基于潛在類別分析的小學生早期代數思維水平研究

孫思雨，許添舒，孔企平

基于潛在類別分析的小學生早期代數思維水平研究

孫思雨，許添舒，孔企平

（華東師范大學 教師教育學院，上海 200062）

如何通過算術學習培養小學生的代數思維近些年受到數學教育研究者的關注．研究采用詹姆斯·J·卡普特（James J Kaput）的代數思維理論模型，通過對392名三～五年級小學生的抽象算術、函數思維和數量關系3方面進行調查，利用潛在類別分析（LCA）對學生的答題情況進行分類，研究結果顯示：學生的早期代數思維從低到高依次劃分為“算術思維、具體的代數思維、一般化的代數思維和符號代數思維”．隨著早期代數思維的發展，學生的一般化能力和符號化水平逐漸提高．教師應在算術教學過程中培養學生對“相等”的認識，讓學生經歷從特殊到一般的過程、鼓勵多元表征等活動．

早期代數；代數思維；符號意識；小學生；潛在類別分析

1 問題提出

數學學習是發展兒童抽象、推理和建模等能力的重要載體，是培養學生用數學的眼光看待世界的重要途徑[1]．隨著課程改革的不斷深入，人們對于兒童數學思維的發展也越來越關注．“算術”一直在小學數學課程內容中占有重要的地位，如何挖掘算術學習背后蘊含的數學思想？這是值得思考的話題．其實，算術的學習不僅僅要培養學生熟練的計算技能，更要提供發展學生數學抽象與概括，論證與表征的機會．

國際上小學數學改革反映出這樣一個趨勢：“小學學習算術，初中再學習代數”的課程設計體系逐漸被改變，代數思維的滲透應該從小學甚至幼兒園開始[2]．隨著研究的不斷積累，這類研究成為了一個單獨的數學教育領域，被稱作“早期代數”．在ICME-13專門針對“早期代數”的小組報告會議集中，卡羅琳·基蘭（Carolyn Kieran）等人曾對早期代數研究進行總結：“早期代數的研究目前主要關注于6～12歲的兒童在構建數學關系、模式和算術結構時所使用的推理過程，比如注意（noticing）、猜測（conjecturing）、概括（generalizing）、表征（representing）和論證（justifying）．”[2]

雖然中國不提“早期代數”，但是在課程標準和教學實踐中都已滲透了早期代數思維培養的思想．例如：《義務教育數學課程標準（2011年版）》在課程基本理念中就明確指出：“學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等過程．”[3]同時，“符號意識”也包含了“理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性”[5]．除此之外，蔡金法曾對中美的小學數學課程進行比較，發現中國的小學數學課程對于代數思維的處理有三大特點：第一，小學算術中互逆運算同時出現；第二，解應用題時要求學生同時使用代數和算術方法；第三，教材中等式的設計有助于學生對于“等號”的理解[4]．這都表明中國的小學數學課程為學生代數思維的發展提供了基礎．

目前，中國對于小學生早期代數思維的研究基本圍繞概念介紹[5]、教學設計[6]等內容，對學生代數思維水平發展的研究較少．對學生思維發展的研究有助于教師進一步理解學生、同時可以針對性地進行教學設計．因此，研究提出以下兩個研究問題：（1）小學生的早期代數思維可以劃分為幾個水平？（2）每個水平具有什么樣的思維特征？

2 文獻綜述

如果想要對學生的早期代數思維進行調查，首先需要對早期代數思維的內涵進行界定，其次是對早期代數思維的測量工具進行設計．因此，這里主要對早期代數思維的內涵和早期代數思維測量進行文獻綜述．

2.1 早期代數思維的內涵

許多人把代數思維僅僅看作利用技巧進行方程的求解，化簡和求值，其實代數思維不僅僅是會處理這些代數運算，更重要的是在數學學習過程中具有一般化、建模、數學概括等思維能力．詹姆斯·J·卡普特（James J. Kaput）較早對早期代數研究進行探索，他認為代數主要包含兩個核心方面．第一，能夠運用越來越正式和傳統的符號系統進行概括和表達一般化的結論．第二，能夠對規范嚴格語法（syntax）進行操作．隨后，卡普特提出這兩個核心由3個方面（strands）體現出來：（1）代數是研究從算術和量化推理（quantitative reasoning）中抽象出來的結構和系統；（2）代數研究函數、關系（relations）和協同變化（joint variation）；（3）代數是用于表征純數學情境和現實情境的模型語言[7]．

