文化的滲透．從這個角度，在知識講解中，字里行間可以充滿這個數學主題所蘊含的數學文化，這是數學文化在教科書中的一種隱形融入，即以數學知識為呈現焦點，兼顧數學文化；而這里所探討的是數學文化在教科書的顯性融入，即以數學文化為呈現焦點，數學知識為載體，即教科書的一個問題、一個欄目、一個題目、一段文字的呈現角度是“數學文化”，而非“數學知識”．

此外，教科書的載體特點是容量有限，它受知識量、課時、學生負擔、定價等多種主客觀因素制約．因此對于沒有專門課時配比的數學文化，融入方式多樣化尤為重要，即充分利用教科書空間，靈活地呈現數學文化內容．

2.2 數學文化融入的方法

基于“顯性化”和“多樣化”原則，設計了4種數學文化的融入方式：（1）片段式，通常是一段融入知識講解的文字，適于表現數學形成的動力或數學發展中的關鍵節點；（2）旁注式，通常是以小貼士的形式搭配在相應的知識講解旁邊，適于表現數學文化中的一些特色元素，如數學符號、數學家簡介、典籍等；（3）問題式，通常是欄目問題、例題或習題，適于表現數學發展中的著名問題和方法，以及數學發展的規律；（4）短文式，適于表現某一數學分支的形成與發展、數學在人類文明中的貢獻和意義、數學的人文價值等這些宏觀內容．

由此可以看出，從數學文化融入的內容到融入方式，結合其所處的教科書位置，是一個整體的設計．這3者之間有一定的對應性，即盡量做到一定的位置出現一定的呈現方式，一定的呈現方式展現一定的內容，一定的內容承載一定的數學文化作用，做到有的放矢，呈現出一定的層次（如表2所示）．

表2 “作用”“內容”“方法”的關系

3 高中教科書（2019版）中數學文化的分布與 案例分析

教科書的編寫研究是一個繼承與創新的過程，數學文化這個特色主題的研究也是如此，繼承于數版教科書中的數學史融入研究，創新于2004版高中教科書，從數學史到數學文化．歷時三版教科書前期研究，兩版教科書的使用，搭建起了較為完整的理論框架，如今也已應用于2019版高中教科書的編寫．下面就以2019版高中教科書為例，從數學文化分布和案例分析兩個角度探討理論框架的編寫實現．

3.1 數學文化的分布

通過對表1和表2編碼，統計了高中教科書（2019版）5冊的數學文化內容與方法數量．從內容與方法的“類”分布和“冊”分布兩個角度梳理和分析數據．

3.1.1 內容與方法的“類”分布

全套書中共有70處融入了數學文化，4種融入方法的占比如圖2所示，其中占比最大的是短文式，37%；最小的是片段式，17%．相對而言，還比較均衡．短文式最多，可能與這種方式既能綜合表現數學文化不同條目，也能充分展開數學文化內容有關；片段式最少，可能與選取數學文化內容插入知識講解后實現渾然一體的難度較大有關．

圖2 數學文化的融入方法

在每一處，一種融入方式所承載的數學文化內容條目可能不止一種，因此全套書共有103個數學文化內容，4種數學文化內容條目的占比如圖3所示．可以看到，內容條目分布不均衡，“數學形成與發展”占比高達51%，“數學的人文價值”占比只有13%．這可能與不同內容條目的素材豐富、融入方式是否多樣有關（如表2），不過可能也和數學文化進入教科書時間短，某些內容條目開發積累的素材少有關，如人文價值條目．雖然“中華民族數學成就”占比也才11%，但是考慮到這個內容能同時容納其它條目，但是其它條目無法容納它，所以這個占比還是充分說明了高中教科書對于傳播數學傳統文化的重視．

