小學數學知識的生長點研究

潘超 田原

【摘 要】知識的生長點即知識的發生點、固著點，是學科知識邏輯演化的根基和學生認知發展的基礎。文章以牛獻禮老師的課堂教學為例，從新舊知識、情境知識、抽象知識、交匯知識、困惑知識、重要知識幾個方面對小學數學知識的生長點進行了研究。

【關鍵詞】小學數學;知識生長;生長點;課堂教學

【作者簡介】潘超，教授，碩士研究生導師，主要研究方向為小學數學教育與教師教育;田原，高級教師，主要研究方向為小學數學教育和教育管理。

美國教育家杜威認為，教育即生長，教育的目的就是生長，除此之外別無目的[1]。也就是說，教育要給學生的成長創造一切條件，順應學生成長的規律。在數學課堂上，實現知識的生長，使得學生學習得以真正發生，是促進學生成長的重要方面。那么，實現知識生長的條件是什么？筆者認為，實現知識生長的首要條件是學生知識的未成熟或未完滿狀態，其符合學科、教育學、心理學、生理學等方面的原理和機制，能夠滿足學生成長的需要，同時具備作為知識客體需存在的根基和發展空間[2]。事實上，每一堂課的知識內容都存在知識生長的條件，但是課堂上有知識生長的條件并不意味著能很好地實現知識生長，還需要教師有很好的駕馭能力，能敏銳地捕捉和把握知識生長點。知識的生長點即知識的發生點、固著點，是學科知識邏輯演化的根基和學生認知發展的基礎。它包括新舊知識的銜接點、情境知識的問題點、抽象知識的關鍵點、交匯知識的融通點、困惑知識的癥結點、重要知識的衍生點等（如圖1）。本文以牛獻禮老師（以下簡稱牛老師）的課堂教學為例，對小學數學知識的生長點進行探究。

一、新舊知識的銜接點

一般來說，教學內容中的諸多知識點構成了知識模塊，又由知識模塊構成相對獨立的知識體系，從而形成相互聯系的知識網。知識網的建立有許多銜接點，這些銜接點往往具有較強的邏輯關聯性，其中新舊知識的銜接點是重要的知識生長點。從知識生長角度來看，數學知識的學習過程本質上就是基于知識的生長點構建各知識節點的過程，是新舊知識銜接、更替的過程。因此，學生對于數學新知識的學習總是基于原有的舊知識和學生本身的數學現實。要實現知識網的構建，達成知識的生長，需要教師準確抓取新舊知識的銜接點。而要抓取新舊知識的銜接點最重要的是疏通知識邏輯，在知識邏輯中找到知識點的銜接紐帶。比如，在牛老師執教的“三位數乘兩位數”一課中，牛老師抓取新舊知識的銜接點讓學生開展學習活動，使學生實現了知識的生長。

案例1 三位數乘兩位數的運算[3]

師：今天我們一起來學習三位數乘兩位數，在學習這個知識點之前，請同學們回憶一下，我們已經學過哪些筆算乘法？

生：三位數乘一位數和兩位數乘兩位數。

師：請大家分別計算114×2和14×23。

（學生進行計算、交流、反饋，如圖2。）

師：14×23是怎么運算的？

生：因數23個位上的數3和十位上的數2依次乘因數14，得出第一層積為42，第二層積為28，兩層積加起來是322（如圖3）。

師：三位數乘一位數的計算方法是根據兩位數乘兩位數法則中的哪一句？

生：個位數依次去乘另一因數每一位上的數。

數學教師的任務之一是幫助學生構建數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實[4]。三位數乘一位數、兩位數乘兩位數就是學生的數學現實（已有舊知識），而三位數乘兩位數則是學生要發展的數學現實（新知識）。牛老師從已有數學現實中找到舊知識與新知識之間的銜接點（兩位數乘兩位數法則），將新舊知識的聯系在原理上進行剖析，搭建聯系新舊知識的橋梁，從而實現新知識在原有知識結構上的生長。這既是弗賴登塔爾的數學現實理論的有效應用，也是奧蘇貝爾的先行組織者理論的具體體現。