瑪麗亞·布蘭頓（Maria Blanton）等人就是繼承了詹姆斯·J·卡普特的代數理念展開相關早期代數思維的研究．他們的項目LEAP（Learning Through an Early Algebra Progression，簡稱LEAP）由TERC、威斯康辛麥迪遜大學等機構的研究成員和眾多實驗學校構成，在早期代數的研究領域具有比較大的影響力．他們將“一般化（generalization）”作為早期代數思維的核心，并且認為早期代數就是指學生在小學階段對數學結構和關系進行概括（generalizing）、表征（representing）、論證（justifying）和推理（reasoning）的過程[8]．與之類似的，安娜·史蒂芬（Ana Stephen）對小學和初中代數思維的研究進行綜述，她認為目前的研究主要圍繞在“抽象算術（generalized arithmetic）、函數思維（functional thinking）、數量推理（quantitative reasoning）”3類數學內容，以及“概括（generalizing）、推理（reasoning）、表征（representing）和論證（justifying）”4種思維過程[9]．

綜上所述，早期代數思維包含了學生在對數學結構和關系進行概括時經歷的一系列思維過程，它是指兒童能夠歸納概括出一般化的算式結構、變化規律和數量關系，并且能運用符號來表征和推理論證一般化的結論．它的核心是學生在算術學習過程中培養出來的一般化能力．同時，任何思維的發展都無法脫離知識作為載體，早期代數思維的發展主要有“抽象算術”“函數思維”和“數量推理”3條知識路徑．

2.2 早期代數思維的測量

早期代數思維測試主要分為兩類，第一類是單獨針對抽象算術、函數思維或者數量推理的測試，第二類是對于早期代數思維進行比較全面的測試，同時包含了至少兩個內容的測試．由于早期代數的研究還處在初期階段，大多數研究內容是圍繞著它的內涵、課程與教學設計等，因此大規模的測量研究還較少．

與函數思維和數量推理相比，抽象算術的測試卷發展較為成熟，比如帕西佛·馬修斯（Percival G Matthews）等人根據前人對兒童認識“等量關系”的認知水平劃分，開發出了一套較為全面的測量兒童對于“等式”認識的測試[10]．他們對224名二～六年級的學生進行調查，最后形成了一套包含3種類型、27個題目的測試卷．除此之外，關系性思維的測量也是抽象算術中非常重要的一個方面，并且已經被應用到中國小學生和初中生早期代數思維的測量中來[11]．與抽象算術相比，函數思維和數量推理的測試還未有大規模的測量研究，這些題目比較多地被用于小規模的課堂與教學干預測驗當中．

隨著早期代數研究的不斷發展，近些年逐漸有一些研究者開始開發內容覆蓋比較全面的測試卷．在內容結構方面，都是使用卡普特提出的“抽象算術、函數思維和建模”作為理論模型，但是每個維度測試的具體數學知識存在差異．比如瑪麗亞·布蘭頓等人開發出一套包含11道題目的測試學生早期代數思維的測試卷，用來檢驗早期代數教學干預前后的學生能力變化，他們將測試內容分為“等式、表達式、不等式，抽象算術，變量，函數思維，比例推理”5個方面[12]．羅爾斯頓·C·尼科爾（Nicole C Ralston）等人通過專家驗證、學生測試與深度訪談等4輪修訂開發出AAT（Assessment of Algebraic Thinking）．通過對美國華盛頓地區的學生分層抽樣得到的397名一～五年級的學生進行測試，得出這是一套信效度良好的早期代數測試卷[13]．該測試卷一共包含25道測試題，涉及建模、抽象算術、函數3塊數學內容．除了國外的一些研究，國內也有關于符號意識的測量研究，比如，朱立明的博士論文開發了適合中國義務教育階段學生的符號意識的測試卷，該測試卷中也包含了許多概括規律、理解變量等一些了內容的測試題[14]．