圖3 數學文化內容條目

3.1.2 內容與方法的“冊”分布

從圖4和圖5，可以看到各冊教科書在數學文化融入內容與方法上的分布與差異．必修1在“數學在人類文明的貢獻和意義”中占比最大；必修2在“數學的形成與發展”中占比最大；選擇性必修1在中華民族數學成就中占比最大；選擇性必修2只有“數學的形成與發展”比較突出；選擇性必修3在“數學的人類價值”上有所缺失．與融入內容相比，融入方法的差異更大一些，特別是“旁注式”和“問題式”，必修2的旁注式最多，選擇性必修1無；選擇性必修2的問題式最多，必修2和選擇性必修1無．這種分布的差異，可能和每一冊知識內容的主題有關，比如選擇性必修1的內容為立體幾何和解析幾何，選擇性必修2的內容為數列和微積分，相比于前者，數列的經典問題豐富，易于設計成例題和習題用“問題式”融入．

圖4 數學文化融入內容

圖5 數學文化融入的方法

總的來說，數學文化已經成為教科書的一部分，高中教科書（2019版）平均每兩個課時就有一處顯性的數學文化融入．而且，數學文化融入的內容涵蓋了每一種內容條目及條目的具體表現，其中融入最多的是“數學的形成與發展”，也融入了一定數量的“中華民族數學成就”，偏少的是“數學的人文價值”．與融入內容條目的較大差異相比，從全套書來看，數學文化融入方式的分布就更加均衡，較多采用的是“短文式”；不過每一冊的4種融入方式差異還是較大的，特別是必修2和選擇性必修2，前者“旁注式”占比42%，后者“問題式”占比57%．

3.2 案例分析

與以往教科書相比，數學文化理論框架的構建除了使2019年版高中教科書的數學文化融入更具有系統性外，還針對性地開發了一些別具特色的數學文化融入案例．例如，增加數學文化學習的活動性，傳遞數學文化的情感溫度，展現傳統數學的特點等．

3.2.1 主題學習：在活動中提升素養

2019年版高中教科書中最具特色的數學文化融入就是選學欄目“文獻閱讀與數學寫作”，這是一個數學文化主題學習活動．全套教科書一共有4個主題活動：函數的形成與發展、幾何學的發展、解析幾何的形成與發展、微積分的創立與發展．每一個主題都是圍繞一個分支或核心概念，讓學生通過一系列的自主活動，了解它們的形成與發展，領悟數學發展的動力、數學運行的規律，以及數學在人類文明中的貢獻和意義等．教科書呈現都是從明確主題學習目標開始，然后給出實施建議和參考選題，并要求以“論文”形式呈現和交流主題學習結果．

對于第一個出現的“函數的形成與發展”，特意給出了“文獻綜述的結構”，讓學生明確如何通過文獻閱讀進行寫作；對于這4個主題活動，雖然都是“形成與發展”，但其承擔的數學文化內容遠遠超越了“形成與發展”，4個主題活動的參考選題都包含了“形成與發展”“數學家”“對人類文明進步的貢獻”等方面．因此，這種綜合性高、活動性強的數學文化主題活動，不僅有助于讓學生了解數學、認識數學，體會到數學及數學家的精神，還有助于學生看到數學與人類文明的關系，真正地站在文化的角度看數學，提升自身的數學素養與文化素養．

3.2.2 習題：在問題解決中提升能力

在以往的教科書中，學生多以“閱讀”的方式學習數學文化，融入方式基本上采用“短文式”．在研究基礎上，融入方式逐漸多樣化，比如上面的主題學習，就是一種“大活動”，除此之外，“問題式”就是一種“小活動”，意在讓學生學習數學文化的方式操作性更強一些．這種融入方式一是選取一些典型問題或方法編制成教科書例題或習題，二是將某一個概念、定理或公式的發展與問題解決結合起來編制成例題或習題，讓學生在問題解決中感悟數學文化、提升能力．

如圖6所示是二項式定理中的一道數學文化題目[8]，意在讓學生通過自己細化和完善二項式定理的發展脈絡圖，感受到：（1）數學的整體性．如二項式定理的“數”“形”特征，以及對不同數學分支（算術、幾何、概率、組合數學）的聯結作用，就像英國數學家德·摩根所言：“一個數學家需要知道不同數學分支中的發明過程，他需要明白牛頓是在沃里斯已經給出的更高等定理提示下才發明二項式定理的．”（2）數學的文化性，某一個命題或公式的發展完善，可能需要幾百甚至幾千年，從中既能看到不同時期數學的特點和局限，也能看到數學發展和人類文明的互動．