二、情境知識的問題點

知識的生長需要情境這個“土壤”，這是知識的情境化體現。一般來說，情境知識指蘊含著新知內容的情境。情境知識有明確的教學目標指向，富含知識的營養，其可以在合理的情境中得到發掘、提煉和發展。這個過程往往伴隨著數學問題的發現、提出、分析和解決的過程，也是一個數學化的過程。要實現情境知識的生長，需要教師有敏銳的數學眼光，善于把握問題的焦點，引導學生思考，讓學生在思考中實現知識的建構。

案例2 驗證長方形的周長與面積的關系

如圖4所示為北師大版數學教材三年級下冊“面積”的一道練習題。該題有一定的現實價值和意義，主要反映長方形周長與面積的關系：當長、寬越接近時，面積越大;當長、寬相差越大時，面積越小;當長、寬相等（正方形）時，面積最大。教材上沒有直接告訴學生這個規律，而是通過探究活動，讓學生經歷實驗、辨析、比較、猜測、驗證等過程，使學生發現其中蘊含的規律、結論，實現知識的生長。牛老師在教學中設計了一系列問題以實現學生的知識生長。以下是其中的教學片段。

師：（展示）這里有兩根鐵絲，長度分別為20厘米、24厘米，用它們分別圍成不同的長方形。猜猜看，哪一根鐵絲圍成的長方形面積更大？

生：24厘米長的鐵絲圍成的長方形面積更大。

（其他學生也同意。）

師：為什么？

生：因為24厘米比20厘米長。

師：也就是說周長長的面積就大？

生：是的。

師：（質疑）這是真的嗎？

生：不一定。

（面對質疑，許多學生的想法發生了動搖，并陷入沉思。）

師：想一想，可以用什么辦法說明“周長長面積就大，周長短面積就小”的說法是否準確？

生：可以舉例子來算一算。

師：好辦法！數學上常用舉例子、找反例的方法驗證結論。如果能找到一個周長短、面積反而大的例子，說明上述說法是錯誤的。大家試著找一下。

（學生進行思考、嘗試、交流。）

生：如圖5，長方形的周長為（4+6）×2=20厘米，面積為4×6=24平方厘米;如圖6，長方形的周長為（1+11）×2=24厘米，面積為1×11=11平方厘米。周長短的長方形面積反而更大。

師：真棒！由此可知，周長長的長方形面積不一定大。

教師在情境中引出問題，發動學生思考，引發猜想，激發了學生的求知欲望，讓學生在復習長方形周長計算的基礎上，體會舉反例是驗證結論的一種重要方法，為后續的學習奠定知識和方法的基礎。學生在操作、思考、猜想、計算、表達的過程中，突破了情境本身的背景，逐步深入到問題本質，獲得重要的知識。

三、抽象知識的關鍵點

小學數學中大多數知識都有生動、具體的生活背景，教師在引導學生學習的過程中能有意聯系生活實際，就能讓學生更輕松地學習，更能加深學生對新知識的理解。然而，也有部分知識具有一定的抽象性，相對而言與生活的聯系性也比較弱，這樣的知識教學起來更顯困難。事實上，盡管是小學階段，數學教學也不能一味追求生活化、具體化。教師在教學過程中對某些數學知識進行適度抽象有其必要性和必然性，這有利于鍛煉學生的數學思維，讓學生加深對數學知識本質的理解。而抽象知識的教學要經歷由感性材料加工成概念、判斷、推理等思維形式的抽象過程，一般包括分離、提純和簡略三個基本過程[5]。

案例3 “乘法分配律”的抽象過程

學生在學習了乘法結合律、乘法分配律之后，經常會因為知識之間相互干擾的原因，出現混淆現象。乘法分配律本身是比較抽象的知識，在教學中教師應注意從抽象知識中挖掘出學生能夠理解的關鍵點，并“對癥下藥”才能使學生把握知識的要點。限于文章篇幅，本文僅介紹牛老師執教“乘法分配律”的主要課堂結構（如圖7）。

