“統計與概率”在小學數學教材中的編排分析

唐佳麗，李 勇

“統計與概率”在小學數學教材中的編排分析

唐佳麗1，李 勇2

（1．華東師范大學 數學科學學院，上海 200241；2．首都師范大學 數學科學學院，北京 100048）

以“內容分布、素材選擇、編寫呈現、圖表分布”為分析框架，研究小學數學“統計與概率”的編排情況．內容分布的特點是以統計為主、概率為輔，年級貫穿且交替編排；對學生統計活動的訓練連貫且大致呈正態分布；素材以生活學習為主，呈現方式豐富，編寫上圍繞問題展開探究活動，符合學生的心理特點；圖表可作為廣泛散布在教材中的隱性元素輔助統計與概率的教學．要注意加強統計與概率的聯系形成整體觀，加強“統計與概率”和其它3個領域的聯系形成全局觀，把握教材的層次與脈絡，突出問題驅動的統計與概率的教學．

統計與概率；統計思維；教材編寫；文本分析

1 問題提出

教材建設是教育改革的重要組成部分，小學數學教材是在《全日制義務教育數學課程標準》的指導下編制的，是教師理解教學內容和反映學生思維水平的重要材料，教材的編排質量也直接影響教學的質量．《義務教育數學課程標準（2011年版）》（下稱《課程標準》）中指出“統計與概率”與“數與代數”“圖形與幾何”“綜合與實踐”構成了小學數學的4個學習領域，突出了“統計與概率”的地位，也引起越來越多教育研究者對這一領域的關注．內容研究方面，劉久成梳理了1949年以來中國小學統計教學的3個階段的不同特點，指出新世紀初的特點是注重數據觀念的培養[1]；藺云從哲學和文化的視角探析概率統計課的獨特的“育人功能”[2]；曹廣福等人分析了中學數學中的統計內容，并提出教學上先后順序的建議[3]；凌曉牧等談論了義務教育階段統計知識的內容定位和教材實施，提出教材中的統計圖表應與時俱進[4]；劉曌等人對小學數學統計與概率進行了國際比較[5-6]；教學研究方面，李化俠等人剖析了小學統計思維的內涵及重要性，得到統計思維的測評指標[7-8]，閆炳霞指出“統計與概率”的教學難度較大[9]，高海燕等指出義務教育階段統計與概率的研究重研教，輕研學、研評[10]；教材研究方面，劉福林采用實證方法研究了教材的使用，指出教材的編排應以發展學生數據觀念為出發點[11]．

對相關文獻的查閱與整理發現，目前關于統計與概率的研究中，內容、教學的研究居多，教材、評價研究較少；方法的使用中，質性方法偏多，量化研究較少，關于小學數學教材“統計與概率”的教材文本編排研究更是缺乏．綜合“統計與概率”難教難學、教材的重要作用及缺乏教材文本分析的研究等諸多原因，對小學數學“統計與概率”的編排進行研究顯得尤為重要．

2 研究設計

主要采用文本分析的方法對現行部編人教版小學數學教材（一年級為2012年版，二～六年級為2013年版，共12冊）進行定量統計和定性分析，明晰“統計與概率”相關內容的素材選取及編排組織，呈現相關內容的分布特點，根據研究的實際呈現結果為相關內容的教材編排和教學提出合理可行的建議．

3 分析框架

確定研究問題、對象、方法后，通過對教材內容的查閱與初步整理，擬定“內容分布—素材選擇—編寫呈現—圖表分布”為分析框架進行探析．

3.1 內容分布

對現行人教版小學數學一～六年級教材中“統計與概率”的內容進行統計，根據內容的特點和關聯性將其分為明顯內容和相關內容．明顯內容為教材中較為明顯的統計與概率內容，如統計圖、表、平均數、可能性等內容；相關內容為與明顯內容的關聯性較強，或含有較濃厚的統計意義的內容．如“認識圖形”章節是初步對圖形進行分類訓練，這是學習統計的必要階段；“觀察物體”首次出現了讓學生用“可能”描述不確定的多種可能結果，“數學廣角—搭配”進行兩個數的和為某一數的搭配訓練，為“可能性”的學習做鋪墊；三上“數學廣角—集合”在統計結果的基礎上借助韋恩圖進行分類整理和直觀呈現；分數是后續學習概率的重要基礎；“大數的認識”中的“大數”及“百分數”含有較濃厚經驗的成分，是較為明顯的統計推斷的結果．將這些內容納入概率與統計內容的統計，有助于總體把握統計與內容的編排分布，結果見表1．

