哲學視角下的微積分課程思政元素挖掘

■ 周海陽，馮 郁

（南京審計大學統計與數據科學學院，江蘇 南京 211815）

數學家波爾達斯說：“沒有哲學，難以得知數學的深度；沒有數學，也難以得知哲學的深度。”數學和哲學作為兩門最古老的學科，從古到今，兩者都是相互滲透，相互影響的。哲學指導和推進了數學的發展，為數學提供了研究方向；而數學同時也影響著哲學的觀點，豐富和發展了哲學的內容。微積分是高等數學中研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支[1]。恩格斯說：“微積分進入了數學，辯證法就進入了數學。”微積分的創立是人類數學史上的一次重要飛躍，其中很多概念和方法都蘊含著哲學思想，具有深刻的哲理。

一、微積分發展史中的哲學思想

微積分是財經類專業本科生的一門重要基礎課，是培養經濟類創新人才的重要課程。在高校雙一流建設的背景下，加強微積分課程建設既能夠為高校未來發展奠定堅實的基礎，也是實現培養創新人才目標的重要支撐。同時，為了實現中華民族偉大復興的中國夢，微積分教學還需要著眼于培養擁護中國共產黨領導和社會主義制度、立志為中國特色社會主義事業奮斗終生的有用人才。

課程思政是指以構建全員、全程、全課程育人格局的形式將各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協同效應，把立德樹人作為教育的根本任務的一種綜合教育理念[2]。那么如何順應時代要求，在微積分教學中挖掘課程思政元素呢？教師可以從哲學的角度，挖掘微積分課程思政元素，讓學生更好地理解所學知識，并具有一定的辯證思維能力，還可以結合中華優秀傳統文化教育，結合社會主義核心價值觀，培養學生健康的人格和正確的人生觀、價值觀、世界觀[3]。

微積分從產生，發展，再到完善，經過了漫長的時間，其中也伴隨著哲學思想的應用和體現。微積分最重要的思想就是“無限逼近”的極限思想，而極限思想早在中國古代就已經產生，如《莊子·天下篇》中所述“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”和劉徽在割圓術中提到的“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”都體現了極限思想的萌芽。

古希臘數學家阿基米德的“平衡法”，是“將需要求的未知量（面積、體積等）分成許多微小單元（如微小線段、薄片等），再用另一組微小單元（總和比較容易計算）來比較，但需要建立一個杠桿，使前后兩組獲得平衡”[4]，平衡法體現了近代積分法的基本思想。而在微分學中，羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理這三大微分中值定理，條件逐個削弱，體現了從特殊到一般的規律。

17世紀下半葉，牛頓和萊布尼茨在解決求面積、求切線的問題中先后創立了微積分基本公式，即牛頓-萊布尼茨公式。萊布尼茨與牛頓誰先發明微積分的爭論是數學界至今最大的公案。萊布尼茨于1684年發表第一篇微分論文，定義了微分概念，采用了微分符號dx，dy。1686年他又發表了積分論文，討論了微分與積分，使用了積分符號∫。依據萊布尼茨的筆記本，1675年11月11日他便已完成一套完整的微分學。然而1695年英國學者宣稱，微積分的發明權屬于牛頓；1699年又說，牛頓是微積分的“第一發明人”。1712年英國皇家學會成立了一個委員會調查此案，1713年初發布公告：“確認牛頓是微積分的第一發明人。”牛頓在1687年出版的《自然哲學的數學原理》的第一版和第二版寫道：“十年前在我和最杰出的幾何學家萊布尼茨的通信中，我表明我已經知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法……這位最卓越的科學家在回信中寫道，他也發現了一種同樣的方法。他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什么不同，除了他的措詞和符號而外”。牛頓-萊布尼茨公式是聯系微分學與積分學的橋梁，它證明了微分與積分互為逆運算，體現了兩者對立統一的關系，同時也標志著微積分的正式形成。