3 研究方法與過程

研究采用了混合研究的研究范式，其中既包含用數學測試卷對學生的早期代數思維進行調查，還包含對個案進行單獨的半結構化訪談．整個研究過程主要包含了以下4個環節（如圖1）．

圖1 研究流程

3.1 研究對象

由于早期代數思維的測試需要學生具有較高的抽象思維水平，結合課程標準對小學生的能力要求以及學生的現實水平，研究選取三～五年級的學生進行測試．該次測試選擇上海地區的兩所小學進行數據收集，按照學生平時的數學成績進行整班分層抽樣，盡量保證測試能夠涵蓋不同能力水平的學生．一共收集到392名學生的測試卷，其中三年級189人，四年級126人，五年級77人．測試卷的完成時間為40分鐘，考試過程中由各班的數學教師或者班主任監督考試，以保證試卷的完成質量．

個案是根據對學生的早期代數測試卷結果進行分析之后選擇出來，為了使個案具有代表性，以及保證數據的豐富度和有效性，主要依據以下3個原則挑選：（1）要包括不同思維水平的學生都；（2）答題策略較為豐富，或者是某一個策略特別獨特；（3）書面體現出較強的表達能力．

3.2 測量工具的編制

測試卷中數學題目的確立經歷了兩個階段．首先，如果要保證試卷具有較高的效度需要有清晰的理論框架．結合上文對于早期代數研究的介紹，研究的早期代數思維測量工具主要改編自詹姆斯·J·卡普特早期代數理論框架編制[12]，并結合中國《義務教育數學課程標準（2011年版）》對學生提出的能力要求進行難度調整，具體內容如表1．

表1 早期代數思維測試內容框架

結合表1中的3個主題和不同內容維度，查找相應的數學測試卷，形成試題庫．例如，帕西佛·馬修斯（Percival G. Matthews）開發的關于“理解相等”的測試卷已經經過了大樣本的項目檢驗，試題比較成熟，并且被許多研究者所使用，因此馬修斯的測試題便會被選擇進入到“抽象算術”主題中的試題庫．同樣，“桌子與人數”這個問題情境被許多研究者使用分析學生的函數思維，因此這個問題被歸類到“函數思維”試題庫當中．根據這樣的文獻檢索建立題庫的過程，最后形成了具有16道測試題的早期代數思維測試卷初稿．

第二個階段是檢驗專家效度，也就是測試卷的內容效度．研究一共向6位專家放發了“早期代數思維測試專家問卷”，6位專家包括兩位小學數學教育專家、兩位數學教育博士研究生及兩位教齡超過10年的優秀教師，數據結果計算的內容效度指標（）為0.92，這表明測試卷題目的設計具有較高的專家效度．最終根據專家的意見對試卷的題目進行調整，形成了一套具有12道測試題的早期代數測試卷．

3.3 數據編碼與分析

3.3.1 數據編碼

為了更好地反映出學生的早期代數思維，研究中的測試題均采用雙重編碼．學生所有的答題情況都會按照“是否正確”和“答題策略使用”兩個方面進行編碼．回答正確編碼為1，錯誤編碼為0．除此之外，根據每個題目具體答題策略情況，會按照1～4進行等級編碼．下面主要對學生策略的等級編碼進行介紹．

第1～6題是測量學生的“抽象算術”．抽象算術與一般算術的差異體現在，一般的算術題主要要求學生根據具體的數值正確地計算出結果，是一種程序性思維．而抽象算術反映出一種“結構化思維”，或者是稱作“關系性思維”，這是指學生不僅僅關注到具體的數值，而是能夠發現算式隱含的數學結構[15]．比如，第1題（如圖2），處在計算性思維的兒童只能夠通過計算67+86=153，68+85=153從而得到相等．但是具有“關系性思維”的兒童可以通過“68比67多1，85比86少1”從而得到等式相等．因此，這道題目一共分為了4個等級：如果完全空白或者（1）選擇“錯誤”得0分；如果（1）選擇“正確”，但是理由空白或錯誤得1分；如果（1）正確，但是理由是計算67+86=153，68+85=153得2分；如果通過關系性思維判斷出等式相等則得3分．同理，第2～6題都是按照學生不同層次的思維水平進行編碼．