從表1可以看出，小學階段“統計與概率”的內容以統計為主、概率為輔，年級貫穿且交替編排．相關內容與明顯內容協同配合，概率內容與統計內容相互作用，使統計與概率的內容在小學階段同條共貫，能增強模塊知識的整體性和連續性，這符合《課程標準》里的內容標準，也能克服部分教師認為教材編排不夠連貫的問題[11]．《課程標準》指出，通過學習能讓學生“體會統計方法的意義，發展數據分析觀念，感受隨機現象”[12]，而觀念的形成、現象的感受、意義的體會非一朝一夕，需借助不同的內容載體循序漸進地養成和進行，相關內容成為了明顯內容的學習的銜接點，為學生的學習搭建腳手架．

為明晰這些內容的具體編排目的，根據統計知識的特點，將表1所列內容（包含對應章節的練習）進一步細分為收集數據、整理數據、描述數據、分析數據4類過程．其中，整理數據指將收集的數據進行分類、計數、求頻率等，描述數據指運用統計圖、表對數據進行呈現、描述；分析數據指需要分析數據的運動變化趨勢，相關知識點為平均數、最大值、最小值等．表2、圖1為統計概率內容所包含過程的統計結果．

表1 統計與概率內容的年級分布

注：正體的部分是統計與概率的明顯內容，斜體的部分是與統計與概率關系密切的相關內容．

表2 教材“統計與概率”內容的過程類別統計

圖1 統計類別總數的年級分布

從統計過程類別看，表2所列內容包含的整理、描述、分析數據3類統計過程活動的數量大致相當，收集數據的次數約為其一半，即收集、整理、描述、分析數據的次數比約為1∶2∶2∶2．考慮到收集數據耗時，但又是學習統計與概率的重要內容，用相當數量的實踐讓學生體驗收集數據的過程既達到了訓練的目的，也考慮到了教學的實際情況．同時應注意不同年級的統計活動的要求具有層次性．如收集數據，低年級為普查數量小的總體，三年級下冊出現抽樣調查，且教材是直接指出了方法（有提示的抽樣）：請在三年級和五年級各選一個班……高年級抽樣則需要學生自己考慮，如調查學校一至六年級學生近視的情況……不同的學生采用的抽樣方法可能不用，從而培養收集“好數據”的意識．

從年級看（圖1），四年級是包含統計活動相對較多的一個年級，除一年級外其余年級的統計活動總數相差不大，總體而言，教材編排對學生統計活動的訓練連貫且大致呈正態分布．低年級側重整理數據的訓練，中年級較為兼顧并逐步向分析數據側重，高年級側重分析數據的訓練．從二年級下冊起，統計過程的類別開始豐富，統計活動逐步趨于完整，開始讓學生經歷統計活動的全部過程，這與史寧中提出的“統計與概率的教學要學生經歷統計的全過程”的理念[13]是一致的．

3.2 素材選擇

教材中“統計與概率”知識（表1）選擇的素材可分為學習生活和社會知識與常識兩類，學習生活指學生的學習生活環境中的素材，如學生的身高、體重、興趣、成績等，社會知識與常識指通過呈現或統計內容讓學生了解社會或其它學科的知識，如上海市人口、國家獲得金牌數、動物的平均壽命、空氣成分等．統計結果見圖2、圖3．

圖2 素材類別分布

圖2結果顯示，總體上教材有關內容主要選自學習生活的素材（約占82%）．低年級的素材全部取自學生的學習生活情境，三年級開始逐步利用社會知識與常識的素材向學生傳達必要的社會、學科知識，但素材還是以學習生活為主，高年級的學習生活和社會知識與常識的素材近乎平分秋色．低年級的學生關注身邊的事物，學習生活的素材能讓學生感受數學與生活的密切聯系，隨著年級的升高，社會知識與常識的材料能增進學生對社會的了解，拓寬視野．同時，這些素材也能成為小學生德育的良好途徑，滲透環保意識（水資源、土地資源素材等）、生活教育（作息時間、營養午餐搭配、近視調查等），培養愛國情懷（奧運獎牌獲得等）．