微積分的發展過程中也充滿了矛盾和爭論，在建立了微積分基本公式后，人們發現微積分中的一些問題缺乏必要的邏輯基礎，尤其是英國主教貝克萊針對求導過程中無窮小的質疑，引發了第二次數學危機[5]。這場危機的解決最終完善了微積分的理論系統，充分體現了微積分的發展是循環往復、螺旋向上的。恩格斯說：“變數的數學——其中最重要的部分是微積分——本質上不外是辯證法在數學方面的運用。”這正是對微積分發展史中哲學思想的高度概括。

二、微積分課程思政中的哲學定律

（一）對立統一規律

對立統一規律是唯物辯證法的實質和核心，世界上任何事物的內部和事物之間都包含矛盾的兩個方面，矛盾的雙方既對立又統一[6]。

微積分中通過局部來研究整體，通過整體來推測局部，是一種經常使用的方法。如一元函數的最值是整體概念，是比較整個定義內所有點的函數值，其中函數值最大的稱為最大值，函數值最小的稱為最小值。而極值則是局部概念，指在點x0的某一鄰域內，即在局部小范圍內，比較函數值的大小[5]。而若f(x)在[a,b]上連續，那么f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值，求最值的方法就是先求出f(x)在[a,b]內的所有極值，再求出f(a)和f(b)，最后比較這些值的大小。函數的極值和最值便是具有局部和整體的對立統一關系，可以通過極值（局部）來求出最值（整體）。

這樣的對立統一關系與我們的生活密切相關，從個人發展歷程來看，我們的人生正是通過一個個階段的努力奮斗，實現一個個小目標（極值），最終達到人生的巔峰（最值）。從黨的發展歷程來看，我們黨對社會主義現代化建設的戰略謀劃，正是把宏偉目標分解成一個個切實可行的具體目標和任務，有步驟、分階段完成，不斷推進中國特色社會主義事業取得新的勝利。從1964年，周恩來同志在三屆全國人大一次會議上正式提出“四個現代化”的奮斗目標，到改革開放后，鄧小平同志明確提出現代化建設“三步走”設想，再到黨的十八大上提出到2020年實現全面建成小康社會奮斗目標，一直到黨的十九屆五中全會上對“十四五”時期我國發展作出系統謀劃和戰略部署，中國特色社會主義進入新時代。

在這樣一個似乎違反常規的例子中，我們看到了有界和無界的對立統一性，而在平時的學習生活中也會遇到許多類似于無界區域面積的問題，它們看似不可能完成，但實際上卻是可以完成。

例如，2012年，中國共產黨的十八大提出到2020年實現全面建成小康社會宏偉目標并消除絕對貧困是最重要指標。而當時的情況是，中國還有近一億農村貧困人口。在外界一些人看來，要想讓近1億人在幾年內擺脫貧困，對中國而言幾乎是一個“不可能完成的任務”。就在中國脫貧攻堅戰進入收官階段，2020年，新冠肺炎疫情突如其來，在疫情防控和穩經濟促發展的雙重壓力下，中國要想如期全面完成脫貧任務，難上加難。然而，中國人在磨難中奮起，面對全球疫情，率先控制疫情，經濟由負轉正，如期完成脫貧任務，完成了“不可能完成的任務”。

（二）量變質變規律

任何事物的變化都是由量變到質變的過程，量變到一定程度引起質變。量變是質變的基礎和準備，質變是量變的必然結果[5]。

量變質變規律不僅存在于微積分的運算性質中，也存在于我們國家的經濟發展歷程中。新中國成立之初，在很長一段時間里我國都處于物質匱乏階段，經濟發展遠遠不能滿足人民群眾對物質生活的需求。國家通過大力發展傳統產業，生產更多數量的產品來滿足人民群眾的生活需求。到20世紀90年代，傳統產業的生產能力跟不上市場需求，出現嚴重的產能過剩，生態環境問題日益嚴重，經濟高質量發展的重要性愈發顯現。從大煉鋼鐵到蛟龍入海、北斗衛星導航、神州十三號圓夢天宮，從醫藥進口到獨立研發出青蒿素、研制出新冠肺炎疫苗，從制造大國到科技大國，中國經濟正在經歷從量變到質變的過程。