圖2 早期代數思維測試卷第1題

第7題、第11題和第12題是考察學生的函數思維．函數思維主要是要求在存在規律的問題中找到自變量與因變量之間的對應關系．以第7題（圖3）為例，如果學生可以正確畫出第4個圖形，表明他可以找到規律．當學生可以找到第20個圖形時，表明學生可以找到圖形位置與小方塊個數之間的關系．因此，這道題目也是分為了4個水平：完全空白的學生得0分；只完成（1）的學生得1分；正確完成（1），并且在第二問的算式中體現出找到了“后面比前面一個多3”的遞歸規律，但是答案錯誤的得2分，比如有些學生的算式是“5+3×19=65”；最后一類學生是全部回答正確，比如：5+(20-1)×3=62，或者3×20+2=62會得到3分．

圖3 早期代數測試卷第7題

第8～10題是測量學生的數量推理能力（如圖4），要求學生能夠在沒有具體數值的情境中表達不同數量之間的關系．考慮三～四年級學生很難用字母表示關系，這3道題目采用了選擇題的方式，并采用二分的計分方式，錯誤得0分，正確得1分．

圖4 早期代數測試卷第8題

由于測試題的編碼采取了等級評分，因此需要對評分標準進行評分者一致性的檢驗．研究隨機選擇樣本中10%的數據，兩位評分者根據同一張評分標準進行打分（排除掉第8～10題，這3道題為客觀題），結果顯示兩者的相關性在0.924**到1**之間，這表明該評分標準具有較高的信度．

3.3.2 數據分析

在進行正式的分析之前，研究對原始數據進行了轉化．由于不同題目學生的等級不同，因此得分不同．第1～6題為抽象算術的題目，得分均為0～3分．第8～10題為數量關系的題目，得分為0或1．最后為函數思維的題目，第7、11題為0～3分，第12題為0～4分．因此，抽象算術總分18分，數量關系總分3分，函數思維總分10分．為了使不同類型題目的平均分具有可比性，對學生的原始分數進行處理，每道題目的原始分均除以該題的最高分，得到該題的最終得分．

研究主要運用了潛在類別分析的（latent class analysis, LCA）方法對數據進行分析．潛在類別分析是一種基于個體為中心的研究方法，近些年已經逐漸運用到心理學和教育學的研究當中[16]．該方法通過對學生的行為或者答題表現分析，獲得潛在類別的具體外顯特征，從而將個體分為不同的類別，便于研究者進行進一步的分析．這種方法的優點在于可以更好地將學生劃分為不同表現群體，從而理解不同學生在數學內容上的表現特征．研究通過潛在類別分析方法，將在相同題目上具有類似表現的學生歸為一類．隨后，可進一步通過描述統計分析等方法對同類學生的表現進行質性分析，從而了解小學生早期代數思維的不同類別．研究利用Mplus8.0進行探索性潛在類別分析，并進一步利用SPSS23.0對同類學生的答題表現進行描述統計分析．

4 研究結果

4.1 早期代數思維測試卷質量分析

測試卷一共包含12個題目，它們都是用來測量學生的早期代數思維，因此對整張試卷進行內部一致性檢驗，結果顯示Cronbach’s=0.839，大于0.8，表明信度良好．除此之外，還利用經典測量理論對試卷每道題目的難度和區分度進行分析，難度系數是按照該題答對的人數與全體人數的比值，區分度則通過總分表現前27%和后27%的學生在該題上的通過率之差（鑒別度指數）表示（見表2），試卷的平均難度為0.52，區分度為0.55，表明該試卷具有較好的區分性和適中的難度．