3.3 編寫呈現

概率與統計的思維方式不同，但在教材的編寫和呈現方式上大同小異．下以三年級下冊第三章“統計”的第一課時“復式表”為例詳細說明教材的編寫模式和呈現風格．

“復式表”這一課時由問題“你最喜歡下面哪種活動？”引出，提供“看書、看電視、踢足球、畫畫、玩電子游戲、跳繩”6種學生常見活動的實物圖片，并給出提示語提示學生統計本班同學活動喜好情況，體驗收集數據、整理數據（按性別分類）的過程．接著分別呈現兩個表格以描述男生、女生最喜歡的活動，并設置兩個問題“從上面表中，可以知道哪些信息？”“這兩個表有什么不同點？”第一個問題旨在訓練學生從表格獲取信息的能力，第二個問題則引導學生關注知識間的異同，在已有描述數據的基礎上再次整理，尋找更簡潔呈現信息的方法．從而引出復式表對兩組數據進行同時描述，便于比較．接著用3個問題承接復式表，一是訓練學生讀表的能力，二是感受復式表的優點．最后用“做一做——調查本班同學最喜歡下面哪種電視節目”幫助學生鞏固．“做一做”與探究的活動具有相同的結構，解決過程或方法可以模仿，也可以創新，這也為不用層次的學生提供了不同的發揮空間．

上述編排過程具有以下兩個特點：在教材呈現方面，教材采用豐富多彩的物圖來吸引學生注意，利用顏色來區分不同內容，引導學生觀察、整理、理解，同時充分利用必要的提示語和若干層次性的問題來推動學生思考；在編寫模式方面，教材采用了貼近學生生活的活動探究，搭配“做一做”鞏固問題解決的策略性知識[14]．整體編排大致為“問題情境—體驗探索—解釋、應用”的模式，注重過程的體驗與對方法的理解．美中不足的是未涉及拓展，比如可以在“做一做”的最后一問加上“你還可以用不同的分類進行統計嗎？”一來啟發學生思維，二來能對統計和復式表描述數據有更多的思考和理解．

3.4 圖表分布

圖表作為教材中編排統計與概率更為隱性和分散的元素，應當引起重視．圖表在日常生活中是十分重要且常見的信息整理、獲取方式．教材中的圖表同樣有記錄、整理、呈現及利用圖表進行描述、推斷的作用，每個圖表都隱含著學生不同程度的思維操作或實踐操作過程，故有必要對教材圖表進行統計，從而窺探教材對學生思維和實踐訓練的編排特點．下分表格和統計圖兩類進行統計分析，根據表格在小學數學教材中的呈現形式將表格分成普通表格、復式表格和物圖表格（指表格中含有實物圖片）．將統計圖分為條形圖、折線圖、扇形圖．圖4、圖5為統計結果．

圖4從整體上看，教材中含有數量較多的表格且隨著年級的增大，學生接觸的表格越來越多，在四年級的教材中表格出現的次數最多，而后又逐漸減少，六下的最后一章為整理與復習，里面為之前學過的內容，出現了較多表格．這與圖1表示的明顯內容和相關內容（合稱顯性內容）的統計類別總數的分布基本一致，故可以大致得到結論：從總體上，隱性元素表格隱含對學生的訓練與顯性內容相配合，基本保持一致．分類別看，普通表格在每冊都有出現，且在表格中所占比例最高；物圖表格在每個年級都有呈現，且在低年級占所在年級的比例相對較高，較符合低年級學生的特點；復式表格為三下的學習內容，出現在三～五年級，較好地進行了鞏固．

注：只有三年級下冊的一個復式表格同時是物圖表格，在統計中既算作復式表格，也算作了物圖表格．

圖5 統計圖的年級分布

圖5顯示了教材從四上開始正式學習統計圖，在此之前僅二上出現了一個條形圖，且不同統計圖在教材中的呈現具有不同特征，中低年級的統計圖相對單一，高年級的統計圖相對豐富．從作用看，呈現數據的統計圖比補全統計圖的數量多，且出現的年級更廣，而補全圖形僅出現在對應的年級章節里，說明教材對學生繪制統計圖的要求較低，更重視對統計圖的理解和對數據的分析、推斷．

進一步窺探圖表背后的統計活動和作用，將表格在教材中的作用分為收集數據、收集數據并求答、呈現信息、呈現信息并求答4類，其中收集數據并求答包括收集、整理、描述數據等活動；呈現信息并求答包含了獲取信息、整理或分析數據的活動．將圖表（包括統計圖和統計表）所在位置分整理與復習、練習、新授3類．其中整理與復習中的圖表主要用來整理所學知識；練習中主要用來呈現必要的題目背景或題目信息；新授中主要用來提供教學背景或教學信息．因復式表在教材出現較少，故表格按有無實物圖片分無物圖表格和物圖表格兩類進行統計．表3、圖6為相應的統計結果．