微積分教學中引入課程思政實際上也是一次又一次量變引起質變的過程。其中，量變是開展一次次微積分教學活動，質變是對思想政治理論的領悟。要讓學生產生質變，僅靠一次量變是無法實現的。領悟任何一個理論都需要一個積累的過程，所以微積分教學中融入課程思政也是一個長期的過程，需要學生不斷鞏固和深化所學知識，主動思考思想政治理論的正確性和先進性，從而自覺樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀。

（三）否定之否定規律

新事物否定舊事物，然后被更新的事物否定，一切事物都是如此“螺旋式”向前發展，否定之否定規律揭示了事物發展的趨勢和道路[5]。

在引入定積分概念時，我們計算了曲邊梯形面積。把曲邊梯形分成若干個小曲邊梯形，用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積，再把所有小矩形面積相加，得到曲邊梯形面積的近似值[7]。最后令劃分充分得細，即每一個小矩形的底都趨于0，則小矩形面積和的極限即為曲邊梯形的精確面積。這種“以直代曲”又“由曲到直”的思想正是否定之否定規律的體現。

正如恩格斯所說，“在更高的階段上重新達到原來的出發點”。這即為否定之否定規律所揭示的客觀規律，回到起點，又高于起點[8]。從人類社會發展來看，所有制的演變也是這樣一個循環往復、螺旋上升的過程。從氏族公社的原始公有制社會到封建主義和資本主義的私有制社會，再到共產主義高級發達的公有制社會，我們的共產主義理想是建立在科學基礎上的，我們要堅持共產主義不動搖。

對于在微積分教學中引入課程思政這種新的教學理念，大部分教師都是摸著石頭過河，也是從無意識到有意識再到無意識，也經歷了否定之否定的過程。由于每一個人都有自己固定的思維模式，這種思維模式往往會讓教師的思維產生局限性，所以教師還需要在不斷摸索中打破思維定式，參與集體討論，邀請思政課教師參與到課程討論中來，協同合作，共同提高課程思政的效果。

三、微積分課程思政的途徑

微積分這門課程的特點是內容抽象、推理嚴謹及應用廣泛，許多內容都與哲學思想存在著密切聯系。在微積分教學中，應該抓住課程思政這個重要形式，在挖掘哲學思想的基礎上，找準切入點，遵守教育規律，達到全面培養人的目的。

（一）課堂教學中融入微積分發展歷程

微積分是17世紀以來，經過許多數學家的努力建立起來的，它是人類最偉大的成就之一，牛頓、柯西、萊布尼茨、拉格朗日等數學家追求真理的精神值得我們學習。在建立微分、導數、中值定理、微積分基本公式等重要概念和定理時都經歷了反復探索、不斷嘗試的過程。教師可以在課堂教學中介紹微積分發展史中的小故事，使理性嚴謹的數學課堂兼具人文色彩，讓一些有“數學恐懼癥”的學生更好地理解所學知識，無形中減輕他們對數學的恐懼[9]。

（二）理論聯系實際，合理開展課程思政

哲學思想融入微積分教學中，要將微積分基本公式中的對立統一規律、二元函數的量變質變規律和求曲邊梯形面積的否定之否定規律自然地加入授課環節，把一些在數學范圍內難以理解的問題通過哲學的角度來解釋，起到四兩撥千斤的效果。利用哲學思想，并結合社會實際，進行潛移默化的思想政治教育[10]。

（三）主動學習哲學原理，提高課程思政效果

教師要將哲學原理滲透融合到微積分教學中，不僅自身要學習哲學和自然辯證法知識，運用哲學原理分析微積分知識體系，也要提倡學生學一點哲學，學一點辯證法，提高他們理解問題、解決問題的能力。從被動地學習微積分知識，轉化為運用微積分思想解決實際問題，這是微積分教學的更高目標，也是課程思政的更高目標。

在微積分教學中，應該抓住課程思政這個重要形式，在挖掘哲學思想的基礎上，找準切入點，遵守教育規律，以人才培養為核心，不忘初心，牢記使命，幫助學生在人生道路上形成良好的人格，樹立正確的人生觀、價值觀、世界觀。