表2 早期代數思維測試卷難度和區分度分析

4.2 學生早期代數思維水平劃分

潛在類別分析方法一般從初始模型開始，假定所有樣本只存在一種類別，即所有學生都屬于一類，然后逐步增加模型中的類別數目，直到找到擬合數據最好的模型．模型的適配檢驗方法主要有Pearson卡方檢驗和似然比卡方G2（LL）檢驗，以及信息評價指標、和樣本矯正的（sample size-adjusted）．目前對于模型選擇并沒有達到統一的標準．通常而言，、和這3個統計量越小越好，和是否顯著則表明了第類模型是優于-1個模型．則表示分類的準確性，的范圍是0～1，越接近1越好，當>0.6時，表明分類的準確性在80%以上，如果<0.6則表明有超過20%的個體存在分類錯誤[17]．

研究分別抽取了1～6個潛在類別模型，表示將學生分為1～6類，6種模型的擬合參數具體見表2．從表3中可以看到，從上到下依次減少，在3類時最小，逐漸減少．由于模型的選擇沒有統一的標準，最終選擇主要依賴于數據的可解釋度．根據表3中的擬合參數可以看出，研究的樣本可以在分3類、4類和5類中進行選擇．通過對學生分成3至5類后的表現進行分析，發現分成4類后學生答題特點較為清晰，>0.7表明準確性超過80%，和均顯著表明分為4類是明顯優于分為3類的模型．根據學生的答題表現，依次命名為：算術思維、具體的代數思維、一般化代數思維、符號代數思維．

表3 小學生早期代數思維潛在類別分析模型比較

注：為自由估計的參數數目，*<0.05，**<0.01．

4.3 不同類別學生早期代數思維表現

4.3.1 不同類別學生整體答題表現分析

通過潛在類別分析，這里將學生分為了4類，通過對4類學生的答題表現進行分析，研究將學生的類別分為：算術思維、具體的代數思維、一般化代數思維、符號代數思維．人數分別是105人、136人、114人和37人．圖5是4個類別的學生在抽象算術（generalized arithmetic，GA）、函數思維（functional thinking，FT）和數量關系（quantitative reasoning，QR）3個方面的答題平均分．從“算術思維”到“符號代數思維”，學生在3個方面的平均分依次增高．同時，學生抽象算術的發展一般好于函數思維和數量關系．

4.3.2 算術思維學生特征

算術思維學生只能夠對具體的數值進行計算，無法對未知量進行運算，同時也無法理解字母表示數，更加無法理解字母表示變量．以第1題為例，他們只能通過計算等式兩邊的和來驗證等式成立，盡管題目中要求“不計算”．圖6是對C2-26號學生的答題情況，研究者對她進行了進一步訪談，F表示訪談者，S表示學生．

圖5 不同類別學生在各個方面的答題平均分

圖6 C2-26算術思維答題情況

F：這個第一題你是怎么想的？你覺得有等號的式子一定是相等的嗎？

S：（思考了一會）也不一定，像我們平時做一些判斷題，也可以是錯誤的．

F：那你這里寫的是什么意思？而且你勾選了“錯誤”．

S：我當時不會判斷，因為它題目說“不計算”．

F：那你知道這個式子是什么意思嗎？如果讓你計算，你會判斷嗎？

S：我會的，那很簡單，我口算就可以了．

F：那你試試看？

S：67加86是153，右邊是68加85是153，所以是相等的．那我寫錯了……

處在算術思維的學生基本無法完成第8～10題（如圖4），因為他們不知道題目里的字母表示什么含義．同樣，對于函數思維的題目也基本無法完成，或者只能找到“后面比前面一個多3”的遞歸規律，但無法求出“較遠項”，比如第20個圖形有幾個小方塊．

4.3.3 具體的代數思維學生特征

與“算術思維”的學生相比，“具體的代數思維”學生具有以下3個特點：第一，他們可以通過“關系性思維”來判斷等式成立；第二，能夠通過“試誤法”來求解出等式中的未知量；第三，能夠在函數思維的題目中發現“增加1張桌子，就增加3個人”的共變規律，但是只能對具體的項計算，無法概括到一般化．圖7是D4-20的一位“具體的代數思維”學生第1題和第3題的解答過程：該學生只能通過嘗試不同值（“試誤法”）來找到☆的值，還無法運用“逆運算”或者“兩邊各去掉一顆星”來求得“五角星”的值．但是她的第一題并沒有具體計算等式兩邊的和，而是通過“關系性思維”判斷等式相等，這說明她已經具有了初步的代數思維．