圖6 二項式定理數學文化題目

3.2.3 小結：在數學文化特有的溫度中感受精神

對于數學文化的融入，或許最自然的一種狀態是與知識的學習渾然一體．于是提出了“片段式”，無論是在一章的引言、小結，還是在知識的講解中，都能以這種方式融入數學文化．不過，這可能也是所有融入方式中難度最大的一種，特別是做到“渾然一體”．相比于之前教科書的“零星”狀態，“片段式”的融入方式已經在2019年版高中教科書占據了一定的比例，而且有一些片段融入質量頗高．例如在“復數”的章小結中，有這樣一段話：

在數學史上，從古希臘丟番圖時代人們求一元二次方程的解時發現復數問題開始，……再到18世紀末韋塞爾給出復數的集合表示，人們才開始接受復數，這是一個漫長而曲折的過程，其中充滿著數學家的想象力、創造力，表現了數學家不屈不撓、精益求精的精神．……顯示了人類理性思維的強大作用[9]．

這段話充滿了數學文化特有的情感溫度，能讓學生有一種情感上的認同感，復數概念的探索是漫長的，就如同自己的數學學習之路一樣；同時在這種情感認同與知識總結中，又能感受到數學家的精神和數學的理性精神．

3.2.4 短文：跨越古今領悟傳統之美

中國傳統數學源遠流長，有其自身特有的思想體系與發展途徑，也有其固有特色[10-26]，如構造性、機械化以及離散型的算學形式等[27]．由前面的數據分析可以看到，2019版高中教科書注重傳統數學文化的融入，有楊輝三角、高次方程算法、祖暅原理、秦九昭“三斜求積”“吳方法”“垛積術”以及各種古算題等，非常有利于實現教科書“培根鑄魂”的教育目標．其中，頗具特色的是一篇跨越古今的短文：坐標法與數學機械化[28]．

這篇短文通過“笛卡兒通過坐標法將幾何問題轉化為代數方程求解——萊布尼茨提出機器可以成為推理工具思想——王浩提出走向數學機械化——吳文俊提出機器證明的吳方法——吳方法與中國古代方程算法的淵源”，從歷史角度概述數學機械化發展的同時，聚焦于“吳方法”及其思想來源之一——中國古代解方程的計算方法，由今追古，讓學生領略到傳統數學的特色，又由古至今，讓學生看到這種特色帶來的啟示，以及由傳承而來的新發展．

4 結束語

從最初的一個提議到將數學文化作為一個教材編寫研究的主題，從一個個素材的選擇到數學文化融入教科書的理論框架初建，數學文化融入教科書的編寫研究雖已初具形態，從數據分析和案例分析可以看出，既實現了融入的整體分布，也實現了特色案例的融入．但是從起步到成熟，還需要未來持續的探索與研究，特別是高中教科書（2019版）數據分析中呈現出的一些問題，以及后繼教科書的使用跟蹤與調查，即課堂教學實踐數據的收集和分析等，都為未來數學文化融入教科書的編寫研究提供了方向和思路．

[1] 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（實驗）[M]．北京：人民教育出版社，2003：4．

[2] 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]．北京：人民教育出版社，2020：5．

[3] 人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心．普通高中課程標準實驗教科書數學（A版）[M]．北京：人民教育出版社，2004：整體引用．

[4] 人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心．義務教育教科書數學[M]．北京：人民教育出版社，2012：整體引用．

[5] 人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心．普通高中教科書數學（A版）[M]．北京：人民教育出版社，2019：整體引用．

[6] 徐利治．數學文化教養對人生的作用[J]．教育研究與評論（中學教育教學），2014（1）：5．

[7] 楊叔子．數學很重要 文化很重要 數學文化也很重要——打造文理交融的數學文化課程[J]．數學教育學報，2014，23（6）：6.