首先，教師通過“求大長方形的面積”和“購買校服”的實例創設情境，讓學生體驗乘法分配律產生的背景，認識新學知識的合理性，在此基礎上進行歸納概括，從情境中分離式子，抓住需要解決的問題的核心，讓學生經歷數學化的過程，即乘法分配律的分離過程。其次，教師通過引導學生觀察、比較、猜想、驗算、討論等方式，讓學生探究式子中存在的規律，從乘法意義角度理解“兩式為什么相等”，初步得到結論。然后，教師進一步引導學生舉例子進行拓展應用，一方面強化探究的規律，另一方面說明規律具有一般性，為后續符號化的過程奠定基礎，即乘法分配律的提純過程。最后，教師引導學生總結乘法分配律，并讓學生用符號進行表達，使乘法分配律實現精致、固化，使學生深刻理解“分”“配”“律”的本質，這是本節課的升華，即乘法分配律的簡略過程。整節課結構嚴謹、層層鋪墊、循序漸進、說明充分，課堂上抽象知識的生長過程有其自然性，但需要教師挖掘抽象知識中的關鍵點。因此，教師在教學中要非常重視抽象知識的產生背景、邏輯驗證、意義理解、拓展應用和模型建立。

四、交匯知識的融通點

小學數學各模塊之間的知識點存在交匯現象，通過數學的內在邏輯使得知識點形成網絡結構，這就是數學知識的條理化、系統化和網絡化。小學數學的一些綜合性問題本質上就是各知識點之間的交匯問題，或數學思想方法的復合問題。在對待交匯性較強的知識內容時，教師要引導學生獨立思考，并讓學生進行小組討論、合作探究等，尤其要厘清交匯知識之間的邏輯結構，找準交匯知識的融通點，全方位調動學生學習的積極性，發展學生的數學思維。教師可以通過對概念、命題的梳理，把凌亂、細碎、分散的知識點結成知識鏈，形成知識網，實現局部及總體知識的結構化，使學生完善原有認知結構，達到深化理解所學知識。

案例4 各類圖形面積公式之間的融通

長方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓的形狀不同，面積計算公式也各異。它們之間有沒有邏輯交匯呢？如果它們是交匯知識，那么它們之間的融通點是什么呢？

牛老師以梯形面積公式S=（a+b）h÷2為融通點，引導學生對公式進行分析。若b=0，則S=ah÷2，為三角形面積公式;若a=b，則S=ah，為平行四邊形面積公式;若平行四邊形有一個角為直角，則S=ab，為長方形面積公式;若三角形的底為2πr、高為r，則S=πr2，為圓的面積公式。

牛老師將各種圖形和面積公式進行比較聯系，找到它們之間的融通點，通過數學變式的方法將之融通起來，打通面積公式之間聯系的“節點”，讓學生認識到各個公式之間不是孤立的，而是彼此之間存在內在邏輯關聯。

五、困惑知識的癥結點

學生在數學學習過程中總會存在各種困惑知識，面向困惑知識，不同的學生會有不同的心理和對策。教師應找準不同學生困惑知識的癥結點，因材施教，使這些困惑知識成為學生知識生長的契機，甚至成為學生發展的階梯。教師可以通過正反例結合、數形結合、操作實驗、辨析討論等來分化困惑知識。本文以牛老師執教的“認識角”為例，分析如何利用正反例結合來分化困惑知識。

案例5 “認識角”的教學

“認識角”是北師大版數學教材二年級下冊“認識圖形”的第一節內容，其難點之一是判斷一個平面圖形是不是角，這也是學生的困惑知識，其癥結點在于判斷平面圖形是角的標準是否明確。在學生初步感知角的基礎上，教師可以向學生介紹角的形狀、角的頂點、角的邊等，讓學生認識到角的組成部分和特點，確定判斷角的標準，即頂點處兩條邊連在一起，并且邊是直的。由于學生容易因多元化的交流信息而產生思維困惑，抓不住知識的核心，導致其體驗停留在表層，思考的角度、廣度、深度等得不到良好訓練。因此，牛老師在分化這個難點時，采用舉正反例的策略，讓學生做練習：判斷圖8所示圖形哪些是角，哪些不是。