表3 表格作用的年級統計

注：六年級下冊第6章“整理與復習”里的所有圖表，均算作整理與復習．

圖6 各年級統計圖表的位置分布

由統計可知，更具直觀性的物圖表格主要出現在中低年級，符合學生特點．小學數學教材中的336個表格作用集中在呈現信息和呈現信息并求答．分別有135個無物圖表格（約40%）、21個物圖表格（約6%）用來呈現信息，共占比約46%，110個無物圖表格（約33%）和7個物圖表格（約2%）用來呈現信息并求答，共占比約35%．其余17%的表格用來收集數據，僅2%的表格用以收集數據并求答，且無收集數據并求答的物圖表格．說明教材中的表格主要是用來提高學生獲取信息的能力，兼顧鍛煉學生收集數據、整理數據、分析數據的能力，同時為學生整理、描述數據提供大量示范案例和練習．教材中的圖表主要集中在練習中，其次是新授、整理與復習中．一上和六下主要用于整理與復習，一上是讓學生大致感受圖表的好處，如整理加法公式時應盡量將公式擺得“有規律”；六下是整理知識，完善學生認知結構，其它年級主要用于練習和新授．教師在教學過程中應充分把握不同位置圖表的作用，在日常學習中滲透統計觀念，培養統計思維．

4 結論與討論

4.1 結論

（1）小學階段“統計與概率”的內容以統計為主、概率為輔，年級貫穿且交替編排，具有層次性．教材對學生統計活動的訓練編排較為連貫且大致呈年級正態分布．

（2）素材以生活學習為主，中高年級逐步增加社會知識與常識的素材，符合學生的發展規律．

（3）教材呈現方式豐富，編寫模式按“問題情境—體驗探索—解釋、應用”展開，重視學生活動體驗，但可根據內容適當增加拓展．

（4）教材中分散在各冊的圖表主要在練習和新授中，用來提高學生從圖表中獲取信息的能力，形成數據直覺．

4.2 討論

以聯系的觀點看待統計與概率的相關知識，這里包含了兩層含義．第一層含義，以聯系的觀點看待統計與概率，要有整體觀．一方面，概率是推斷統計的理論基礎．概率是在給定條件的情形下生成、研究數據；推斷統計則是根據已有的數據反向推測數據來自何種情形．另一方面，在教學中二者應相輔相成．概率的教學里含有豐富的統計活動，學習過程中讓學生獲得“嘗鼎一臠”的成就感，而統計的教學也包含對不確定性的感受，有“懸而未決”的緊張感，教學中可相互成就．第二層含義，以聯系的觀點看待“統計與概率”和其它3個領域的知識，要有全局觀．“統計與概率”的知識與“數與代數”“圖形與幾何”的知識有較大的區別，是“不確定性”的教學．一方面，從統計的角度看其它領域的知識，可以豐富知識的涵義．另一方面，在其它領域的知識學習中，融入統計與概率的活動和思想也是較為高明的選擇．

把握教材的層次與脈絡，促進統計思維的形成與發展．教材對不同內容的處理具有層次性，統計內容的整體脈絡為描述統計到推斷統計．相應在編排上，數據收集方法從普查、有提示的簡單抽樣到無提示的簡單抽樣；數據描述方式從表格（簡單、復式兩種）、條形圖（簡單、復式兩種）、折線圖（簡單、復式兩種）到扇形圖；數據分析從最多、最少的分析發展到用平均數代表總體、趨勢預測等．查其層次脈絡后，進一步思考為何如此．如整理數據時為何要分類，有何標準？其實分類的過程是對事物共性的抽象過程[12]，“區異求同，自然類成”．而分類的標準則是根據需要關注物體間某一“異”的數學屬性及其所有的取值[15]，周密思考．如關注三角形角的關系，可將三角形分成銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；關注三角形邊的關系，可將三角形分為普通三角形、等腰三角形、等邊三角形等．需要深入思考的問題還有很多，如為何要抽樣收集數據？怎樣抽樣更合理？眾多的圖表有何特征？如何合理選擇圖表描述數據？教師只有不斷地思考為何，才能精準把準知識背后的道理，才能在教學的細節中促成學生的統計思維．

注意素材的選擇與組織，突出問題驅動的概率統計教學．教材中“統計與概率”的編排采用問題引出的探究，較符合知識特點．但教材中收集數據的訓練大多是通過直接的指令，如調查本班最喜歡的電視節目、最喜歡什么交通工具等．關于為何調查教材提及較少，而為何統計是培養統計觀念和意識的關鍵一步，僅指令式的展開統計活動對學生是無益的．所以教師在處理教材時應當充分發揮學生的主觀能動性，將問題轉化為現實需要引發的統計活動的問題，引發學生自發收集相關數據以解決問題，如設置問題：“小明每天都跟姐姐抱怨家庭作業太多，要花兩個小時才能完成，如果你是小明的姐姐，你會怎么辦？”另外，教材中的生活素材是否能引起學生積極參與，是否能適應信息時代的要求，相同活動、不同程度的素材是否有利于學生對知識的認知，這都是可以進一步探究的方向．