[8] 人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心．普通高中教科書數學選擇性必修第三冊（A版）[M]．北京：人民教育出版社，2020：35．

[9] 人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心．普通高中教科書數學必修第二冊（A版）[M]．北京：人民教育出版社，2019：93．

[10] 嚴卿，喻平．初中生邏輯推理能力的現狀調查[J]．數學教育學報，2021，30（1）：49-53．

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[13] 馬淑杰，張景斌．高中學生數學原有知識水平和學習認知負荷對數學課堂學習效率的影響研究[J]．數學教育學報，2021，30（2）：26-31．

[14] 伍春蘭．PDSA視域下基于教師學習的中學數學課例研修研究[J]．數學教育學報，2021，30（3）：78-82．

[15] 栗小妮，汪曉勤．HPM課例研究對教師MKT的影響[J]．數學教育學報，2021，30（3）：83-89．

[16] 李健，李海東．情境在現實問題解決中的作用——基于5套人教版初中數學教科書的縱向比較[J]．數學教育學報，2021，30（4）：30-34．

[17] 斯海霞，孔夢蝶，葉立軍．初中生活數學類拓展性課程課堂數學活動特征研究——基于名師教學視頻分析[J]．數學教育學報，2021，30（4）：35-40．

[18] 喻平，董林偉，郭慶松．中學生數學品格與價值觀的問卷設計[J]．數學教育學報，2021，30（4）：12-18．

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[21] 章飛，俞夢飛，顧繼玲．初中數學教科書中概念的呈現方式及一致性研究[J]．數學教育學報，2021，30（5）：21–27．

[22] 于文華，王光耀，蔡金法．基于BEA的個體問題解決干預有效性研究[J]．數學教育學報，2021，30（5）：28–32．

[23] 張龍軍，熊莉莉，張景中，等．教育數學在農村初中首輪實驗的探索與思考——“重建三角”在成都市青白江區祥福中學實驗分析[J]．數學教育學報，2021，30（5）：33–38．

[24] 王海青，曹廣福．從《原本》談中學平面幾何課題式教學研究[J]．數學教育學報，2021，30（5）：39–46．

[25] 崔志翔，楊作東．義務教育階段一個數學核心素養的評價框架[J]．數學教育學報，2021，30（5）：47–52．

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[27] 吳文俊．中國數學史大系（第一卷上古到西漢）[M]．北京：北京師范大學出版社，1998：1．

[28] 人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心．普通高中教科書數學必修第一冊（A版）[M]．北京：人民教育出版社，2019：89．

The Content and Method of Integrating Mathematical Culture into Middle School Textbooks

WANG Rong

(People’s Education Press Curriculum and Teaching Materials Research Institute, Beijing 100081, China)

The integration of mathematical culture into textbooks determines the realization of the objectives of mathematical culture curriculum and classroom teaching to a certain extent. After three editions of textbook compilation research, the theoretical framework for integrating mathematical culture into textbooks has been initially constructed: The contents of mathematical culture integrated in textbooks mainly include four categories: “formation and development of mathematics”, “contribution and significance of mathematics in human civilization”, “ humanistic value of mathematics” and “ mathematical achievements of the Chinese nation”. There are four main methods for integrating mathematical culture into textbooks: “fragment”, “marginal note”, “question” and “short essay”. Through data analysis and case analysis, it can be found that the 2019 edition of high school textbooks based on this theoretical framework has initially achieved a relatively balanced overall distribution of contents and methods, and paid special attention to the activity of mathematical culture learning, the emotional temperature of mathematical culture, and the characteristics of traditional mathematics.

mathematical culture; textbook integration; mathematical cultural integration contents; mathematical culture integration methods

方面．

G632

A

1004–9894（2022）01–0019–05

王嶸．數學文化融入中學教科書的內容與方法[J]．數學教育學報，2022，31（1）：19-23．

2021–11–04

教育部人文社會科學青年基金項目——我國中小學課堂教學質量評價模型的構建與應用研究（19YJC880145）

王嶸（1978—），女，河北邢臺人，副編審，碩士，主要從事數學課程教材教法研究．

[責任編校：周學智、張楠]