圖7 D4-20“具體的代數思維”第1題和第3題答題情況

這類學生能夠對有限的例子進行推理，但是無法概括到一般化，也無法用字母來表征概括出的規律．例如，圖8是D3-6學生在第5題和第6題的答題情況．第5題中可以正確完成前兩題，但是當出現時無法進行解答．同樣，第6題中可以找出具有相同規律的特例，但是無法用語言或者字母符號表征出一般化的規律．總結來說，這類學生已經具有了初步的代數思維，但是僅能夠對具體的例子進行推理，無法概括到一般化，因此稱作“具體的代數思維”．

4.3.4 一般化代數思維學生特征

與“具體的代數思維”學生相比，“一般化代數思維學生”表現在：（1）能夠運用逆運算或等式的基本性質求解未知數（如圖9）；（2）能夠對算式結構等概括到一般化，但不能用字母符號準確表達；（3）能夠用具體的數值代替題目中抽象的符號進行推理．

處在這個思維的學生雖然可以找到規律，但是由于還沒辦法運用字母符號進行概括表征，只能通過畫圖或者表格的方式來呈現規律．如圖10是C2-4“一般化代數思維”學生第12題的答題情況，以下是對他的訪談．

F：你這個第20個是怎么想到的？

S：我發現人數每次增加3，然后就依次加3，就得到了62．

F：那如果是第張桌子，你知道是什么意思嗎？

S：表示無數張嗎？

F：就是告訴你任意一個桌子數，你能知道小朋友的人數嗎？

S：如果是太多的話，一直加3，我就不知道該是多少人數了，個人？

F：為什么是個人？

S：因為張桌子說明很多人，無窮多的桌子就是無窮多人．

F：那你覺得和“-1”，誰大？

S：一個數無窮大之后就沒有辦法比較了．

圖8 D3-6“具體的代數思維”第5題和第6題答題情況

圖9 D4-36“一般化代數思維”第3題答題情況

圖10 C2-4“一般化代數思維”第12題答題情況

4.3.5 符號代數思維學生特征

雖然廣義的符號包含文字、圖表等形式，但這里的符號主要指學生已經會用“字母”這種最為簡潔的形式化符號進行推理．符號代數思維學生已經可以熟練地運用字母符號進行抽象地推理和概括規律，并且可以理解字母表示變量．圖11是D2-19號“符號代數思維”在數量關系和函數思維題目上的答題．

圖11 D2-19“符號代數思維”第10題和第11題答題情況

符號代數思維就已經屬于較高水平的代數思維，學生能夠對字母進行運算，并且用字母進行數量與函數關系的推理．處在這個思維水平的在抽象算術的問題中可以靈活運用“關系性思維”，利用等式的基本性質解決未知數，以及用字母來概括算式結構和規律．對于函數思維的題目也可以找到“遠項”的求解（如圖12）．

圖12 “符號代數思維”第12題答題情況

5 討論與結論

研究主要是為了了解小學生早期代數思維的不同發展水平，并且分析不同發展水平的學生具有怎樣的外在表現特征．針對研究問題，研究利用了潛在類別分析的方法對三～五年級的小學生早期代數思維進行劃分，根據學生的答題表現將其分為算術思維、具體的代數思維、一般化的代數思維和符號代數思維4種類型的學生，研究得到以下發現．

第一，隨著學生早期代數思維發展，概括化和符號化程度逐漸提高，且概括能力的發展先于符號意識．代數思維發展較好的學生也擁有更高的概括能力，這表現在他們能夠發現和歸納出算式結構和圖形規律等，但是，學生在概括時所用的符號方式并不嚴謹，例如，用表格或自然語言等非正式符號來表征所發現的結構和規律．代數思維的特點之一是“能夠運用越來越正式和傳統的符號系統進行概括和表達一般化的結論”[7]．通過學生的答題表現發現，越是代數思維發展好的學生越能夠選擇正式的字母符號進行表征．雖然許多早期代數研究者也并不強調學生要用正式的代數符號來進行推理論證[18]，但代數思維的發展與符號意識息息相關，早期代數思維的培養應該注重發展學生的表征能力，鼓勵學生用自己的方式來表征，例如，讓學生用表格、線段圖、畫圖等方式來表征規律和關系．