“統計與概率”不僅是重要的數學學習內容，更重要的是它的思想早已應用在生活學習的方方面面，誠如C·R·勞所說：“在理性的基礎上，所有的判斷都是統計學．”[16]尤其隨著智能教育時代的到來，小學階段更應該關注對學生智慧的培養．讓學生有“窺一斑而知全豹”的意識和能力，是需要不懈努力的方向．

[1] 劉久成．小學統計教學六十年發展研究[J]．數學教育學報，2011，20（5）：28-31．

[2] 藺云．哲學與文化視角下概率統計課的育人功能[J]．數學教育學報，2002，11（2）：24-26，102．

[3] 曹廣福，張蜀青，羅荔齡．中學數學中統計內容的問題與建議[J]．數學教育學報，2018，27（6）：7-12．

[4] 凌曉牧，章飛．初中階段“統計與概率”課程內容的幾點建議與調查[J]．數學教育學報，2019，28（4）：77-80，98．

[5] 劉曌，楊光偉，唐恒鈞．中日兩國小學數學課程統計與概率的比較研究[J]．數學教育學報，2013，22（3）：63-66．

[6] 王建波，楊小麗．初中數學教材統計內容比較研究的幾點啟示[J]．中國數學教育，2017（17）：61-64．

[7] 李化俠，宋乃慶，楊濤，等．學習進階測評工具研發：以小學生統計思維為例[J]．華東師范大學學報（教育科學版），2020，38（4）：72-82．

[8] 李化俠，辛濤，宋乃慶，等．小學生統計思維測評模型構建[J]．教育研究與實驗，2018（2）：77-83．

[9] 閆炳霞．小學數學“統計與概率”教學中的問題研究[D]．重慶：西南大學，2007：40．

[10] 高海燕，鞏子坤．義務教育階段統計與概率教學研究的進展與問題[J]．數學教育學報，2010，19（3）：12-14．

[11] 劉福林．論小學生的數據分析觀念與統計內容的編排[J]．課程·教材·教法，2013，33（10）：41-46．

[12] 中華人民共和國教育部．全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M]．北京：北京師范大學出版社，2001：4-5．

[13] 史寧中，孔凡哲，秦德生，等．中小學統計及其課程教學設計——數學教育熱點問題系列訪談之二[J]．課程·教材·教法，2005，25（6）：45-50．

[14] 陸明明．數學教科書例題的分類及其教學建議[J]．數學教育學報，2018，27（2）：54-58，102．

[15] 鄭毓信．數學思維與小學數學[M]．南京：江蘇教育出版社，2008：34-41．

[16] 勞C R．統計與真理——怎樣運用偶然性[M]．北京：科學出版社，2004：中文出版說明．

Arrangement and Analysis of “Statistics and Probability” in Elementary Mathematics Textbooks

TANG Jia-li1, LI Yong2

(1. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. School of Mathematical Sciences, Capital Normal University, Beijing 100048, China)

Taking “content distribution, material selection, writing and presentation, and chart and table distribution” as the analysis framework, this article studies the arrangement of “statistics and probability” in elementary mathematics textbooks. Content distribution is characterized by mainly statistics supplemented by probability, across all grade levels and alternate arrangement; The training of students’ statistical activities in the textbooks is coherent and generally distributed normally; The materials mainly based on life and learning and are presented in a rich way; In the compilation, the inquiry activities are carried out around the problem, which is in line with the psychological characteristics of the students; Charts and tables can be used as implicit elements widely distributed in textbooks to assist the teaching of statistics and probability. It is necessary to strengthen the connection between statistics and probability to form a holistic view, strengthen the connection between “statistics and probability” and the other three fields to form a global view, grasp the level and arrangement of textbooks, and highlight the problem-driven teaching of statistics and probability.

statistics and probability; statistical thinking; textbook compiling; text analysis

G623.5

A

1004–9894（2022）01–0059–05

唐佳麗，李勇．“統計與概率”在小學數學教材中的編排分析[J]．數學教育學報，2022，31（1）：59-63．

2021–10–09

唐佳麗（1995—），女，湖南邵陽人，博士生，主要從事數學教育教學研究．

[責任編校：陳雋、陳漢君]