學生經過思考、質疑、交流，了解到圖8中（1）和（4）是角，（2）和（3）不是角，掌握了判斷一個圖形是不是角的方法。教師先用1個正例，幫助學生正面感知判斷一個圖形是不是角的相關要點，有利于學生知識與技能的扎實訓練;再用2個反例，強化學生對不是角的圖形的認識，鞏固概念的外延;最后用1個正例，采用“較大的角”，并且圖形的位置較之第一個正例有所變化，采用“非一般”“非正規”的平面圖形，開展概念變式教學，既為學生進一步學習鈍角建立感性認識，也有利于學生強化角的本質特點。牛老師緊緊抓住判斷標準這一癥結點，采用正反例結合來分化困惑知識，使學生逐步實現了知識建構。

六、重要知識的衍生點

數學知識的生長點源于數學知識體系中占有重要地位的知識點。在課堂教學中，教師要將重要知識作為學生知識生長的主干，可以通過創造情境，創設數學活動來激發學生的思維和問題意識，讓學生從重要知識的主干中衍生出新知識的分支，以探求知識的擴展。在教學中，一般將這種衍生知識分支稱為“教學附加值”，它雖然不是一節課的主體知識或重要知識，但也是思維訓練和知識生長的范疇。重要知識的主干與衍生新知識的連接點即為衍生點。那么，如何利用重要知識的衍生點來實現知識的生長呢？通常情況下，教師可以讓學生在認知沖突、實踐操作、拓展應用、意外情境、趣味活動、奇思妙想中衍生知識。下面，以牛老師執教的“雞兔同籠”為例，探討如何引導學生實現知識衍生。

案例6 “雞兔同籠”——在奇思妙想中實現知識衍生[6]

“雞兔同籠”問題是我國古代的數學名題之一。題目為：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？教師在教學了列表法和假設法解決“雞兔同籠”問題的基礎上衍生了“抬腳法”。

師：古人解決“雞兔同籠”問題用的是“抬腳法”，即“金雞獨立，兔子站起”的方法（如圖9）。

師：抬腳后雞兔落地的腳數為94÷2=47（只）。1只雞對應一只腳，而1只兔對應2只腳，每多出1只腳就有1只兔。因此，兔只數：47-35=12（只）;雞只數：35-12=23（只）。這種解法很奇妙，美國數學教育家波利亞很欣賞這種解法，他通過著作《數學的發現》把它介紹到了美國。其實，這里的雞不僅僅是雞，兔也不僅僅是兔，“雞兔同籠”是這類問題的統稱。生活中許多類似“雞兔同籠”的問題，都可以用這樣的方法去解決。

上述衍生的“抬腳法”不是本節課的主干知識，但它的思維方式具有獨特性，能夠啟發學生在解決問題的過程中，不局限于常規的思維模式。這種“奇思妙想”能觸動學生活躍的思維，拓寬學生的數學思維空間，使學生對所學知識有更深的領悟。

參考文獻：

[1]約翰·杜威.民主主義與教育[M].王承緒，譯.北京：人民教育出版社，2001.

[2]孟筱.回歸教育的初心與起點：論杜威“教育即生長”理論內涵的當代啟示[J].寧夏社會科學，2018（2）：130-135.

[3]牛獻禮.我在小學教數學：素養導向的數學教學藝術[M].上海：華東師范大學出版社，2019.

[4]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]牛獻禮.幫助學生學會思維：“乘法分配律”教學實踐與思考[J].小學教學研究（教學版），2013（7）：36-38.

[6]牛獻禮.溝通聯系 突出思想：“雞兔同籠”教學實踐與思考[J].小學教學研究（教學版），2018（3）：45-48.

（責任編輯：羅小熒）