第二，函數思維發展晚于數量關系和抽象算術，并且學生在抽象算術方面發展突出．隨著代數思維的不斷提升，學生能夠通過關系性思維、逆運算、等式的基本性質等方法求解等式中的未知量．在目前的小學數學課程里，五年級才開始學習方程和等式的基本性質．實際上，小學生從一年級學習計算時就已經開始發展對于“等式”的理解．因此，小學低年級的算術教學不應僅僅圍繞對具體的數字進行操作性的計算，而是要加深學生對于“相等”的理解．“等號”不僅僅是表示計算結果的輸出，而是表示兩邊相等．學生理解“相等”應該是從學習算術之初就開始，貫穿于整個數學學習的過程．與抽象算術相比，學生函數思維的發展較為落后，調查發現，與求解等式中的未知數、對數量關系進行推理相比，理解變量是更為困難的．這與許多之前字母表示數的研究相符[19]．這對字母表示數的學習提供了認知基礎，教師可以按照“字母表示未知數”“字母表示一類數”“字母表示數量關系”和“字母表示通項”的順序進行教學安排．這樣的設計會更加符合學生的認知規律，更有利于學生接受字母表示數這種抽象的數學語言．

通過與國外學生早期代數思維發展研究相比[20]，中國學生在“抽象算術”和“數量關系”兩個方面表現突出，尤其體現在對于等號的理解、對于數量關系的概括兩個方面．但是，這并不意味著中國的學生在“理解相等”或“數量關系”方面不存在困難，由于研究選擇的調查樣本為三～五年級的學生，而學生對于“等號”的理解等內容在中國一年級的課程中便有涉及，因此今后的研究可以進一步關注低年級兒童的早期代數思維發展．其次，研究對早期代數思維的關注有助于豐富小學算術課程的內涵，從“一般化”和“符號化”的視角理解算術課程可以改善教師在算術教學中“重技能而輕算理”的現象，將算術學習與“符號意識”與“模型思想”的發展聯系起來，促進學生抽象與概括能力發展．最后，研究將心理學中的方法運用到學生數學思維的分析當中，豐富了對于兒童數學思維的研究，幫助教師更好地理解學生代數思維的發展路徑，從而設計符合學生認知發展的課堂教學．

[1] 史寧中，林玉慈，陶劍，等．關于高中數學教育中的數學核心素養——史寧中教授訪談之七[J]．課程·教材·教法，2017，37（4）：8-14．

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Research on the Early Algebraic Thinking Level of Elementary School Students Based on Latent Class Analysis

SUN Si-yu, XU Tian-shu, KONG Qi-ping

(The College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

In recent years, how to cultivate the algebraic thinking of elementary school students through arithmetic learning has attracted the attention of mathematics education researchers. This study adopts the algebraic thinking theoretical framework of James J Kaput, and investigates the generalized arithmetic, functional thinking and quantitative reasoning of 392 elementary school students in grades 3 to 5. The students’ responses were classified by latent class analysis (LCA). The results show that students’ early algebraic thinking can be categorized into “arithmetic thinking, concrete algebraic thinking, generalized algebraic thinking and symbolic algebraic thinking” from low to high. With the development of early algebraic thinking, students’ generalization ability and symbolization level improve gradually. Teachers should cultivate students’ understanding of “equivalence” in the process of arithmetic teaching, allow students to experience the process from special to general, and encourage multiple representations and other activities.

early algebra; algebraic thinking; symbol awareness; elementary school students; latent class analysis

G623.5

A

1004–9894（2022）01–0052–07

孫思雨，許添舒，孔企平．基于潛在類別分析的小學生早期代數思維水平研究[J]．數學教育學報，2022，31（1）：52-58．

2021–10–05

上海高校“立德樹人”人文社會科學重點基地“上海基礎教育教材建設”項目——數學新編教材與核心素養的一致性研究（14800-412224- 20A07/005）

孫思雨（1992—），女，河南安陽人，博士生，主要從事小學數學課程與教學研究．

[責任編校：張楠、陳漢君]